数学文科二模试题及答案

2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数 学(文科)命题：东北育才学校 刘新风 沈阳铁路实验中学 倪生利 沈阳市第11中学 朱洪文沈阳市第20中学 何运亮 沈阳市第31中学 李曙光 东北育才学校 牟 欣主审：沈阳市教育研究院 周善富注意事项：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4考试结束后，将答题卡交回第卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（为虚数单位）对应的点在( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2若集合则集合的子集个数为（ ）A1 B2 C3 D43设命题：函数的最小正周期为；命题：函数是偶函数则下列判断正确的是（ ）A为真 B为真 C为真 D为真42013年春节高速公路免费通行时间及条件公布后，这项福利引起了争议. 某调查机构对此展开了一项调查，得到如下数据：对此事的态度好评（有利于百姓的出行）中评（影响不大）差评（影响车速）不关心人数800600400200若从参与调查的人员中，按分层抽样的方法抽取100人进行座谈.则“好评”与“差评”的人数之差为（ ） A B. C. D. 5平面直角坐标系中，已知两定点，若点满足（为坐标原点），其中，且，则点的轨迹是( ) A直线 B椭圆 C圆 D双曲线6 函数（0，0）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是( ) A B C D7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）主视图左视图A B C D8在中，已知，则（ ） A 或 B C D或9设不等式组 表示的平面区域为在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是（ ） A B C D 10已知点为ABC外接圆的圆心，且，则ABC的内角等于（ ） A30° B60° C90° D120°11设分别是椭圆的左、右焦点，和直线相切的圆与椭圆的其中一个交点为，且是直线与圆相切的切点，则椭圆的离心率为( )AB C D12. 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”现有定义在上的如下函数：=；=；=；则其中为“保等比数列函数”的是（ ）A B C D第卷 (共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把正确答案写在答题纸上.13已知函数，若曲线在点处的切线的倾斜角为，则该切线方程为 14已知圆M:，过圆心M的直线与抛物线和圆M的交点自上而下依次为点，则的值是 15正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在棱锥表面上运动，并且总保持则动点的轨迹的周长为 16给出下列命题：在区间上，函数，中有三个是增函数；若，则；若函数是奇函数，则函数的图象关于点对称；函数，则方程有个实数根 其中正确命题的序号是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.17（本小题满分12分）已知数列的前项和为，其中， （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求满足不等式 的值18（本小题满分12分）在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，ABCDEFO为的中点.（1）求证：平面； （2）若在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由19. （本小题满分12分）为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩.乙甲07 7 3 2 8 4 2 2 1 0 9 8 7 7 6 8 8 7 7987650 1 5 6 80 1 2 5 6 6 8 91 3 55 7 8 9（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀请填写下面的列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”甲班乙班合计优秀不优秀合计下面临界值表仅供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 （参考公式：20. （本小题满分12分） 设函数，.（1）求的单调区间和最小值；（2）讨论与的大小关系；（3）令,若对任意，存在，使成立，求实数的取值范围21（本小题满分12分）已知两圆，的圆心分别为，为一个动点，且直线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）是否存在过点的直线，使得与轨迹交于不同的两点，且以为圆心的圆过两点？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22. （本题满分10分) 选修41：几何证明选讲如图，内接于，是的直径，是过点的直线，且. （1）求证：是的切线； （2）如果弦交于点， ，求直径的长. 23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是，圆心为C在以坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：与圆C相交于两点 （1）求直线AB的极坐标方程； （2）若过点C(2,0)的曲线C2:(是参数)交直线AB于点D，交轴于点E，求|CD|:|CE|的值.24 (本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数 （1）解不等式: ； （2）若，求证：.2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）数学（文科）参考答案与评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分一、选择题123456789101112参考答案DDDBABCBCACC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 14. 9 15. 16. 三、解答题：本大题共70分.17. 解：（1）由，得，即，. 3分又，得， ， .数列是首项为，公比为的等比数列，. 6分（2）数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列， ， 9分又，不等式，即得，或. 12分18. 解：（1）连. 由是正方形可知,点为中点. 又为的中点， 所以. 2分 又平面，平面， 所以平面. 4分 (2) （方法一） 若平面，则必有使，于是作于.由底面，所以，又底面是正方形，所以，又，所以平面. 8分而平面，所以. 又 ，所以平面. 10分又，所以所以为中点，所以 12分 (方法二) 如图，取中点，连.在四棱锥中， 所以. 6分又由底面，底面，所以，由是正方形可知,， 又,平面，所以平面， 8分而平面，所以，平面平面，且平面平面，因为，平面，所以平面, 10分故在线段上存在点，使平面.由为中点，得 12分19. 解：（1）记成绩为87分的同学为，其他不低于80分的同学为C、D、E，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)(C,D)(C,E)(D,E)共10个， 2分“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有：(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)一共7个, 4分所以P=. 5分甲班乙班合计优秀61420不优秀14620合计202040（2） 7分 = 10分因此，我们有97.5的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 12分20. 解：（1）由题设知，定义域所以，令得， 1分当(0,1）时，故(0,1）是的单调递减区间.当(1,+）时，故(1,+）是的单调递增区间.所以 3分（2）.设，则，因此，在内单调递减. 4分又， 当时，即 5分当时，即 6分当，. 7分（3）由（2）知在上单调递减，在上的最小值为， 9分又对任意，使成立, 则. 即. 10分又存在使成立，又是增函数，所以=.所以. 12分21. 解：（1）两圆的圆心坐标分别为和， 1 分设动点的坐标为,则直线的斜率分别为和. 2分由条件得=，化简得=,所以=. 4分（2）（方法一）假设存在满足条件的直线，易知点在椭圆M的外部，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆M无交点，所在直线斜率存在.当直线的斜率为0时，直线与椭圆相交于长轴的两个端点，满足，此时直线方程为. 5分 当直线的斜率存在且不为0时，设为，则直线的方程为, 由方程组,得,依题意,解得. 6分当且时，设交点，的中点为，则， . 8分若使以为圆心的圆过C,D点，即满足，即满足，即，即，. 10分经检验不满足（舍）. 此时直线方程为, 即. 11分 综上，存在过点的直线l与轨迹交于不同的两点，且使得以为圆心的圆过两点，直线方程为或. 12分（方法二）当过点的直线为轴时，满足，此时直线的方程为.5分当过点的直线不为轴时，设直线方程为：，由方程组，得，依题意，解得或. 6分当或时，设，（不妨令>）,中点为，,， ， 8分=. .,=.若使以为圆心的圆过C,D点，即满足，即满足,10分 , ，解得，（不满足，舍），此时直线方程为 11分综上所述，存在过点的直线l与轨迹交于不同的两点，使得以为圆心的圆过两点，直线方程为或. 12分（方法三）当过点的直线为轴时，满足，此时直线的方程为.5分当过点的直线垂直轴时，易知不满足.当过点的直线不为轴，不垂直轴时设直线方程为：，过（0，1）且与直线垂直的直线方程设为：，设直线与直线的交点为.由方程组 ，得.由方程组， 得.依题意，解得或. 6分当或时，设，.,若使以为圆心的圆过C,D点，即满足，即为线段的中点，8分，=，即， 10分解得，（不满足，舍），此时直线方程为 11分综上所述，存在过点的直线l与轨迹交于不同的两点，使得以为圆心的圆过两点，直线方程为或. 12分22.（1）证明：为直径，,为直径，为圆的切线. 4分（2）, ,连DB,由. 6分连AD,由.在，中，于是有=，. 10分23. 解：（1）在以坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,极坐标与直角坐标有关系:或， 1分所以圆的直角坐标方程为， 2分联立曲线C:，得或，即不妨令，从而直线AB的直角坐标方程为:，(此处如下解法也可:联立曲线与,消去与项,得)，所以，即， 4分所以直线AB的极坐标方程为，. 5分（2）（方法一）由(1)可知直线AB的直角坐标方程为， 6分依题令交点D则有，又D在直线AB上，所以，解得，由直线参数方程的定义知|CD|=|， 8分同理令交点E，则有，又E在直线上，所以，解得，所以|CE|=|， 9分所以|CD|:|CE|=. 10分（方法二）将曲线C2:(是参数)化为普通方程:， 6分将其联立AB的直线方程:，解得:,从而D，再将曲线C2与直线联立,解得,从而E，这样|CD|=， 8分|CE|=， 9分从而|CD|:|CE|=. 10分24.解: （1）由题.因此只须解不等式. 分当时,原不式等价于,即.当时,原不式等价于,即.当时,原不式等价于,即.综上，原不等式的解集为. 分（2）由题.当时, . 10分