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三角函数三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质正弦函数余弦函数的性质（一）（一）1.定义域和值域定义域和值域x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数正弦函数sinyx 定义域：定义域：R值域：值域：-1，1余弦函数余弦函数cosyx 定义域：定义域：R值域：值域：-1，1|sin|1|cos|1xx练习练习 P 40 练习练习2(1)2cos3x 2(2)sin0.5x 3cos2x 1 sin0.5x 1,1 周期函数定义：对于函数周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在，如果存在一个一个非零常数非零常数T，使得当，使得当x取定义域内的取定义域内的每每一个值一个值时，都有时，都有f (x+T)=f (x)那么函数那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。叫做这个函数的周期。2.周期性周期性注意：注意：从从f (x+T)=f (x）来看，强调的是）来看，强调的是x本身加的常数本身加的常数才是周期，如才是周期，如f(2x+T)=f(2x)f(2x+T)=f2(x+T/2)=f(2x),则则T/2是是f(2x)的周期。的周期。注：注：1、T要是非零常数要是非零常数 2、“每一个值每一个值”只要有一个反例，则只要有一个反例，则f (x)就不为就不为周期函数（如周期函数（如f (x0+t) f (x0)） 3、 周期函数的周期周期函数的周期T往往是多值的（如往往是多值的（如y=sinx 2 ,4 ,-2 ,-4 ,都是周都是周 期）期） 4、周期、周期T中最小的正数叫做中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）些周期函数没有最小正周期）正弦函数是周期函数，正弦函数是周期函数， ，最小，最小正周期是正周期是)0(2kZkk且2余弦函数是周期函数，余弦函数是周期函数， ，最小，最小正周期是正周期是)0(2kZkk且2: :期期例例1 1、求求下下列列函函数数的的周周.,都都指指最最小小正正周周期期若若不不加加特特别别说说明明;,cos3) 1 (Rxxy;,2sin)2(Rxxy;),621sin(2)3(Rxxy)0, 0.(),sin()4(ARxxAy 举例举例3cos(2 )3cosxx 解：（解：（1）自变量自变量x至少要增加到至少要增加到x+2 ，函数，函数3cos ,yx xR 的值才能重复出现的值才能重复出现.2 的周期是的周期是所以，函数所以，函数3cos,yx xR (2)sin(22 )sin2()sin2xxx sin2 ,yx xR 的值才能重复出现的值才能重复出现.，自变量自变量x至少要增加到至少要增加到x+ ，函数，函数 的周期是的周期是所以，函数所以，函数2sin,yx xR 自变量自变量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+4 ，函数，函数的值才能重复出现的值才能重复出现.12sin()26yx 12sin(),26yxxR 所以所以,函数函数 的周期是的周期是4)0, 0.(),cos()0, 0.(),sin( ARxxAyARxxAy思考思考(4) 2|T )621sin(26)4(21sin2)2621sin(2)3(xxx正弦函数的图象正弦函数的图象探究探究余弦函数的图象余弦函数的图象x22322523yO23225311x22322523yO232253113.3.奇偶性奇偶性3.3.奇偶性奇偶性(1) ( )sin ,f xx xRxR 任意任意()sin()fxxsin x ( )f x ( )sin ,f xx xR为为奇奇函数函数(2) ( )cos ,f xx xRxR 任意任意()cos()fxxcos x ( )f x ( )cos ,f xx xR为为偶偶函数函数思考：它们的图象有何思考：它们的图象有何对称性对称性？x22322523yO23225311PP4、(1)正弦函数的图象的对称性正弦函数的图象的对称性53113,22222x对称轴：对称轴：,2xkkZ (,0),(0,0),( ,0),(2 ,0) 对称中心：对称中心：(,0)kkZ 所以正弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形所以正弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形(2)余弦函数的图象的对称性余弦函数的图象的对称性,0, 2x 对称轴：对称轴：,xkkZ 35(,0),(,0),(,0),(,0)2222 对称中心：对称中心：(,0)2kkZ PPx22322523yO23225311所以余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形所以余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形练习练习 为函数为函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（ ）sin(2)3yx x22322523yO232253114.3A x 12x .2B x .0D x 解：经验证，当解：经验证，当.12C x 时时232x12x 为对称轴为对称轴例题例题 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx 23zx 解解（1）令）令则则sin(2)sin3yxz sinyz 的对称轴为的对称轴为,2zkkZ 232xk 解得：对称轴为解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz 的对称中心为的对称中心为(,0) ,kkZ 23xk 对称中心为对称中心为62xk zk (,0) ,Z62kk练习练习zxyxzcos)42cos(,42则解：设ZkkxkxZkkzzy,2242,cos则的对称轴为Zkkxkxkzkzy,22,242,2),0 ,2(cos即则的对称中心为1cos()24yx 求函数求函数 的对称轴和对称中心的对称轴和对称中心; 1,22; 1,22sin时取得最小值当且仅当时取得最大值当且仅当正弦函数ZkkxZkkxxy. 1,2; 1,2cos时取得最小值当且仅当时取得最大值当且仅当余弦函数ZkkxZkkxxy5、最大值与最小值、最大值与最小值: :的的集集合合变变量量及及取取得得最最值值时时自自值值, ,例例2 2、求求下下列列函函数数的的最最x;, 1cos) 1 (Rxxy;,2sin3)2(Rxxy1cos()24yx sin(2)3yx (3)(4)x22322523yO23225311PP正弦函数的图象正弦函数的图象53113,22222x对称轴：对称轴：,2xkkZ (,0),(0,0),( ,0),(2 ,0) 对称中心：对称中心：(,0)kkZ 小结小结余弦函数的图象余弦函数的图象,0, 2x 对称轴：对称轴：,xkkZ 35(,0),(,0),(,0),(,0)2222 对称中心：对称中心：(,0)2kkZ PPx22322523yO23225311作业：课本作业：课本46页页2、3作业作业 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心 P53 A10cos( 2)3yx
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