经济数学基础讲义 第2章 导数与微分

经济数学基础讲义 第2章 导数与微分第2章 导数与微分2.1 极限概念研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势.例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2 讨论当时，的变化趋势.例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势。“一尺之棰，日截其半，万世不竭”庄子天下定义2.3 设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义，如果当无限趋于（但）时，无限趋近于某个常数，则称趋于时，以为极限，记为 或若自变量趋于时，函数没有一个固定的变化趋势，则称函数在处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.时，（）2.（包括这两种情况）例1 讨论时, =？解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当时，即=4例2讨论函数,当时的极限解：此函数在处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到2.1.3 左极限和右极限考虑函数，依照极限的定义，不能考虑的极限. 因为在处无定义.又如函数，如果讨论是的极限，则函数分别在和时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念.定义2.4 设函数在点的邻域（点可以除外）内有定义，如果当且x无限于（即x从的左侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数L，则称当x趋于时，以L为左极限，记作= L； 如果当且x无限趋于（即x从的右侧趋于，记为）时，函数无限地趋近于常数R，则称当x趋于时，以R为右极限，记作= R .极限存在的充分必要条件：极限存在的充分必要条件是：函数在处的左，右极限都存在且相等.即例3 , 求解：注意到此函数当x=0的两侧表达式是不同，在0点处分别求左、右极限.，可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在.2.1.4 无穷小量称当时，为无穷小量，简称无穷小.补充内容：无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量y以为A极限的充分必要条件是：y可以表示成A与一个无穷小量的和，即无穷小量的有以下性质：性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量；性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量：在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量.例如 因为，所以，当时，是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：定理：当（或）时，若是无穷小（而），则是无穷大；反之，若是无穷大，则是无穷小.例4，当时，解： 由图形可知，当时，当时，是无穷小量.2.2 极限的运算2.2.1 极限的四则运算法则在某个变化过程中，变量分别以为极限，则，例1 求解：例2 求解：例3 求解：例4 求解： 2.2.2 两个重要极限1.几何说明： 如图，设为单位圆的圆心角，则对应的小三角形的面积为，对应的扇形的面积为，对应的大三角形的面积为当时，它们的面积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的.例1 解：=2. 例2 求极限解: 例3 求极限解 2.3 函数的连续性定义 设函数在点的邻域内有定义，若满足，则称函数在点处连续.点是的连续点.函数间断、间断点的概念如果函数在点处不连续，则称在点处发生间断.使发生间断的点，称为的间断点例如 函数，在定义域内都是连续的.例1 ,问在处是否连续？注意：此函数是分段函数，是函数的分段点.解: ，不存在，在处是间断的.例2 ,问在处是否连续？解: （无穷小量有界变量=无穷小量）在处是连续的.结论:（1）基本初等函数在其定义域内是连续的；（2）连续函数的四则运算、复合运算在其有定义处连续；（3）初等函数在其定义区间内是连续的.例3解: 注意： 是初等函数，在处有定义，利用 结论有极限值等于函数值.2.4 导数与微分的概念本节的主要内容是导数与微分的概念.三个引例 边际成本问题 瞬时速率问题 曲线切线问题引例1： 边际成本问题C总成本，总产量已知 （当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变量），（成本平均变化率），（边际成本）引例2: 瞬时速率问题路程是时间的函数，当从时，从（平均速率） （在时刻的瞬时速率）引例3：曲线切线问题考虑曲线在处的切线斜率.当时，对应的，曲线上和两点间割线的斜率为 （当时），称为切线的斜率.关于函数，考虑极限定义 设函数在点的邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应的改变量.若当时，两个改变量之比的极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为 在点处的导数，记为或或或 即 =若极限不存在，则称函数在点处不可导.在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的.导数定义的意义数量意义 变化率经济意义 边际成本几何意义 切线的斜率例1 ，求思路：先求，再求.解：因为 所以，例2 ，求解: 因为 所以导数公式 求导步骤1、求； 2、求.注意：是的导函数，函数在处的导数值微分的概念设，导数，两边同乘，得到函数的微分.微分 导数公式 微分公式由导数公式可以得到微分公式 2.5 导数的计算导数的加法法则设在点处可导，则在点处可导亦可导，且（为常数）加法公式证明证：设，则， 由已知条件，均可导.导数的乘法法则设在点处可导，则在点处可导亦可导，且导数除法法则设在点处可导，则在点处可导亦可导，且（）例1 设函数，求析：现在分别知道幂函数和常数函数的导数公式，利用上述法则可求它们组合后函数的导数.解： （利用加法法则）=（利用导数公式）例2 设，求.解：（提示 ）例3 设，求.解：（提示）例4 ，解：因为（由对数的性质：） 所以 （其中常数的导数为0）例5 设，求.解：利用导数的乘法法则，（利用导数公式）例6 ，求.解：由导数基本公式 利用导数的乘法法则说明无论用哪种方法其结果是唯一的.例7 ，求.解： 将函数看成，利用乘法法则求导. 利用导数的除法法则求导其中.两个结果是完全一样的.例8 求解：（利用三角公式）同理可求.2.5.2 复合函数求导法则问题：，求，则解：第一个问题，求导数没有直接公式可用.方法1：将函数展开利用加法法则有方法2：将函数写成两个因式乘积的形式，利用四则运算法则求导数.第二个问题，展开？共101项，求导很麻烦.写成因式乘积的形式，求导也将很麻烦.在这节课我们将介绍复合函数求导法则.讨论，引进中间变量2.5.2 复合函数求导法则定理 设y=f(u),u=j(x),且u=j(x)在点x处可导，y=f(u)在点u=j(x)处可导，则复合函数y=f(j(x)在点x处可导，且或复合函数求导步骤分清函数的复合层次，找出所有的中间变量；依照法则，由外向内一层层的直至对自变量求导.多层复合的函数求导数对于多层复合的函数，即若，则 或注意：多层复合的函数求导数仍是经过一切中间变量直至对自变量求导.问题: 求由方程所确定的隐函数的导数？ 解：先将从方程中解出来，得到和分别求导和将和分别代入，得 （1）由（1）解得:（2）在（2）中隐含 隐函数求导方法步骤方程两边求导，；整理方程，求出.例1 求下列函数的导数或微分（1），求解：方法一: 由.这是用导数的乘法法则.方法二: 利用复合函数求导法则，设（其结果是完全一样的)（2），求解：利用复合函数求导法则，设.（3），求.解：利用复合函数求导法则，设,例2设，求解：先求一般点上函数的导数，再将代入求得结果.设，利用复合函数求导法则，,例3设函数，求.解：（首先对函数进行分解，找出所有中间变量）,例4 求函数，求.解：例5 设函数，求.解: 例6 求由方程所确定的隐函数的导数.解：方程两边对自变量求导数，此时是中间变量.,解出（与前面的结果相同）.例7求由方程所确定的隐函数的导数？解：方程两边对自变量求导数，此时是中间变量.,解得 注意：在隐函数的导数结果中常常含有.例8 求双曲线在点（1，1）处的切线斜率.分析：此题是求隐函数在某点处的导数.解：因为,所以,且在点（1，1）处的切线斜率2.6 高阶导数的高阶导数例1：一般地，函数的阶导数记为例1 求函数的二、三阶导数. 解： ，例2 求的二阶导数 至导数.解： ，