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6.4数列求和1求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1d.等比数列的前n项和公式(i)当q1时，Snna1；(ii)当q1时，Sn.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.2常见的裂项公式(1)；(2)；(3).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，()()(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4)数列2n1的前n项和为n2.()(5)若数列a1，a2a1，anan1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列an的通项公式是an.()(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()1已知在每项均大于零的数列an中，首项a11，且前n项和Sn满足SnSn12(nN*且n2)，则a81_.答案640解析由已知SnSn12可得，2，是以1为首项，2为公差的等差数列，故2n1，Sn(2n1)2，a81S81S8016121592640.2数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100_.答案200解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.3(2014广东)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_答案50解析因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.4321422523(n2)2n_.答案4解析设S345(n2)，则S345(n2).两式相减得S3().S3()34.题型一分组转化法求和例1已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn .解Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)(n)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn思维升华某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论(1)数列an中，an1(1)nan2n1，则数列an前12项和为_(2)已知数列an的前n项是321,641,981,12161，则数列an的通项公式an_，其前n项和Sn_.答案(1)78(2)3n12nn(3n1)2n12解析(1)由已知an1(1)nan2n1，得an2(1)n1an12n1，由得an2an(1)n(2n1)(2n1)，取n1,5,9及n2,6,10，结果相加可得S12a1a2a3a4a11a1278.(2)由已知得数列an的通项公式为an3n2n13n12n，Sna1a2an(253n1)(2222n)n(3n1)2n12.题型二错位相减法求和例2已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.思维点拨(1)列方程组求an的首项、公差，然后写出通项an.(2)q1时，bn为等差数列，直接求和；q1时，用错位相减法求和解(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得故an3(n1)(1)4n.(2)由(1)得，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1，将上式两边同乘以q有qSn1q12q2(n1)qn1nqn.两式相减得到(q1)Snnqn1q1q2qn1nqn.于是，Sn.若q1，则Sn123n.所以Sn思维升华(1)错位相减法是求解由等差数列bn和等比数列cn对应项之积组成的数列an，即anbncn的前n项和的方法这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围已知首项为的等比数列an是递减数列，其前n项和为Sn，且S1a1，S2a2，S3a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlog2an，数列bn的前n项和为Tn，求满足不等式的最大n值解(1)设等比数列an的公比为q，由题意知a1，又S1a1，S2a2，S3a3成等差数列，2(S2a2)S1a1S3a3，变形得S2S12a2a1S3S2a3，即得3a2a12a3，qq2，解得q1或q，又由an为递减数列，于是q，ana1qn1()n.(2)由于bnanlog2ann()n，Tn12()2(n1)()n1n()n，于是Tn1()2(n1)()nn()n1，两式相减得：Tn()2()nn()n1n()n1，Tn(n2)()n2.()n，解得n4，n的最大值为4.题型三裂项相消法求和例3(2014山东)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1()当n为偶数时，Tn(1)()()()1.当n为奇数时，Tn(1)()()()1.所以Tn(或Tn)思维升华利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.解(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意得Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.(2)bn，Tnb1b2bn(1)()().四审结构定方案典例：(14分)已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.Snn2kn及Sn最大值为8(根据Sn的结构特征确定k值)k4，Snn24n利用an、Sn的关系ann化简数列根据数列的结构特征，确定求和方法：错位相减法Tn1式两边同乘以22Tn22错位相减Tn214.规范解答解(1)当nkN*时，Snn2kn取得最大值，即8Skk2k2k2，故k216，k4.当n1时，a1S14，3分当n2时，anSnSn1n.6分当n1时，上式也成立，综上，ann.8分(2)因为，所以Tn1，所以2Tn22 10分得：2TnTn2144.13分故Tn4.14分温馨提醒(1)根据数列前n项和的结构特征和最值确定k和Sn，求出an后再根据的结构特征确定利用错位相减法求Tn.在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案；(2)利用Sn求an时不要忽视n1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数(3)可以通过n1,2时的特殊情况对结论进行验证.方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和失误与防范1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论2在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an1的式子应进行合并3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.A组专项基础训练(时间：40分钟)1数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值为_答案n21解析该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)()n21.2已知函数f(n)n2cos n，且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100_.答案100解析f(n)n2cos n(1)nn2，由anf(n)f(n1)(1)nn2(1)n1(n1)2(1)nn2(n1)2(1)n1(2n1)，得a1a2a3a1003(5)7(9)199(201)50(2)100.3数列a12，ak2k，a1020共有十项，且其和为240，则a1aka10的值为_答案130解析a1aka10240(22k20)240240110130.4已知数列an的前n项和Snn26n，则|an|的前n项和Tn_.答案解析由Snn26n得an是等差数列，且首项为5，公差为2.an5(n1)22n7，n3时，an3时，an0，Tn5数列an，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n1)xyn0在y轴上的截距为_答案9解析数列的前n项和为1，n9，直线方程为10xy90.令x0，得y9，在y轴上的截距为9.6数列an满足anan1(nN*)，且a11，Sn是数列an的前n项和，则S21_.答案6解析由anan1an1an2，an2an，则a1a3a5a21，a2a4a6a20，S21a1(a2a3)(a4a5)(a20a21)1106.7已知数列an满足anan1(nN*)，a1，Sn是数列an的前n项和，则S2 013_.答案解析由题意知，a1，a21，a3，a42，a5，a63，所以数列an的奇数项构成了首项为，公差为1的等差数列，偶数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，通过分组求和可得S2 013()1 007(1)(11 0061).8设f(x)，若Sf()f()f()，则S_.答案1 007解析f(x)，f(1x)，f(x)f(1x)1.Sf()f()f()，Sf()f()f()，得，2Sf()f()f()f()f()f()2 014，S1 007.9已知数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，设bn2an(nN*)，数列cn满足cnanbn.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列cn的前n项和Sn.解(1)由题意，知an()n(nN*)，又bnan2，故bn3n2(nN*)(2)由(1)，知an()n，bn3n2(nN*)，所以cn(3n2)()n(nN*)所以Sn14()27()3(3n5)()n1(3n2)()n，于是Sn1()24()37()4(3n5)()n(3n2)()n1.两式相减，得Sn3()2()3()n(3n2)()n1(3n2)()n1.所以Sn()n(nN*)10(2013江西)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn0.所以Snn2n(nN*)n2时，anSnSn12n，n1时，a1S12适合上式an2n(nN*)(2)证明由an2n(nN*)得bnTn(nN*)即对于任意的nN*，都有Tn0，Tn为递增数列，TnT1.5直线ln：yx与圆Cn：x2y22ann交于不同的两点An，Bn，nN*.数列an满足：a11，an1|AnBn|2.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题意，知圆Cn的圆心到直线ln的距离dn，半径rn，所以an1(|AnBn|)2rd(2ann)n2an.又a11，所以an2n1.(2)当n为偶数时，Tn(b1b3bn1)(b2b4bn)15(2n3)(2232n1)(2n1)当n为奇数时，n1为偶数，Tn1(2n11)(2n11)而Tn1Tnbn1Tn2n，所以Tn(2n2)所以Tn15
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