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南部中学2012-2013学年高二下期半期考试数学试题(理科 A)、选择题考试时间：120分(每小题5分，共50分)满分：150分1.-4i , 5 i21 ，一 ，*,一 中虚数的个数是1 -iA. 12.一个物体的运动方程为s=1_t +t2其中S的单位是米,t的单位是秒，那么物体在 3秒1A. 5米/秒3.(1-2i)i =A. 一1 T1 -i.1-2i4.用反证法证明命题“关于x方程ax2+ bx+c = 0(a#0)最多有两个实数根A.只有两个实数根B.最少三个实数根C .至少有两个实数根D.少于三个实数根5.6.A. y = x 1B. y = -x 1C. y =2x 1D. y = -2x 1设函数f(x)的导函数为f(x)f (x) =x2x f (1) 3(1)的值为切线方 -27.f(x)一 xln xA. xC. x=1为2=工为2f (x)的极小值点f (x)的极大值点. x = 2为f (x)的极大值点.x = 2为f (x)的极小值点8.在棱长为1的正方体ABCD ABC1D1中，M和N分别为A1B1B巳的中点,那么直线 AM与CN所成角的余弦值是10c .d不9.已7-33x x2xg=3MI,以推出结之n +1(n w N工则a =A. 2n10.已知偶函数f(x)在R上可导，且f(1) = -2, f(x 2)f (x 2),则曲线y =f (x)A. 2-1二、填空题(每小题4分，共16分)11.复数11+-的虚部是i12 .函数y=alnx + x在x=1处取得极值，则a的值为13 .用数学归纳法证明等式1+2+3+|+(n+3)=93犯之父(nW N*)时，第一步验证时，成立的等式是14 .如图，二面角 a l P ,线段 abuoc . , AB = 4, Bl,AB与l所成的角为30。，点A到平面P的距离为 0 则二面角 豆l P的大小是15 .下列结论:如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂 直；定义运算=ad bc ,复数z满足= 1 + i ,则复数z的模为J5；222=a ；类比复数z ,有z = z ；满足条件 z+i +z-i =2的复数z在复平面上对应点的轨迹是椭圆。真命题的序号是高2011级高二下期半期考试数学试题(理科A)、选择题(每小题5分，共50分)题号12345678910选项BACBADDADA5分，共25分)二、填空题(每小题11、-1 12 、-113,八八45,1+2+3+4 = 或1十2十3+4=10214、土或 60 s3159.第3个式子：x +x33.2心.曳443 3 x3x x xa八33一1一 ，一3 = 4 知 a = 33 3 3 x3猜想：x+ a之 n+1(n w N*)时，a=nn 选 D. x10.由 f(x+2)=f(x2)= f(x) = f(x+4), f(x)的周期为 4,所以，f(x)在 x=5 处的切线斜率等于f (x)在x=-1处的切线斜，又f(x)为偶函数，根据对称性，f (x)在x = -1处的切线斜率与f(x)在x=1处的切线斜率相反，f(1)=-2,故f(-5) = f(-1) = 2选A.、解答题(本题六小题，共 75分)16.(本小题满分12分)已知复数z = 1 - 2i ( i为虚数单位)，把复数z的共轲复数记作z若z z1=4 +3i ,求复数16.解:z = 1 2i4 3i4 3i1 2i=2 -i17.(本小题满分5分)12分)如图,ADD,M分别为AB, PA的中点。求证：（1） PB/面CDM ; （2） AB _L PC .17 .证明：（1）由D,M分别为AB,PA的中点，可知，PB/DM （4分）DM 二面CDM, PB 迎面CDM , 故 PB/面CDM （6分）（2）由 PD 面ABC ,得 PD _L AB；由 AC = BC , D为AB中点，得 CD _L AB；故 AB _L 面 PCD ,又 PC u 面 PCD ，所以 AB _L PC （ 12分）18 .（本小题满分12分）已知函数g （x） = x23x + ln x（x 0）(i)求函数g(x)的单调区间；(n)求函数g(x)在区间 J, e 上的最小值；,221 2x - 3x 1(2x -1)( x -1) /18. 斛：(1) g(x)=2x3+ =(x 0)111 (4 分)x xx1 .、.1由 g (x) 0 得 x 1；由 g(x)0 得 xc1； ( 6分)所以函数g(x)的单调增区间为(0,1),(1,十厘)(或(0,1,1,依)，、一,1 ,、1单调增区间为(1,1)(或1,1 )。(8分)(2)由(1)可知，x=1为g(x)在区间口，e1的极小值点，也是最小值点， _2故函数g(x)在区间 J,e1上的最小值为 g(1) =12 3父1十m1 = 2( 12IL2分)19.(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为矩形，且AD = 2,AB=1,PA_L平面ABCD,PA = 1, E为BC的中点.(1 ) 求点C到面PDE的距离；(2 )求二面角P - DE A的余弦值。19. (1 )(6 分) (2 )几何法：连接 AE ,易得AE = DE = J2 ,而AD =2,AADE为直角三角形，故 AE _L DE又 PA _L 面ABCD ,所以 PA_L DE , DE _L 面 APE_11 、6PE _L DE , SAed = PE DE =- 33 1, k=N ）时，猜想成立，即(7分)111.1k十十十 -r =1 4 4 7 7 10(3k -2)(3k 1) 3k 1那么，当n = k +1时,11111+1 4 4 7 7 10(3k-2)(3k 1) 3(k 1) - 2 3(k 1) 1+3k 1 (3k 1)(3k 4)(9分)_ 2-3k +4k+1 = fk+1) = k1也成立。12(3k 1)(3k 4) (3k 1)(3k 4)3(k 1) 1分)根据(1), (2)可知，Sn3n 1z*一、.(n w N )，得证。(13分)(法二)裂项相消:二 一 ()(3n -2)(3n 1)3 3n - 2 3n 1(6分)Sn =+14 4 7+十7 10(3k -2)(3k 1)11111= 1(1 -1) 1(1-1)343 4 71 111(1-)3 7 101 / 1(_3 3n-2 3n 1(10 分)二(1 一 -34-3(1 一故Sn3n 1n)=7 10 n3n 13n - 2 3n 1(12 分)3n 1(13 分)21.(本小题满分14分)已知函数b . ，一 f(x) = x alnx+ -在x=1处取得极值，且a x(1)求a与b满足的关系式;(2)讨论函数f(x)的单调区间;2 2(3)设函数 g(x) =a x +3 ,若存在m1,m2，使得 | f (m1) g(m)2) |3,a-121 列表如下：x(0,1)1(1, a-1)a -1(a -1, +o)f (x)+0-0+f(x)10所以f (x)单调递增区间为(0,1), (a -1, +；单调递减区间为(1, a-1).分)(3)由(2)得f(x)在.1,1 i上单增，在(1,2上单减，f(x)在.Lzk的最大值为f(1)=2af (x)在1, 2 上恒成立.若存在m1 , .2呼JR,，要使得f (m1)g(m2) 9成立,11 O一只需要 g -f (1)9 ,即a2 +3(2 -a) 9,所以8a3,所以a的取值范围是aw (3, 4)
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