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第一练一、选择题1.下列函数中 ,既是奇函数 ,又在区间 (0, 2 ) 上单调递增的是 ()A.y=2 x-sin x1?B.y=2x-( 2 )C.y=sin x-x D.y=x-cos x答案B对于选项 A, 令 f(x)=2 x由-x1 )?可知-sinx,f(-x)=2-sin(-x)=( 2+sinx-f(x),y=2x-sinx 不是奇函数 ,排除选项 A; 对于选项 B,令 g(x)=2x-(1?2 ),由1-?1?1?1 ?g(-x)=2-x-( 2 )=( 2)-2x=-2x-( 2 )=-g(x), 可知 y=2x-( 2 ) 是奇函数 ,因为 y=2x 在(0,2 ) 上单调递增 ,y=-( 1?1?在 (0, 上单调递增,所以y=2x在(0,上单调递增 故选项B正确;2)2 )-( 2 )2 ),对于选项 C,易知 y=sin x-x 为奇函数,因为 x(0,2 ) 时 ,y=cos x-10)相交所得的弦长为22,则圆 C 的半径r=()A. 2B.2C.22D.4答案B|2+1-5| 又弦长解法一 :依题意知圆 C 的圆心为 (2,1),圆心到直线 l 的距离 d=12+1 2 = 2,22 所以故选为 22,所以 2?B.-?=22,r=2,解法二 :联立得 ?+ ?-5 = 0,整理得 2x22设直线与圆的两个交点分(?-2)2+ (y -1)22-12x+20-r=0,= ?,别为 A(x 1 122所以12122所以=6,x=20 -?,y ),B(x,y ),x+xx2,22=22|AB|=1+ ?|x1-x 2|=2(?1+ ?2)-2(20 - ? 解得r=2.-4?1?236) =2 2,3.已知数据 x ,x,x ,2 的平均值为 2,方差为 1,则数据 x,x ,x10相对于原数据 ()121012A. 一样稳定 B.变得更稳定C.变得不稳定D.稳定性不可以判断答案C 数据 x1210的平均值为方差为故,x ,x ,22,1,1 (x 1-2)2+(x2-2)2+ +(x10-2)2+(2-2)2=1,数据 x1,x2, ,x10 的方差11s2=101 (x 1-2)2+(x2-2)2+(x10-2)21,故相对于原数据变得不稳定,选 C.132处取得极值21的最小值为 ()4.已知 f(x)= 3 x +ax +(b-4)x(a0,b0)在 x=1,则?+?A. 3+2 2 B.3+223C.3 D.22C 由 f(x)=132(x)=x2答案3 x+ax +(b-4)x(a0,b0),得 f+2ax+b-4.由题意得 f2 1212?+? 12112?(1)=12+2a+b-4=0,则 2a+b=3,所以 ?+?=( ?+ ?) 3 =3 ( ?+ ?)(2a+b)=3 (5 +? +2? 12? 2?2? 2?时等号成立故2 1 的最小值为 3.故?)3 (5 + 2?) =3,当且仅当?= ?,即 a=b=1,.?+?选 C.二、填空题5.执行如图所示的程序框图 ,若输出的 y 的值为 1,则输入的 x 的值可能为.答案2 或 -1解析依题意 ,若 x0,则直接执行 y=x-1, 又输出的 y=1,所以 x=2;若 x0,可得输出的 y=x22所以所以输入的x的值可能为2或-1.+1-1=x=1,x=-1.6.已知等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn,若 S1+2S2=3S3,则an 的公比为.1答案-3解析通解 :设公比为 q,当 q=1 时,S12 3不满足123 当时由123,S ,SS +2S =3S .q 1,S +2S =3S ,2? (1 -? )可得 a1+2 1 1 -?3? (1 -? )=3 11- ? ,1-q+2-2q2=3-3q3,即 3q3-2q2-q=0,所以 q(q-1) (3q+1)=0,因为 q0 且 q 1,所以 q=-13 .123112123?113=-3,即 q=-3.优解 :设公比为 q,由 S+2S =3S可得 a +2(a +a )=3(a +a +a ),?2三、解答题7.已知在 ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对边的长 ,bcos B 是 acos C 和 ccos A 的等差中项 .(1)求角 B;(2)若 ABC 的面积 SABC =3cos B,且 b=3,求 ABC 的周长 .解析(1)由已知得 acos C+ccos A=2bcos B,由正弦定理得 sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,即 sin(A+C)=2sin Bcos B.A+C= -B, sin(A+C)=sin B, sin B=2sin Bcos B.易知 sin B0, cos B=12 .又 B(0, ), B=3 .(2)由 S ABC =3cos B 得1 acsin B=3cos B,2由(1)知 B= 3 ,代入上式得 ac=2.由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=3, (a+c)2=3+3ac=9,a+c=3, ABC 的周长为 3+3.8.如图 ,AB 是半圆 O 的直径 ,点 D 是弧 AB 上的动点 (不与 A,B 重合 ),ABC 是BAC=90 的直角三角形 ,且 AB=2,AC=4.(1)将 ABC 沿 AB 翻折 ,使平面 ABC 与半圆 O 所在的平面垂直 ,求证 :平面 ACD 平面BCD;(2)将 ABC 沿 AB 翻折至点 C 到半圆 O 所在平面的距离为 2 的位置 ,求三棱锥 C-ABD 的体积取得最大值时 ,点 D 到平面 ABC 的距离 .解析(1)证明 :点 D 是弧 AB 上不与 A,B 重合的动点 ,AD DB. ABC 是 BAC=90 的直角三角形 , AC AB.易知平面 ABC 平面 ABD, 平面 ABC 平面 ABD=AB,AC 平面 ABD.又 BD? 平面 ABD, AC BD.又 AD AC=A,AD,AC ? 平面 ACD,BD 平面 ACD.又 DB? 平面 BCD,平面 ACD 平面 BCD.(2)将 ABC 沿 AB 翻折至点 C 到半圆 O 所在平面的距离为2 的位置时 ,V三棱锥 C-ABD =1 S ABD 2=2 ABD ,则三棱锥 C-ABD 的体积取得最大值 ,即 S ABD 取得最33 S大值 .易知点 D 为?的中点时 ,S ABD 取得最大值 ,此时 (SABD )max1 ACAB,=22 1=1.1 1S= 2AC AB= 2 4 2=4. ABC设点 D 到平面 ABC 的距离为 h,V=V211, 三棱锥 C-ABD三棱锥 D-ABC31=34h, h=2.故当三棱锥 C-ABD 的体积取得最大值时 ,点 D 到平面 ABC 的距离为 1 .2
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