2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：中档题专练(四)

中档题专练 (四)71.(2019 徐州高三考前模拟检测)在ABC 中,已知 AC=3,cos B=14 ,A= 3 .(1) 求 AB 的长 ;(2) 求 cos (?- 6 ) 的值 .2.(2019 如皋一模 )如图 ,四棱锥 P-ABCD 中,底面为直角梯形 ,AD BC,AD=2BC, 且BAD= BPA=90 ,平面 APB 底面 ABCD, 点 M 为 PD 的中点 .求证 :(1)CM 平面 PAB;(2)PB PD.3.(2018 南京、盐城高三年级第二次模拟考试)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积 S、到商场距离 d 的关系 ,得到关系式 m=k ?2(k 为常数 ,k0), 如图 ,某投资者计划在与商场A 相距 10?km 的新区新建商场B,且商场 B 的面积与商场 A 的面积之比为(0 1). 记“每年居民到商场A 购物的次数”与“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、 m 2,称满足 m 1 b0)的左、右焦点分别?为 F1,F2 ,点 P(3,1) 在椭圆上 ,PF1 F2 的面积为 22.(1) 求椭圆 C 的标准方程 ;若F1QF2= 3 ,求 QF 1QF2 的值 .(2) 直线 y=x+k与椭圆 C 相交于 A,B 两点 ,若以 AB 为直径的圆经过坐标原点,求实数 k 的值 .答案精解精析71.解析(1)在ABC 中 ,因为 cos B= 14,所以 0B 2 ,所以 sin B= 1-cos2 B= 321 ,14又因为 A+B+C= ,所以 sin C=sin -(A+B)=21sin(A+B)=sin (? + 3 ) =sin Bcos3 +cos Bsin3 =7 ,?由正弦定理得 ,sin?= sin? ,?所以 AB= sin?sin C=2.(2) 因为 A+B+C= ,所以 cos C=cos -(A+B)=27-cos(A+B)=-cos (? + 3 ) =sin Bsin3 -cos Bcos3 =7 ,321.所以 cos (?- ) =cos Ccos+sin Csin=666142.证明(1)取 AP 的中点 H,连接 BH,HM, 如图 ,因为 H,M 分别为 AP,DP 的中点 ,1所以 HM= 2 AD 且 HM AD.因为 AD BC 且 AD=2BC, 所以 HM=BC且 HM BC,所以四边形 BCMH 为平行四边形 ,所以 CM BH.因为 CM ? 平面 PAB,BH ? 平面 PAB,所以 CM 平面 PAB.(2) 因为BAD=90 ,所以 BA AD.因为平面 APB平面 ABCD,AD ? 平面 ABCD, 平面 APB平面 ABCD=AB, 所以 AD 平面 APB.因为 PB? 平面 PAB,所以 PBAD.因为BPA=90 ,所以 PBPA.因为 PAAD=A,PA,AD ? 平面 PAD,所以 PB平面 PAD.因为 PD? 平面 PAD, 所以 PBPD.3.解析设商场 A 、B 的面积分别为 S1km 2、 S2 km 2 ,点 P 到 A 、B 的距离分别为 d 1 km 、d 2 km,则 S2= S1 (0 0.12 ,m 2=k 22 ,k?12(1) 在PAB 中,AB=10,PA=15,PAB=60 ,21=PB 2=AB 2+PA 2 -2AB PAcos 60 =10 2+152-2 10 15 =175.由余弦定理 ,得 ?222又?=PA 2=225,1?1?则 m 1 -m 2=k 12 -k22=k12 -k21=kS 1 ( 2 -2 ) ,?121212122将=,?=225, ?=175 代入 ,2121 1得 m 1 -m 2=kS 1( 225 - 350 ) .因为 kS10, 所以 m 1m 2 ,即居住在 P 点处的居民不在商场B 相对于 A 的“更强吸引区域”内 .(2) 以 A 为原点 ,AB 所在直线为 x 轴 ,建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0),B(10,0), 设 P(x,y),?2212由 m 1 m 2 得 k 2 k2,将 S2= S1 代入 ,得 ?2 ?1.?12代入坐标 ,得(x-10) 2 +y 2 (x2 +y 2),化简得 (1- )x2 +(1- )y2 -20x+1000,102210 ?配方得 (?- ) +y 2 () ,1 -?1 - ?所以商场 B 相对于 A 的“更强吸引区域”是圆心为 C(10 ,0) ,1 - ?10 ?半径为 r1 = 1 - ? km 的圆的内部 ,与商场 B 相距 2 km 以内的区域 (含边界 ) 是以 B(10,0) 为圆心 ,r 2=2 km 为半径的圆的内部及圆周 .由题设知圆 B 内含于圆 C,即 BC|r 1 -r 2 |.因为 0 1, 所以1010 ?整理得 4 -5 ?+10,-101-?-2,1 - ?解得 161 0, 满足条件 ,因此 k= 6.