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专题一三角函数与平面向量建知识网络明内在联系高考点拨三角函数与平面向量是高考的高频考点，常以“两小一大”或“4小”的形式呈现，小题主要考查三角函数的图象和性质、平面向量及解三角形的内容，大题常考查解三角形内容，有时平面向量还与圆锥曲线、线性规划等知识相交汇本专题按照“三角函数问题”“解三角形”“平面向量”三条主线分门别类进行备考突破点1三角函数问题核心知识提炼提炼1 三角函数的图象问题(1)函数yAsin(x)解析式的确定：利用函数图象的最高点和最低点确定A，利用周期确定，利用图象的某一已知点坐标确定.(2)三角函数图象的两种常见变换提炼2 三角函数奇偶性与对称性(1)yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得，对称中心的横坐标可由xk，(kZ)解得(2)yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得，对称中心的横坐标可由xk(kZ)解得yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数；对称中心的横坐标可由x(kZ)解得，无对称轴提炼3 三角函数最值问题(1)yasin xbcos xc型函数的最值：可将y转化为ysin(x)c的形式，这样通过引入辅助角可将此类函数的最值问题转化为ysin(x)c的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解(2)yasin2xbsin xcos xccos2x型函数的最值：可利用降幂公式sin2x，sin xcos x，cos2x，将yasin2xbsin xcos xccos2x转化整理为yAsin 2xBcos 2xC，这样就可将其转化为(1)的类型来求最值高考真题回访回访1三角函数的图象问题1(20xx全国卷)函数yAsin(x)的部分图象如图11所示，则()图11Ay2sinBy2sinCy2sin Dy2sinA由图象知，故T，因此2.又图象的一个最高点坐标为，所以A2，且22k(kZ)，故2k(kZ)，结合选项可知y2sin.故选A.2(20xx全国卷)将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sinD函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y2sin2sin，故选D.回访2三角函数的性质问题3(20xx全国卷)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A4 B5C6 D7Bf(x)cos 2x6coscos 2x6sin x12sin2x6sin x22，又sin x1,1，当sin x1时，f(x)取得最大值5.故选B.4(20xx全国卷)在函数ycos |2x|，y|cos x|，ycos，ytan中，最小正周期为的所有函数为()AB C.DCycos |2x|cos 2x，最小正周期为；由图象知y|cos x|的最小正周期为；ycos 的最小正周期T；ytan的最小正周期T.5(20xx全国卷)函数f(x)2cos xsin x的最大值为_f(x)2cos xsin x，设sin ，cos ，则f(x)sin(x)，函数f(x)2cos xsin x的最大值为.回访3三角恒等变换6(20xx全国卷)已知，tan 2，则cos_.coscos cos sin sin (cos sin )又由，tan 2，知sin ，cos ，cos.7(20xx全国卷)已知是第四象限角，且sin，则tan_.由题意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos.tantan.热点题型1三角函数的图象问题题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两方面：一是考查三角函数解析式的求法；二是考查三角函数图象的平移变换，常以选择、填空题的形式考查，难度较低【例1】(1)将函数ycos xsin x(xR)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是() 【导学号：04024024】A.BC.D(2)(20xx深圳二模)已知函数f(x)2sin(x)(0)，x的图象如图12所示，若f(x1)f(x2)，且x1x2，则f(x1x2)()图12A1 B. C. D2(1)A(2)A(1)设f(x)cos xsin x22sin，向左平移m个单位长度得g(x)2sin.g(x)的图象关于y轴对称，g(x)为偶函数，mk(kZ)，mk(kZ)，又m0，m的最小值为.(2)由题可得周期T，则2，那么f(x)2sin(2x)由f2sin0，可得的一个值为，故f(x)2sin.由题知x1x22，故f(x1x2)2sin2sin1，故选A.方法指津1函数yAsin(x)的解析式的确定(1)A由最值确定，A；(2)由周期确定；(3)由图象上的特殊点确定提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先依据图象的升降分清零点的类型2在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向变式训练1(1)为了得到函数ysin的图象，可以将函数ycos 2x的图象()【导学号：04024025】A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度(2)函数f(x)Asin x(A0，0)的部分图象如图13所示，则f(1)f(2)f(3)f(2 016)的值为()图13A0 B3C6 D(1)B(2)A(1)ycos 2xsin，ycos 2x的图象向右平移个单位长度，得ysinsin的图象故选B.(2)由题图可得，A2，T8，8，f(x)2sinx.f(1)，f(2)2，f(3)，f(4)0，f(5)，f(6)2，f(7)，f(8)0，而2 0168252，f(1)f(2)f(2 016)0.热点题型2三角函数的性质问题题型分析：三角函数的性质涉及周期性、单调性以及最值、对称性等，是高考的重要命题点之一，常与三角恒等变换交汇命题，难度中等【例2】已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解 (1)f(x)的定义域为1分f(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin4分所以f(x)的最小正周期T6分(2)令z2x，则函数y2sin z的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ8分设A，B，易知AB10分所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减12分方法指津研究函数yAsin(x)的性质的“两种”意识1转化意识：利用三角恒等变换把待求函数化成yAsin(x)B的形式2整体意识：类比于研究ysin x的性质，只需将yAsin(x)中的“x”看成ysin x中的“x”代入求解便可变式训练2 (1)(名师押题)已知函数f(x)2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x)的图象关于函数g(x)，下列说法正确的是() 【导学号：04024026】A在上是增函数B其图象关于直线x对称C函数g(x)是奇函数D当x时，函数g(x)的值域是2,1(2)(20xx全国卷)函数f(x)sincos的最大值为()A. B1C. D.(1)D(2)A(1)因为f(x)2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得g(x)f2sin2sin2cos 2x.对于A，由x可知2x，故g(x)在上是减函数，故A错；又g2cos0，故x不是g(x)的对称轴，故B错；又g(x)2cos 2xg(x)，故C错；又当x时，2x，故g(x)的值域为2,1，D正确(2)法一：f(x)sincoscos xsin xsin xcos xcos xsin xsin xcos xsin，当x2k(kZ)时，f(x)取得最大值.故选A.法二：，f(x)sincossincossinsinsin.f(x)max.故选A.热点题型3三角恒等变换题型分析：高考对该热点的考查方式主要体现在以下两个方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式对三角函数式化简求值；二是以三角恒等变换为载体，考查yAsin(x)的有关性质【例3】(1)(20xx合肥一模)已知sin 222cos 2，则tan _.(2)如图14，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，AOC，若|BC|1，则cos2sincos 的值为_. 【导学号：04024027】图14(1)0或(2)(1)由sin 222cos 2得2sin cos 4sin2，所以sin 0或tan ，当sin 0时，tan 0，故tan 0或.(2)由题意可知|OB|BC|1，OBC为正三角形由三角函数的定义可知，sinAOBsin，cos2sincoscos sin sin.方法指津1解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二是“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向2在研究形如f(x)asin xbcos x的函数的性质时，通常利用辅助角公式asin xbcos xsin(x)把函数f(x)化为Asin(x)的形式，通过对函数yAsin(x)性质的研究得到f(x)asin xbcos x的性质变式训练3(1)设，且tan ，则()A3B2C3 D2(2)已知sinsin ，0，则cos等于() 【导学号：04024028】AB C.D(1)B(2)C(1)由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin.，由sin()sin，得，2.(2)sinsin ，0，sin cos ，sin cos ，coscos cos sin sin cos sin .
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