高一数学人教A版必修四练习：第二章 平面向量2.4.1 含解析

（人教版）精品数学教学资料(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1已知|a|6，|b|3，ab12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是()A2B2C4D4解析：记向量 a 与 b 的夹角为，由 ab|a|b|cos12，即 63cos12，所以 cos23，所以 a 在 b 方向上的投影为|a|cos623 4.答案：D2若向量 a，b，c 满足 ab 且 ac，则 c(a2b)()A4B3C2D0解析：因为 ab 且 ac，所以 bc，从而 cbca0.所以 c(a2b)ca2cb0.答案：D3已知 ab，|a|2，|b|3 且向量 3a2b 与 kab 互相垂直，则 k 的值为()A32B.32C32D1解析：3a2b 与 kab 互相垂直，(3a2b)(kab)0，3ka2(2k3)ab2b20，ab，ab0，12k180，k32.答案：B4已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60，那么|a3b|()A. 7B. 10C. 13D4解析：|a3b|2a26ab9b216cos 60913，所以|a3b| 13.答案：C二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5已知|a|3，|b|4，则(ab)(ab)_解析：(ab)(ab)a2b2|a|2|b|232427.答案：76 在ABC 中， BAC120， AB2， AC1， D 是边 BC 上一点， DC2BD， 则AD BC_解析：由DC2BD，所以BD13BC，BCACAB，故ADBC(ABBD)BCAB13（ACAB）(ACAB)23AB13AC(ACAB)13ABAC13AC223AB213|AB|AC|cos 12013|AC|223|AB|2132112 131232283.答案：837若|a|1，|b|2，cab，且 ca，则向量 a 与 b 的夹角为_解析：ca，ca0，(ab)a0，即 a2ab0.|a|1，|b|2，12cosa，b0，cosa，b12.又0a，b180，a，b120.答案：120三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)8已知|a|3，|b|6，当ab，ab，a 与 b 的夹角是 60时，分别求 ab.解析：当 ab 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角0，ab|a|b|cos 036118；若 a 与 b 反向，则它们的夹角180，ab|a|b|cos 18036(1)18；当 ab 时，它们的夹角90，ab0；当 a 与 b 的夹角是 60时，有 ab|a|b|cos 6036129.9设向量 a，b 满足|a|b|1，|3ab| 5.(1)求|a3b|的值；(2)求 3ab 与 a3b 夹角的正弦值解析：(1)由|3ab| 5，得(3ab)25，所以 9a26abb25，因为 a2b21，所以 ab56.因此(a3b)2a26ab9b215，所以|a3b| 15.(2)设 3ab 与 a3b 的夹角为，因为(3ab)(a3b)3a28ab3b2203，所以 cos（3ab）（a3b）|3ab|a3b|2035 34 39，因为 0180，所以 sin 1cos214 392339.所以 3ab 与 a3b 的夹角的正弦值为339.能力测评10已知向量 a，b 的夹角为 120，|a|b|1，c 与 ab 共线，则|ac|的最小值为()A1B.12C.34D.32解析：|a|b|1，c 与 ab 共线a 与 c 的夹角为 60或 120.当60时，|ac|a22acc21|c|c|2|c|12234|ac|min1当120时，|ac| 1|c|c|2|c|12234|ac|min32.答案：D11 已知向量 a， b 的夹角为 45， 且|a|4，12ab (2a3b)12， 则|b|_；b 在 a 方向上的投影等于_解析：12ab(2a3b)a212ab3b212，即 3|b|2 2|b|40，解得|b| 2(舍负)，b 在 a 方向上的投影是|b|cos 45 2221.答案：2112已知非零向量 a，b，满足|a|1，(ab)(ab)12，且 ab12.(1)求向量 a，b 的夹角；(2)求|ab|.解析：(1)(ab)(ab)12，a2b212，即|a|2|b|212，又|a|1，|b|22.ab12，|a|b|cos12，cos22，0180，向量 a，b 的夹角为 45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos|b|212，|ab|22.13已知|a|2|b|2，且向量 a 在向量 b 方向上的投影为1.(1)求 a 与 b 的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab 与向量 a3b 互相垂直？解析：(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1.又 a 在 b 方向上的投影为|a|cos1，ab|a|b|cos1.又|a|2，|b|1，cos12，23.(2)(a2b)bab2b2123.(3)ab 与 a3b 互相垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，47.