2020【北师大版】九年级上册数学：2.6.1几何问题及数字问题与一元二次方程教案1

北师大版 2019-2020学年数学精品资料26应用一元二次方程应用一元二次方程第第 1 课时课时几何问题及数字几何问题及数字问题与一元二次方程问题与一元二次方程1 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；(重点、难点)2理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、分析问题，并能运用所学的知识解决问题一、情景导入要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形， 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1cm)?二、合作探究探究点一： 利用一元二次方程解决几何问题【类型一】 面积问题要对一块长 60 米，宽 40 米的矩形荒地 ABCD 进行绿化和硬化 设计方案如图所示，矩形 P，Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD 面积的14，求 P，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽解：设 P，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽为 x 米根 据 题 意 ， 得 (60 3x)(40 2x) 604014，解得 x110，x230.检验：如果硬化路面宽为 30 米，则2306040，所以 x230 不符合题意，舍去，故 x10.故 P，Q 两块绿地周围的硬化路面的宽为 10 米易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制， 因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外， 还必须检验它在实际问题中是否有意义 在求出方程的解为10 或 30 时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD 是一块长 60 米，宽 40 米的矩形”这个已知条件，显然 x30 不符合题意【类型二】 动点问题如图所示，A，B，C，D 为矩形的四个顶点，AB16cm，AD6cm，P，Q分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 运动，一直到达 B 为止，点 Q以 2cm/s 的速度向 D 移动， 点 P 停止运动时点 Q 也停止运动(1)P，Q 两点从出发开始几秒时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm2?(2)P，Q 两点从出发开始几秒时，点 P和点 Q 的距离第一次是 10cm?解：(1)设 P，Q 两点从出发开始 xs 时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm2，根据题意得PBABAP(163x)cm，CQ2xcm.故12(2x163x)633，解得 x5.故 P， Q 两点从出发开始 5s 时， 四边形PBCQ 的面积为 33cm2；(2)设 P， Q 两点从出发开始 xs 时， 点 P和点 Q 的距离是 10cm.如图，过 Q 点作 QMAB 于点 M，则BMCQ2xcm，故 PM(165x)cm.在 RtPMQ 中，PM2MQ2PQ2，(165x)262102.解得 x185，x2245.所求的是第一次满足条件的时间，x85.故 P，Q 两点从出发开始85s 时，点 P和点 Q 的距离第一次是 10cm.方法总结： 解决动态几何问题的关键是寻找点运动的过程中变化的量与不变的量，寻找等量关系列方程对于动点问题，常先假设出点的位置， 根据面积或其他关系列出方程，如果方程的根符合题目的要求，就说明假设成立，否则，假设不成立探究点二： 利用一元二次方程解决数字问题有一个两位数，个位数字与十位数字的和为 14， 交换位置后， 得到新的两位数， 比这两个数字的积还大 38， 求这个两位数解析：这是一个数字排列的问题，题中有两个等量关系，由前一个等量关系知，个位数字与十位数字均可用同一个未知数表示， 这样交换位置后的新两位数也可以用上述未知数表示出来， 然后根据后一个等量关系可列方程求解解：设个位数字为 x，则十位数字为 14x， 两数字之积为 x(14x)， 两个数字交换位置后的新两位数为 10 x(14x)根据题意，得 10 x(14x)x(14x)38.整理，得 x25x240，解得 x18，x23.因为个位数上的数字不可能是负数， 所以 x3 应舍去当 x8 时，14x6.所以这个两位数是 68.方法总结： (1)数字排列问题常采用间接设未知数的方法求解(2)注意数字只有 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个，且最高位上的数字不能为 0，而其他如分数、负数根不符合实际意义，必须舍去三、板书设计几何问题及数字问题几何问题面积问题动点问题数字问题经历分析具体问题中的数量关系， 建立方程模型解决问题的过程， 认识方程模型的重要性.通过列方程解应用题， 进一步提高逻辑思维能力和分析问题、 解决问题的能力.经历探索过程， 培养合作学习的意识.体会数学与实际生活的联系， 进一步感知方程的应用价值.