陕西省商洛市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）

陕西省商洛市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一、单选题（共12题；共60分）1.(1+3i)+(2i)= （ ） A.1+2iB.32iC.12iD.3+2i2.设集合 P=x|x29 ， Q=x|x20 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A.x|x3C.x|3x2D.x|210.1)=0.2 .若从A类零件中随机选取100个，则零件质量在 9.9kg10.1kg 的个数大约为（ ） A.40B.30C.60D.2410.已知 P 为曲线 C:x=3y 上一点， T(0,94) ， A(3,3) ，则 |PT|+|PA| 的最小值为（ ） A.6B.234C.5D.21411.已知函数 f(x)=sin(x2+14)sin(37x2)(0) 在 0,) 上恰有6个零点，则 的取值范围是（ ） A.(417,487B.(347,417C.417,487)D.347,417)12.若 a=log1243 ， b=ln34 ， c=14 ，则（ ） A.abcB.bacC.cabD.ac1) 的焦点与双曲线 D:x22y2t=1(t0) 的焦点相同，且D的离心率为 62 . （1）求C与D的方程； （2）若 P(0,1) ，直线 l:y=x+m 与C交于A ， B两点，且直线PA ， PB的斜率都存在. 求m的取值范围.试问这直线PA ， PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.已知函数 f(x)=2ex(ex2a)+4ax+a2 . （1）当 a0 时，求 f(x) 极值点的个数； （2）若 x1 ， x2 是 f(x) 的两个极值点，且 f(x1)+f(x2)M 在 2,3 上恒成立，求 a 的取值范围. 答案解析部分一、单选题（共12题；共60分）1.(1+3i)+(2i)= （ ） A.1+2iB.32iC.12iD.3+2i【答案】 D 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解： (1+3i)+(2i)=3+2i故答案为：D 【分析】根据题意由复数的运算性质整理即可得出答案。2.设集合 P=x|x29 ， Q=x|x20 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A.x|x3C.x|3x2D.x|20=x|x2 ， 所以 PQ=x|210.1)=0.2 .若从A类零件中随机选取100个，则零件质量在 9.9kg10.1kg 的个数大约为（ ） A.40B.30C.60D.24【答案】 C 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【解析】【解答】正态分布 N(10,2) 的对称轴为 m=10 ， 所以 P(m10.1)=0.2 .所以 P(9.9m10.1)=1P(m10.1)=0.6 ，所以若从A类零件中随机选取100个，则零件质量在 9.9kg10.1kg 的个数大约为 1000.6=60 个.故答案为：C. 【分析】由正太分布的性质结合已知条件，代入数值计算出结果即可。10.已知 P 为曲线 C:x=3y 上一点， T(0,94) ， A(3,3) ，则 |PT|+|PA| 的最小值为（ ） A.6B.234C.5D.214【答案】 D 【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质 【解析】【解答】由题意知：曲线 C 是抛物线 x2=9y 的右半部分且 T(0,94) 是焦点， P 为曲线 C 上一点，若 P 到准线 y=94 的距离为 d ，则 d=|PT| ， |PT|+|PA|=d+|PA| ，要使其值最小，则 d+|PA| 即为 A 到准线 y=94 的距离， |PT|+|PA| 的最小值为 3+94=214 .故答案为：D 【分析】根据题意由抛物线的定义求出d的值，再结合题意即可得出|PT|+|PA|=d+|PA| ， 从而计算出结果。11.已知函数 f(x)=sin(x2+14)sin(37x2)(0) 在 0,) 上恰有6个零点，则 的取值范围是（ ） A.(417,487B.(347,417C.417,487)D.347,417)【答案】 A 【考点】两角和与差的正弦公式，函数的零点，诱导公式 【解析】【解答】 f(x)=sin(x2+14)sin(37x2)=sin(x2+14)cos2(37x2)=sin(x2+14)cos(x2+14)=12sin(x+7)x=0 时 x+7=7 ； x= 时 x+7=+7 ；由 f(x)=12sin(x+7)=0 得 x+7=k(kZ)在 0,) 上恰有6个零点且 0 ,则 6+77 ， 417487故答案为：A 【分析】首先由诱导公式以及两角和的正弦公式整理化简原式，再由整体思想结合零点的定义即可求出的值。12.若 a=log1243 ， b=ln34 ， c=14 ，则（ ） A.abcB.bacC.cabD.aclog342log34elog3425681=4 ，所以 1log3421log34e14 ，即 abc故答案为：A 【分析】首先由对数的运算性质整理化简a与b，再由对数函数的单调性即可比较出大小。二、填空题（共4题；共20分）13.圆 x2+(y1)2=1 的圆心到直线 x+y+1=0 的距离为_. 【答案】2【考点】点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：圆 x2+(y1)2=1 的圆心坐标为 (0,1) ，所以圆心到直线 x+y+1=0 的距离 d=|1+1|12+12=2故答案为： 2 【分析】根据题意首先求出圆心坐标以及半径，再由点到直线的距离公式计算出结果即可。14.已知向量 a=(2,) 与 b=(3,1) 垂直，则 a2= _. 【答案】 240 【考点】向量数乘的运算及其几何意义，平面向量的坐标运算 【解析】【解答】由题意， 2(3)+=0 ，则 =6 ， a2=|a|2=6(4+36)=240 .故答案为：240 【分析】首先由向量垂直的坐标公式代入数值计算出的值，再把数值代入到a2计算出答案。15.已知 ABC 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， 且 sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB ，现有下列四个结论： C=23 ；当 a=lg2 ， b=lg5 时， c2=13lg2lg5 ；当 c=23 时， ABC 外接圆的面积为 16 ；当 c=2 时， ABC 面积的最大值为 3 .其中所有正确结论的编号是_. 【答案】 【考点】对数的运算性质，正弦定理，余弦定理 【解析】【解答】解：因为 sin2A+sin2Bsin2C=sinAsinB ，由正弦定理可得 a2+b2c2=ab ，所以 cosC=a2+b2c22ab=12 ，因为 C(0,) ，所以 C=3 ，故错误，当 a=lg2 、 b=lg5 时 c2=a2+b2ab=lg22+lg25lg2lg5=(lg2+lg5)23lg2lg5=13lg2lg5 ，故正确；当 c=23 时，设其外接圆的半径为 R ，由正弦定理可得 2R=csinC=2332=4 ，所以 R=2 ，所以外接圆的面积为 4 ，故错误；当 c=2 时，由 a2+b2c2=ab ，所以 a2+b2=4+ab2ab ，即 ab4 ，当且仅当 a=b 时取等号，所以 SABC=12absinC=34ab3 ，故正确； 故答案为： 【分析】利用正弦定理以及余弦定理整理化简即可求出角C的值由此判断出错误；结合对数的运算性质即可判断出正确；由正弦定理结合三角形的面积公式即可求出R的值由此判断出错误；对c赋值然后由基本不等式结合三角形的面积公式即可判断出正确；由此得出答案。16.中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年前222年)，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器.如图，某沙漏由上下两个圆锥容器组成，圆锥底面圆的直径和高均为4cm，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 34 (细管长度忽略不计).若细沙的流速为每分钟1cm3 ， 则上部细沙全部流完的时间约为_分钟(结果精确到整数部分)；若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则该沙堆的高为_cm. 【答案】 7；2716【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】由题设，圆锥底面圆半径为 R ，高为 ，则 R=2 cm， =4 cm， 当细沙全部在上部时，细沙形状可看作一个圆锥，其底面圆半径 r 满足，rR=34=34 ， r=34R=32 cm，细沙的体积 V=13r234=13(32)23=94 cm3.若细沙的流速为每分钟1cm3 ， 则上部细沙全部流完的时间为 94 分钟，约为7分钟.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，设该圆锥形沙堆高为 1 ，则由细沙漏入前后体积不变得， 13R21=94 ，把 R=2 代入，解得 1=2716 cm.故答案为：7； 2716 . 【分析】根据题意即可得出当细沙全部在上部时，细沙形状可看作一个圆锥，其底面圆半径 r 满足的关系式，然后由圆锥的体积公式代入数值计算出结果即可；若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，由等体积法就可求出沙堆的高。三、解答题（共7题；共70分）17.如图，在空间直角坐标系 Oxyz 中，A ， D ， B分别在x ， y ， z轴的正半轴上，C在平面BOD内. （1）若 OECD ，证明： CDAE . （2）已知 OA=OD=3 ， OB=2 ，C的坐标为 (0,2,4) ，求BC与平面ACD所成角的正弦值. 【答案】 （1） AO 面 BOD ， CD 面 BOD ， AOCD ，而 OECD ， AOOE=O ， CD 面 AOE ，而 AE 面 AOE ， CDAE .（2）由题意知： A(3,0,0) ， D(0,3,0) ， B(0,0,2) ， AC=(3,2,4) ， DC=(0,1,4) ， BC=(0,2,2) ，若 m=(x,y,z) 是面ACD的一个法向量，则 3x+2y+4z=0y+4z=0 ，令 z=1 ，有 m=(4,4,1) ， |cos|=|BCm|BC|m|=10833=56666 ，BC与平面ACD所成角的正弦值为 56666 .【考点】直线与平面垂直的性质，空间向量的数量积运算，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】(1)由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理以及性质定理即可得证出结论。 (2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ACD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ACD的法向量的坐标，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值即为线面角的正弦值，由此得到BC与平面ACD所成角的正弦值 。18.2020年某地苹果出现滞销现象，为了帮助当地果农度过销售难关，当地政府与全国一些企业采用团购的方式带动销售链，使得积压了许多苹果的当地果农有了销路.为了解果农们苹果的销售量情况，当地农业局随机对100名果农的苹果销售量进行统计，将数据分成 90,110) ， (110,130 ， (130,150 ， (150,170 4组，得到如图所示的频率分布直方图.(同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替) （1）试估计这100名果农苹果销售量的平均数； （2）假设这100名果农在未打开销路之前都积压了2万千克的苹果，通过团购的方式果农每千克苹果的纯利润为1.3元，而积压仍未售出的苹果每千克将损失2元的成本费，试估计这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润. 【答案】 （1）x=(1000.0025+1200.01+1400.0225+1600.015)20=140 ， 这100名果农苹果销售量的平均数为1.4万千克；（2）销售量在 90,110) 的每位果农的利润为 1001001.3(2104100100)2=0.7 万元；销售量在 (110,130 的每位果农的利润为1201001.3(2104120100)2=0.04 万元；销售量在 (130,150 的每位果农的利润为1001401.3(2104140100)2=0.62 万元；销售量在 (150,170 的每位果农的利润为1001601.3(2104160100)2=1.28 万元；因为 90,110) ， (110,130 ， (130,150 ， (150,170 4组的人数分别为5,20,45,30，所以这100名果农积压的苹果通过此次团购活动获得的总利润约为0.750.0420+0.6245+1.2830=62 万元.【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数 【解析】【分析】(1)由已知条件的频率直方图中的数据，结合平均数的公式计算出结果即可。 (2)根据题意由已知条件代入数值计算出答案。19.在各项均为正整数的等差数列 an 中， a10a2=16 ，且 a72 为小于10的质数. （1）求 an 的通项公式； （2）若 bn=2n(an1) ，求数列 bn 的前 n 项和 Sn . 【答案】 （1）解：设等差数列 an 的首项为 a1 ，因为 a10a2=16 ，所以 8d=a10a2=16 ，即 d=2 ，所以 a72=a1+6d2=a1+122 ，因为 a72 为小于10的质数，且 a1 为正整数，所以 a1=2 ，所以 an=a1+(n1)d=2n（2）因为 bn=2n(an1) ，所以 bn=2n(2n1) ， 所以 Sn=121+322+523+(2n1)2n 所以 2Sn=122+323+524+(2n1)2n+1 -得 Sn=121+222+223+22n(2n1)2n+1Sn=121+23(12n1)12(2n1)2n+1Sn=28+22n+1(2n1)2n+1=6(2n3)2n+1所以 Sn=6+(2n3)2n+1【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，数列的求和 【解析】【分析】(1)首先由等差数列的通项公式整理化简已知条件由此求出公差的值，从而求出数列的通项公式。 (2)由(1) 的结论整理求出数列bn的通项公式，再由错位相减法求出数列前n项和。 20.已知椭圆 C:x2a2+y2=1(a1) 的焦点与双曲线 D:x22y2t=1(t0) 的焦点相同，且D的离心率为 62 . （1）求C与D的方程； （2）若 P(0,1) ，直线 l:y=x+m 与C交于A ， B两点，且直线PA ， PB的斜率都存在. 求m的取值范围.试问这直线PA ， PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】 （1）解：因为D的离心率为 62 ，即 1+t2=62 ， 解得： t=1 ，所以D的方程为： x22y2=1 ；焦点坐标为 (3,0) ，又因椭圆 C:x2a2+y2=1(a1) 的焦点与双曲线 D:x22y2t=1(t0) 的焦点相同，所以 a21=3 ，所以 a2=4 ，所以C的方程为： x24+y2=1 ；（2）如图： 因为直线 l:y=x+m 与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在，所以 m1 ，联立 x24+y2=1y=x+m ，消 x 化简得： 5y22my+m24=0 ，所以 =4m220(m24)0 ，解得 5m5 ，所以 5m5 且 m1 ；设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，由得： y1+y2=2m5,y1y2=m245 ，kPA=y11x1,kPB=y21x2 ，所以 kPAkPB=(y11)(y21)x1x2=y1y2(y1+y2)+1(y1+m)(y2+m)=m14(m+1) ，故直线PA，PB的斜率之积不是是定值.【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】(1)首先由离心率的公式求出t的值，再由已知条件集合椭圆的性质求出焦点的坐标，进而求出a的值，从而得到椭圆和双曲线的方程。 (2) 由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，再直线向量的公式整理得到kPAkPB=m14(m+1) ， 由此得出结论。21.已知函数 f(x)=2ex(ex2a)+4ax+a2 . （1）当 a0 时，求 f(x) 极值点的个数； （2）若 x1 ， x2 是 f(x) 的两个极值点，且 f(x1)+f(x2)0 ， f(x)=g(t)=4t24at+4a=4(ta2)2+4aa2 ，又 a0 ， (0,a2) 上 g(t) 单调递减； (a2,+) 上 g(t) 单调递增；而 g(0)=4a0 ， g(a+a24a2)=0 ， t(0,a+a24a2) 上 g(t)0 ； x(,lna+a24a2) 上 f(x)0 ， f(x) 单调递增； f(x) 极值点只有一个极小值点.（2）由（1）知： t=ex0 ， f(x)=g(t)=4t24at+4a ， 要使 f(x) 有两个极值点，即 g(t) 有两个不同的根，则 g(0)0a20=16a264a0 ，即 a4 ，此时，若 t1=ex1 、 t2=ex2 ，则 t1+t2=a ， t1t2=a ，又 f(x1)+f(x2)=2(t1+t2)24t1t24a(t1+t2)+4aln(t1t2)+a2 ， f(x1)+f(x2)=4alna4aa2 ， tf(x1)+f(x2)ex1+ex2=4lnaa4 恒成立，若 (a)=4lnaa4 ，只需在 a4 上 t(a)max 即可，而 (a)=4a10 ， (a) 单调递减，则 (a)8(ln21) .【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】(1)首先对函数求导，结合a的取值范围得到导函数的正负，由此得到函数的单调性，然后由极值的定义即可得出答案。 (2)由(1)的结论再结合零点与方程的关系，由此得到关于a的不等式组以及韦达定理得到t1+t2=a ， t1t2=a ， 由已知条件整理即可得到f(x1)+f(x2)=4alna4aa2 ， 分离参数得到tf(x1)+f(x2)ex1+ex2=4lnaa4恒成立，构造函数(a)=4lnaa4结合导函数的性质即可得到函数的单调性，由函数的单调性即可求出最值，从而得到t的取值范围。22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x=3+3cos,y=3sin ( 为参数).以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2sin(+4)+1=0 ，点 P 的极坐标为 (1,) . （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）若 C 与 l 交于M ， N两点，求 |PM|+|PN| 的值. 【答案】 （1）解：因为曲线 C 的参数方程为 x=3+3cos,y=3sin ( 为参数).因为 sin2+cos2=1 ，所以 (x3)2+y2=9 ，即 C 的普通方程为 (x3)2+y2=9 ； 直线 l 的极坐标方程为 2sin(+4)+1=0 ，所以 2(sincos4+cossin4)+1=0 ，即 sin+cos+1=0 ，因为 y=sinx=cos ，所以 x+y+1=0 ，即 l 的直角坐标方程为 x+y+1=0 ；（2）因为点 P 的极坐标为 (1,) ，所以 x=1cos=1y=1sin=0 ，所以点 P 的直角坐标为 (1,0) ，则直线的参数方程为 x=122ty=22t （ t 为参数），将直线的参数方程代入圆的普通方程得 (122t3)2+(22t)2=9 ，即 t2+42t+7=0 ，所以 t1+t2=42t1t2=7 ，所以 |PM|+|PN|=|t1+t2|=42【考点】圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程 【解析】【分析】(1)由参数方程和普通方程互化公式整理得出曲线C的方程，再由直线的极坐标方程转化为直线的普通方程即可。 (2)首先由直线的参数方程联立圆的普通方程，消元后得到关于t的方程，结合韦达定理以及弦长公式代入数值计算出结果即可。 23.已知函数 f(x)=|x+3|x2| ，函数 g(x)=x2+ax1 . （1）求不等式 f(x)1 的解集； （2）设 f(x) 的最大值为M ， 若关于 x 的不等式 g(x)M 在 2,3 上恒成立，求 a 的取值范围. 【答案】 （1）由题设知： f(x)=5,x32x+1,32 ， 当 x3 时， 51 不成立；当 32 时， 51 恒成立.综上，不等式 f(x)1 的解集为 x|x0 .（2）由（1）知 f(x) 的最大值为 M=5 ，故 g(x)5 在 2,3 上恒成立， x2+ax60 在 2,3 上恒成立，即 a6xx 在 2,3 上恒成立，故 a(6xx)max 即可. y=6xx 在 2,3 上单调递减，则 y1,1 ， a1【考点】函数的最值及其几何意义，不等式的综合 【解析】【分析】(1)由绝对值的几何意义化简函数的解析式，然后由不等式的解法求解出不等式f(x)1的解集即可。 (2)由(1) 的结论结合函数的最值以及二次函数的性质即可得出a(6xx)max ， 利用对勾函数的单调性即可求出y1,1 ， 从而得到a的取值范围。