工程数学本科形考任务答案

工程数学作业（一）答案 第 2 章 矩阵（一）单项选择题（每小题 2 分，共 20 分） 设 ，则 （ D ） A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 若 ，则 （ A ） A. B. 1 C. D. 1 乘积矩阵 中元素 （ C ） A. 1 B. 7 C. 10 D. 8 设 均为 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B ） A. B. C. D. 设 均为 阶方阵， 且 ，则下列等式正确的是（ D ） A. B. C. D. 下列结论正确的是（ A ） A. 若 是正交矩阵，则 也是正交矩阵 B. 若 均为 阶对称矩阵，则 也是对称矩阵 C. 若 均为 阶非零矩阵，则 也是非零矩阵 D. 若 均为 阶非零矩阵，则 矩阵 的伴随矩阵为（ C ） A. B. C. D. 方阵 可逆的充分必要条件是（ B ） A. B. C. D. 设 均为 阶可逆矩阵，则 （ D ） A. B. C. D. 设 均为 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ A ） A. B. C. D. （二）填空题（每小题 2 分，共 20 分） 7 是关于 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 若 为 矩阵， 为 矩阵，切乘积 有意义，则 为 5 4 矩阵 二阶矩阵 设 ，则 设 均为 3 阶矩阵，且 ，则 72 设 均为 3 阶矩阵，且 ，则 3 若 为正交矩阵，则 0 矩阵 的秩为 2 设 是两个可逆矩阵，则 （三）解答题（每小题 8 分，共 48 分） 设 ，求 ； ； ； ； ； 答案： 设 ，求 解 ： 已知 ，求满足方程 中的 解 ： 写出 4 阶行列式中元素 的代数余子式，并求其值答案 ： 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： ； ； 解：（ 1 ） （ 2 ） ( 过程略 ) (3) 求矩阵 的秩解 ： （四）证明题（每小题 4 分，共 12 分） 对任意方阵 ，试证 是对称矩阵证明： 是对称矩阵 若 是 阶方阵，且 ，试证 或 证明 ： 是 阶方阵，且 或 若 是正交矩阵，试证 也是正交矩阵证明： 是正交矩阵 即 是正交矩阵工程数学作业（第二次） 第 3 章 线性方程组（一）单项选择题 ( 每小题 2 分，共 16 分 ) 用消元法得 的解 为（ C ） A. B. C. D. 线性方程组 （ B ） A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解 向量组 的秩为（ A ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 设向量组为 ，则（ B ）是极大无关组 A. B. C. D. 与 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（ D ） A. 秩 秩 B. 秩 秩 C. 秩 秩 D. 秩 秩 若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（ A ） A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 以下结论正确的是（ D ） A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解 若向量组 线性相关，则向量组内（ A ）可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量9 设 A ，为 阶矩阵， 既是又是的特征值， 既是又是的属于 的特征向量，则结论（）成立 是 AB 的特征值 是 A+B 的特征值 是 A B 的特征值 是 A+B 的属于 的特征向量10 设，为 阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似 （二）填空题 ( 每小题 2 分，共 16 分 ) 当 时，齐次线性方程组 有非零解 向量组 线性 相关 向量组 的秩是 设齐次线性方程组 的系数行列式 ，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量 是线性 相关 的 向量组 的极大线性无关组是 向量组 的秩与矩阵 的秩 相同 设线性方程组 中有 5 个未知量，且秩 ，则其基础解系中线性无关的解向量有 个 设线性方程组 有解， 是它的一个特解，且 的基础解系为 ，则 的通解为 9 若 是的特征值，则 是方程 的根 10 若矩阵满足 ，则称为正交矩阵（三）解答题 ( 第 1 小题 9 分，其余每小题 11 分 ) 1 用消元法解线性方程组解： 方程组解为 设有线性方程组 为何值时，方程组有唯一解 ? 或有无穷多解 ?解： 当 且 时， ，方程组有唯一解当 时， ，方程组有无穷多解 判断向量 能否由向量组 线性表出，若能，写出一种表出方式其中 解 ：向量 能否由向量组 线性表出，当且仅当方程组 有解这里 方程组无解 不能由向量 线性表出 计算下列向量组的秩，并且（ 1 ）判断该向量组是否线性相关 解 ： 该向量组线性相关 求齐次线性方程组的一个基础解系解： 方程组的一般解为 令 ，得基础解系 求下列线性方程组的全部解 解： 方程组一般解为 令 ， ，这里 ， 为任意常数，得方程组通解试证：任一维向量 都可由向量组， ， ， 线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式证明： 任一维向量可唯一表示为 试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明： 设 为含 个未知量的线性方程组该方程组有解，即 从而 有唯一解当且仅当 而相应齐次线性方程组 只有零解的充分必要条件是 有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组 只有零解9 设 是可逆矩阵的特征值，且 ，试证： 是矩阵 的特征值证明： 是可逆矩阵的特征值 存在向量 ，使 即 是矩阵 的特征值10 用配方法将二次型 化为标准型解：令 ， ， ， 即 则将二次型化为标准型 工程数学作业（第三次）第 4 章 随机事件与概率（一）单项选择题 为两个事件，则（ B ）成立 A. B. C. D. 如果（ C ）成立，则事件 与 互为对立事件 A. B. C. 且 D. 与 互为对立事件 10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为（ D ） A. B. C. D. 4. 对于事件 ，命题（ C ）是正确的 A. 如果 互不相容，则 互不相容 B. 如果 ，则 C. 如果 对立，则 对立 D. 如果 相容，则 相容某随机试验的成功率为 , 则在 3 次重复试验中至少失败 1 次的概率为（ D ） A. B. C. D. 6. 设随机变量 ，且 ，则参数 与 分别是（ A ） A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.27. 设 为连续型随机变量 的密度函数，则对任意的 ， （ A ） A. B. C. D. 8. 在下列函数中可以作为分布密度函数的是（ B ） A. B. C. D. 9. 设连续型随机变量 的密度函数为 ，分布函数为 ，则对任意的区间 ，则 （ D ） A. B. C. D. 10. 设 为随机变量， ，当（ C ）时，有 A. B. C. D. （二）填空题从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 2. 已知 ，则当事件 互不相容时， 0.8 ， 0.3 3. 为两个事件，且 ，则 4. 已知 ，则 5. 若事件 相互独立，且 ，则 6. 已知 ，则当事件 相互独立时， 0.65 ， 0.3 7. 设随机变量 ，则 的分布函数 8. 若 ，则 6 9. 若 ，则 10. 称为二维随机变量 的 协方差 （三）解答题1. 设 为三个事件，试用 的运算分别表示下列事件： 中至少有一个发生； 中只有一个发生； 中至多有一个发生； 中至少有两个发生； 中不多于两个发生； 中只有 发生解 : (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 袋中有 3 个红球， 2 个白球，现从中随机抽取 2 个球，求下列事件的概率： 2 球恰好同色； 2 球中至少有 1 红球解 : 设 = “ 2 球恰好同色”， = “ 2 球中至少有 1 红球” 3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是 2% ，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3% ，求加工出来的零件是正品的概率解： 设 “第 i 道工序出正品”（ i=1,2 ）4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占 50% ，乙厂产品占 30% ，丙厂产品占 20% ，甲、乙、 丙厂产品的合格率分别为 90%,85%,80% ，求买到一个热水瓶是合格品的概率解： 设 5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止已知他每发命中的概率是 ，求所需设计次数 的概率分布解： 故 X 的概率分布是6. 设随机变量 的概率分布为试求 解：7. 设随机变量 具有概率密度试求 解： 8. 设 ，求 解： 9. 设 ，计算 ； 解：10. 设 是独立同分布的随机变量，已知 ，设 ，求 解： 工程数学作业（第四次）第 6 章 统计推断（一）单项选择题 设 是来自正态总体 （ 均未知）的样本，则（ A ）是统计量 A. B. C. D. 设 是来自正态总体 （ 均未知）的样本，则统计量（ D ）不 是 的无偏估计 A. B. C. D. （二）填空题 1 统计量就是 不含未知参数的样本函数 2 参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法 3 比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 4 设 是来自正态总体 （ 已知）的样本值，按给定的显著性水平 检验 ，需选取统计量 5 假设检验中的显著性水平 为 事件 （ u 为临界值） 发生的概率 （三）解答题 1 设对总体 得到一个容量为 10 的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值 和样本方差 解： 2 设总体 的概率密度函数为试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数 解：提示教材第 214 页例 3矩估计： 最大似然估计：， 3 测两点之间的直线距离 5 次，测得距离的值为（单位： m ）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布 的，求 与 的估计值并在 ； 未知的情况下，分别求 的置信度为 0.95 的置信区间解： （ 1 ）当 时，由 1 0.95 ， 查表得： 故所求置信区间为： （ 2 ）当 未知时，用 替代 ，查 t (4, 0.05 ) ，得 故所求置信区间为： 4 设某产品的性能指标服从正态分布 ，从历史资料已知 ，抽查 10 个样品，求得均值为 17 ，取显著性水平 ，问原假设 是否成立 解： ，由 ，查表得： 因为 1.96 ，所以拒绝 5 某零件长度服从正态分布，过去的均值为 20.0 ，现换了新材料，从产品中随机抽取 8 个样品，测得的长度为（单位： cm ）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（ ）解：由已知条件可求得： | T | 2.62 接受 H 0