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“2道”拉分题专练卷(一)1已知函数f(x)ln xax2(2a)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a>0,证明:当0<x<时,f>f;(3)若函数yf(x)的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f(x0)<0.解:(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)2ax(2a).若a0,则f(x)>0,所以f(x)在(0,)上单调递增;若a>0,则由f(x)0得x,且当x时,f(x)>0;当x>时,f(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减(2)证明:设函数g(x)ff,则g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax,g(x)2a.当0<x<时,g(x)>0,而g(0)0,所以g(x)>0,故当0<x<时,f>f.(3)证明:由(1)可得,当a0时,函数yf(x)的图像与x轴至多有一个交点,故a>0,从而f(x)的最大值为f,且f>0.不妨设A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,则0<x1<<x2.由(2)得f f>f(x1)0.从而x2>x1,于是x0>.由(1)知,f(x0)<0.2在平面直角坐标系中,已知焦距为4的椭圆C:1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,过F作垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S两点,若线段RS的长为.(1)求椭圆C的方程;(2)设Q(9,m)是直线x9上的点,直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N,求证:直线MN必过x轴上的一定点,并求出此定点的坐标解:(1)依题意,椭圆过点,故解得所以椭圆C的方程为1.(2)由题意知,直线QA的方程为y(x3),代入椭圆方程,得(80m2)x26m2x9m27200,设M(x1,y1),则3x1x1,所以y1(x13),故点M的坐标为.同理,直线QB的方程为y(x3),代入椭圆方程,得(20m2)x26m2x9m21800,设N(x2,y2),则3x2x2,所以y2(x23),故点N的坐标为.若m240,直线MN的方程为x1,与x轴交于点(1,0);若m240,直线MN的方程为y,令y0,解得x1.综上所述,直线MN必过x轴上的定点(1,0)
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