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最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料数学数学必修必修 1(人教人教 A 版版)一、集合一、集合1集合：某些指定的对象集在一起成为集合集合：某些指定的对象集在一起成为集合(1)集合中的对象称元素集合中的对象称元素，若若 a 是集合是集合 A 的元素的元素，记作记作 aA；若若b 不是集合不是集合 A 的元素，记作的元素，记作 b A.(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性确定性确定性：设设 A 是一个给定的集合是一个给定的集合，x 是某一个具体对象是某一个具体对象，则或者则或者是是 A 的元素，或者不是的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成的元素，两种情况必有一种且只有一种成立立互异性互异性： 一个给定集合中的元素一个给定集合中的元素， 指属于这个集合的互不相同的指属于这个集合的互不相同的个体个体(对象对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素，因此，同一集合中不应重复出现同一元素无序性无序性： 集合中不同的元素之间没有地位差异集合中不同的元素之间没有地位差异， 集合不同于元素集合不同于元素的排列顺序无关的排列顺序无关(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法表示一个集合可用列举法、描述法或图示法列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内内描述法描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号写在大括号内内 具体方法具体方法： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值值(或变化或变化)范围范围，再画一条竖线再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征有的共同特征特别关注特别关注： 列举法与描述法各有优点列举法与描述法各有优点， 应该根据具体问题确定采应该根据具体问题确定采用哪种表示法用哪种表示法，要注意要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时一般集合中元素较多或有无限个元素时，不不宜采用列举法宜采用列举法(4)常用数集及其记法常用数集及其记法非负整数集非负整数集(或自然数集或自然数集)，记作，记作 N；正整数集，记作正整数集，记作 N*或或 N；整数集，记作整数集，记作 Z；有理数集，记作有理数集，记作 Q；实数集，记作实数集，记作 R.2集合的包含关系集合的包含关系(1)集合集合 A 的任何一个元素都是集合的任何一个元素都是集合 B 的元素的元素， 则称则称 A 是是 B 的子的子集集(或或 B 包含包含 A)，记作，记作 AB(或或 BA)集合相等：构成两个集合的元素完全一样若集合相等：构成两个集合的元素完全一样若 AB 且且 BA，则称则称 A 等于等于 B，记作，记作 AB；若；若 AB 且且 AB，则称，则称 A 是是 B 的真子的真子集，记作集，记作 AB.(2)简单性质简单性质：AA； A；若若 AB，BC，则则 AC；若集合若集合 A 是是 n 个元素的集合个元素的集合， 则集合则集合 A 有有 2n个子集个子集(其中其中 2n1 个个真子集真子集)3全集与补集全集与补集(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作集，记作 U.(2)若若 S 是一个集合是一个集合，AS，则则 SAx|xS 且且 x A称称 S 中子中子集集A 的补集的补集(3)简单性质：简单性质： S( SA)A； SS ； S S.4交集与并集交集与并集(1)一般地，由属于集合一般地，由属于集合 A 且属于集合且属于集合 B 的元素所组成的集合，的元素所组成的集合，叫做集合叫做集合 A 与与 B 的交集交集的交集交集 ABx|xA 且且 xB(2)一般地，由所有属于集合一般地，由所有属于集合 A 或属于集合或属于集合 B 的元素所组成的集的元素所组成的集合，称为集合合，称为集合 A 与与 B 的并集并集的并集并集 ABx|xA 或或 xB特别关注特别关注：求集合的并求集合的并、交交、补是集合间的基本运算补是集合间的基本运算，运算结果运算结果仍然还是集合仍然还是集合， 区分交集与并集的关键是区分交集与并集的关键是“且且”与与“或或”， 在处理有在处理有关交集与并集的问题时关交集与并集的问题时， 常常从这两个字眼出发去揭示常常从这两个字眼出发去揭示、 挖掘题设条挖掘题设条件件，结合结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想增强数形结合的思想方法方法5集合的简单性质集合的简单性质(1)AAA，A ，ABBA；(2)A A，ABBA；(3)(AB)(AB)；(4)ABABA；ABABB；(5) S(AB)( SA)( SB)， S(AB)( SA)( SB)二、函数二、函数1函数的概念函数的概念设设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对，使对于集合于集合 A 中的任意一个数中的任意一个数 x， 在集合在集合 B 中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数 f(x)和它和它对应，那么就称对应，那么就称 f：AB 为从集合为从集合 A 到集合到集合 B 的一个函数记作的一个函数记作 yf(x)，xA.其中其中，x 叫做自变量叫做自变量，x 的取值范围的取值范围 A 叫做函数的定义叫做函数的定义域域；与与 x 的值对应的的值对应的 y 值叫做函数值值叫做函数值，函数值的集合函数值的集合f(x)|xA叫做叫做函数的值域函数的值域特别关注特别关注：(1)“yf(x)”是函数符号是函数符号，可以用任意的字母表示可以用任意的字母表示，如如“yg(x)”；(2)函数符号函数符号“yf(x)”中中的的f(x)表示表示与与x对应的函数值对应的函数值， 一个数一个数，而不是而不是 f 乘乘 x.2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：义域包含三种形式：自然型指函数的解析式有意义的自变量自然型指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围的取值范围(如：如：分式函数的分母不为零分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数偶次根式函数的被开方数为非负数，等等等等)限制型限制型 指命题的条件或人为对自变量指命题的条件或人为对自变量 x 的限制的限制， 这是函数学这是函数学习中的重点习中的重点，往往也是难点往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错容易犯错误误实际型实际型 解决函数的综合问题与应用问题时解决函数的综合问题与应用问题时， 应认真考查自变应认真考查自变量量 x 的实际意义的实际意义(2)求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题：等方法求一些简单函数的值域问题：配方法配方法(将函数转化为二次函将函数转化为二次函数数)；判别式法判别式法(将函数转化为二次方程将函数转化为二次方程)；不等式法不等式法(运用不等式运用不等式的各种性质的各种性质)；函数法函数法(运用基本函数性质，或抓住函数的单调性运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等函数图象等)3两个函数的相等两个函数的相等函数的定义含有三个要素，即定义域函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域、值域 C 和对应法则和对应法则 f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后， 函数的值域函数的值域也就随之确定也就随之确定因此因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时， 这两个函数才是这两个函数才是同一个函数同一个函数4区间区间(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；无穷区间；(3)区间的数轴表示区间的数轴表示5映射的概念映射的概念一般地一般地，设设 A、B 是两个非空的集合是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应如果按某一个确定的对应法则法则 f，使对于集合使对于集合 A 中的任意一个元素中的任意一个元素 x，在集合在集合 B 中都有唯一确中都有唯一确定的元素定的元素 y 与之对应，那么就称对应与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合为从集合 A 到集合到集合 B的一个映射记作的一个映射记作“f：AB”函数是建立在两个非空数集间的一种对应函数是建立在两个非空数集间的一种对应， 若将其中的条件若将其中的条件“非非空数集空数集”弱化为弱化为“任意两个非空集合任意两个非空集合”， 按照某种法则可以建立起更按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这样的对应就叫映射为普通的元素之间的对应关系，这样的对应就叫映射特别关注：特别关注：(1)这两个集合有先后顺序，这两个集合有先后顺序，A 到到 B 的映射与的映射与 B 到到 A的映射是截然不同的的映射是截然不同的 其中其中 f 表示具体的对应法则表示具体的对应法则， 可以用汉字叙述可以用汉字叙述(2)“都有唯一都有唯一”什么意思？什么意思？包含两层意思包含两层意思：一是必有一个一是必有一个，二是只有一个二是只有一个，也就是说有且只也就是说有且只有一个的意思有一个的意思6常用的函数表示法常用的函数表示法(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系7分段函数分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间若一个函数的定义域分成了若干个子区间， 而每个子区间的解析而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数式不同，这种函数又称分段函数8复合函数复合函数若若 yf(u)，ug(x)，x(a，b)，u(m，n)，那么，那么 yfg(x)称称为复合函数，为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是称为中间变量，它的取值范围是 g(x)的值域的值域三、函数性质三、函数性质1奇偶性奇偶性(1)定义：如果对于函数定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意定义域内的任意 x 都有都有 f(x)f(x)，则称，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意定义域内的任意 x 都都有有f(x)f(x)，则称，则称 f(x)为偶函数为偶函数如果函数如果函数 f(x)不具有上述性质，则不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性如果函数不具有奇偶性如果函数同时具有上述两条性质，则同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数既是奇函数，又是偶函数特别关注特别关注： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 函数函数的奇偶性是函数的整体性质；的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个是，对于定义域内的任意一个 x，则，则x 也一定是定义域内的一个自也一定是定义域内的一个自变量变量(即定义域关于原点对称即定义域关于原点对称)(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤：利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称确定确定 f(x)与与 f(x)的关系的关系作出相应结论：作出相应结论：若若 f(x)f(x)或或 f(x)f(x)0，则，则 f(x)是偶函数；是偶函数；若若 f(x)f(x)或或 f(x)f(x)0，则，则 f(x)是奇函数是奇函数(3)简单性质简单性质图象的对称性质：一个函数是奇函数则它的图象关于原点对图象的对称性质：一个函数是奇函数则它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数则它的图象关于称；一个函数是偶函数则它的图象关于 y 轴对称轴对称设设 f(x)，g(x)的定义域分别是的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义那么在它们的公共定义域上：域上：奇奇奇，奇奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，奇偶，偶偶偶，偶偶偶偶，奇偶偶，奇偶奇偶奇2单调性单调性(1)定义定义：一般地一般地，设函数设函数 yf(x)的定义域为的定义域为 I，如果对于定义如果对于定义域域I 内的某个区间内的某个区间 D 内的任意两个自变量内的任意两个自变量 x1， x2， 当当 x1x2时时， 都有都有 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说 f(x)在区间在区间 D 上是增函数上是增函数(减函数减函数)特别关注：特别关注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质是函数的局部性质必须是对于区间必须是对于区间 D 内的任意两个自变量内的任意两个自变量 x1，x2，当当 x1x2时时，总有总有 f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)(2)如果函数如果函数 yf(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数说函数 yf(x)在这一区间具有在这一区间具有(严格的严格的)单调性，区间单调性，区间 D 叫做叫做 yf(x)的单调区间的单调区间(3)设复合函数设复合函数 yfg(x)，其中，其中 ug(x)，A 是是 yfg(x)定义域定义域的某个区间，的某个区间，B 是映射是映射 g：xug(x)的象集：的象集：若若 ug(x)在在 A 上是增上是增(或减或减)函数函数， yf(u)在在 B 上也是增上也是增(或减或减)函数，则函数函数，则函数 yfg(x)在在 A 上是增函数上是增函数若若 ug(x)在在 A 上是增上是增(或减或减)函数函数， 而而yf(u)在在 B上是减上是减(或增或增)函数，则函数函数，则函数 yfg(x)在在 A 上是减函数上是减函数(4)判断函数单调性的方法步骤判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数利用定义证明函数 f(x)在给定的区间在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤上的单调性的一般步骤：任取任取 x1，x2D，且，且 x1x2；作差作差 f(x1)f(x2)；变形变形(通常是因式分解和配方通常是因式分解和配方)；定号定号即判断差即判断差 f(x1)f(x2)的正负的正负；下结论下结论即指出函数即指出函数 f(x)在给定的区间在给定的区间 D 上的单调性上的单调性(5)简单性质简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同奇函数在其对称区间上的单调性相同偶函数在其对称区间上的单调性相反偶函数在其对称区间上的单调性相反在公共定义域内：在公共定义域内：增函数增函数 f(x)增函数增函数 g(x)是增函数；是增函数；减函数减函数 f(x)减函数减函数 g(x)是减函数；是减函数；增函数增函数 f(x)减函数减函数 g(x)是增函数；是增函数；减函数减函数 f(x)增函数增函数 g(x)是减函数是减函数3最值最值(1)定义定义最大值最大值：一般地一般地，设函数设函数 yf(x)的定义域为的定义域为 I，如果存在实数如果存在实数 M满足：满足：对于任意的对于任意的 xI，都有，都有 f(x)M；存在存在 x0I，使得，使得 f(x0)M.那么，称那么，称 M 是函数是函数 yf(x)的最大值的最大值最小值最小值：一般地一般地，设函数设函数 yf(x)的定义域为的定义域为 I，如果存在实数如果存在实数 M满足：满足：对于任意的对于任意的 xI，都有，都有 f(x)M；存在存在 x0I，使得，使得 f(x0)M.那么，称那么，称 M 是函数是函数 yf(x)是最小值是最小值特别关注：特别关注：函数最大函数最大(小小)首先应该是某一个函数值，即存首先应该是某一个函数值，即存在在x0I，使得，使得 f(x0)M.函数最大函数最大(小小)应该是所有函数值中最大应该是所有函数值中最大(小小)的，即对于任意的，即对于任意的的xI，都有，都有 f(x)Mf(x)M(2)利用函数单调性的判断函数的最大利用函数单调性的判断函数的最大(小小)值的方法值的方法利用二次函数的性质利用二次函数的性质(配方法配方法)求函数的最大求函数的最大(小小)值值利用图象求函数的最大利用图象求函数的最大(小小)值值利用函数的单调性判断函数的最大利用函数的单调性判断函数的最大(小小)值：值：如果函数如果函数 yf(x)，xa，c在区间在区间a，b上单调递增上单调递增，在区间在区间b，c上单调递减，则函数上单调递减，则函数 yf(x)在在 xb 处有最大值处有最大值 f(b)如果函数如果函数 yf(x)，xa，c在区间在区间a，b上单调递减上单调递减，在区间在区间b，c上单调递增，则函数上单调递增，则函数 yf(x)在在 xb 处有最小值处有最小值 f(b)设设 card(X)表示有限集表示有限集 X 所含元素的个数，则所含元素的个数，则card(AB)card(A)card(B)card(AB)，特别地，当特别地，当 AB 时，时，card(AB)card(A)card(B)；card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(AC)card(BC)card(ABC)某班有某班有 36 名同学分别参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学分别参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组名同学至多参加两个小组，已知参加数学已知参加数学、物理物理、化学小组的人数分化学小组的人数分别为别为 26,15,13，同时参加数学和物理小组的有同时参加数学和物理小组的有 6 人人，同时参加物理和同时参加物理和化学小组的有化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有人，则同时参加数学和化学小组的有_人人解析解析：由条件知由条件知，每名同学至多参加两个小组每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一故不可能出现一名同学同时参加数学名同学同时参加数学、 物理物理、 化学课外探究小组化学课外探究小组， 设参加数学设参加数学、 物理物理、化学小组的人数构成的集合分别为化学小组的人数构成的集合分别为 A，B，C，则则 card(ABC)0，集合中元素个数的计算集合中元素个数的计算card(AB)6，card(BC)4.由 公 式 ：由 公 式 ： card(ABC) card(A) card(B) card(C) card(AB)card(AC)card(BC)，知知 3626151364card(AC)，故故 card(AC)8.即同时参加数学和化学小组的有即同时参加数学和化学小组的有 8 人人答案：答案：8 跟踪训练跟踪训练1 已知全集已知全集 UAB 中有中有 m 个元素个元素，( UA)( UB)中有中有 n 个元个元素若素若 AB 非空，则非空，则 AB 的元素个数为的元素个数为()Amn 个个Bmn 个个Cnm 个个Dmn 个个解析：解析：因为因为 AB(AB)( UA)( UB)，所以，所以 AB 共有共有 mn 个元素，选个元素，选 D.答案：答案：D2某班共某班共 30 人人，其中其中 15 人喜爱篮球运动人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运人喜爱乒乓球运动动，8 人对这两项运动都不喜爱人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为动的人数为_人人解析：解析：设两者都喜欢的人数为设两者都喜欢的人数为 x 人，则只喜爱篮球的有人，则只喜爱篮球的有(15x)人，只喜爱乒乓球的有人，只喜爱乒乓球的有(10 x)人，由此可得人，由此可得(15x)(10 x)x830，解得，解得 x3，所以，所以 15x12.即所求人数为即所求人数为 12 人人答案：答案：121若若 aA，则，则 aUA；若；若 a UA，则，则 a A.2若若 aAB，则，则 aA 且且 aB.3设设 a3，故由，故由 a23, 解得解得a1.答案：答案：1有关集合的新定义问题有关集合的新定义问题， 高考中常见的有两类题型高考中常见的有两类题型： 一是定义集一是定义集合的新概念，二是定义集合的新运算合的新概念，二是定义集合的新运算一、定义集合的新概念一、定义集合的新概念对于平面上的点集对于平面上的点集，如果连接，如果连接中任意两点的线段必定中任意两点的线段必定包含于包含于，则称，则称为平面上的凸集，给出平面上为平面上的凸集，给出平面上 4 个点集的图形如下个点集的图形如下(阴影区域及其边界阴影区域及其边界)：其中为凸集的是：其中为凸集的是_(写出所有凸集写出所有凸集相应图形的序号相应图形的序号)有关集合的新定义问题有关集合的新定义问题解析解析：由题中凸集的定义由题中凸集的定义，观察所给图形知观察所给图形知，不是凸集不是凸集，而而满足条件，是凸集满足条件，是凸集答案：答案：二、定义集合的新运算二、定义集合的新运算在集合在集合a，b，c，d上定义两种运算上定义两种运算和和如下：如下：abcdaabcdbbbbbccbcbddbbdabcdaaaaAbabcDcaccAdadaD那么那么( () )AaBbCcDd解析：解析：由上表可知：由上表可知：(ac)c，故，故 d*(ac)d*ca，选选 A.答案：答案：A 跟踪训练跟踪训练4设设 P 是一个数集，且至少含有两个数若对任意是一个数集，且至少含有两个数若对任意 a，bP，都有都有 ab、ab，ab、abP(除数除数 b0)，则称，则称 P 是一个数域例如是一个数域例如有理数集有理数集 Q 是数域有下列结论：是数域有下列结论：数域必含有数域必含有 0,1 两个数；两个数；整数集是数域；整数集是数域；若有理数集若有理数集 QM，则，则 M 必为数域；必为数域；数域必为无限集数域必为无限集其中正确的结论的序号是其中正确的结论的序号是_(把你认为正确结论的序号把你认为正确结论的序号都填上都填上)解析解析： 设设 a， b数域数域 P， 按照定义得按照定义得abP，baP， 从而从而abba1P.又又 a，bP，则，则 abP，abP，baP，从而，从而 0(ab)(ba)P，于是数域必含有于是数域必含有 0,1 两个数两个数；因此因此正确正确；以此类推下去以此类推下去，可知数域必为无限集，可知数域必为无限集，正确正确对除法如对除法如12 Z 不满足，所以排除不满足，所以排除；取取 MQ2，1， 2M，但对除法，但对除法12 M. 所以所以正确正确答案：答案： 设集合设集合 M 有有 N 个元素，那么集合个元素，那么集合 M 的所有子集共有的所有子集共有 2n个，集个，集合合 M 的所有真子集共有的所有真子集共有 2n1 个个，集合集合 M 的所有非空真子集共有的所有非空真子集共有 2n2 个个若集合若集合 M ，显然，显然 M 的所有子集共有的所有子集共有 1 个；若集合个；若集合 M 只有一只有一个元素，即个元素，即 Ma1，M 的所有子集分别是的所有子集分别是 和和 Ma1，所有子集，所有子集共有共有 2 个；设集合个；设集合 M 含有含有 n1 个元素，个元素， M 的所有子集共有的所有子集共有 Mn1个个，当集合当集合 M 含有含有 n 个元素时个元素时，不妨设不妨设 Ma1，a2，a3，an1，an，M 的所有子集共分为两类：一类是不含的所有子集共分为两类：一类是不含 an的子集，即的子集，即a1，a2，a3，an1的子集的子集，共有共有 Mn1个个，另一类是含另一类是含 an的子集的子集，只需只需将将an添加到添加到a1，a2，a3，an1的所有子集中去，便得到含的所有子集中去，便得到含 an的所的所有子集有子集，显然也有显然也有 Mn1个个，故故 Mn2 Mn1.由此可知由此可知， M12 M02, M22 M14, M32 M28，Mn2 Mn12n.集合的子集个数集合的子集个数设设 M 为非空的数集，为非空的数集，M1,2,3，且，且 M 中至少含有一个中至少含有一个奇数元素，则这样的集合奇数元素，则这样的集合 M 共有共有()A6 个个B5 个个C4 个个D3 个个解析解析：集合集合1,2,3的所有子集共有的所有子集共有 238 个个，集合集合2的所有子集的所有子集共有共有 2 个，故满足要求的集合个，故满足要求的集合 M 共有共有 826 个个答案：答案：A满足满足0,1,2A0,1,2,3,4,5的集合的集合 A 的个数是的个数是_个个解析：解析：集合集合3,4,5的所有非空真子集共有的所有非空真子集共有 2317 个，满足要个，满足要求的集合求的集合 A 就是这就是这 7 个真子集与集合个真子集与集合0,1,2的并集的并集， 故满足要求的集故满足要求的集合合 A 共有共有 7 个个答案：答案：7 跟踪训练跟踪训练5已知集合已知集合 A1,2,3,4，那么，那么 A 的真子集的个数是的真子集的个数是()A3 个个B4 个个C15 个个D16 个个答案：答案：C6已知集合已知集合 M0,1，则满足，则满足 MN0,1,2的集合的集合 N 的个数的个数是是()A2 个个B3 个个C4 个个D8 个个答案：答案：C对于函数的概念及其表示要注意：对于函数的概念及其表示要注意：1函数的三要素：定义域、值域、对应关系函数的三要素：定义域、值域、对应关系2定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数3求抽象函数定义域的方法：求抽象函数定义域的方法：函数的概念、表示及其应用函数的概念、表示及其应用(1)已知已知 f(x)的定义域为的定义域为a，b，求，求 fg(x)的定义域，就是求不等的定义域，就是求不等式式 ag(x)b 的解集；的解集；(2)已知已知 fg(x)的定义域为的定义域为a，b，求，求 f(x)的定义域，就是求的定义域，就是求当当xa，b时，时，g(x)的值域的值域4求函数解析式的常用方法：求函数解析式的常用方法：(1)凑配法；凑配法；(2)换元法；换元法；(3)待定系数法；待定系数法；(4)构造法构造法5求函数值域的方法：求函数值域的方法：(1)配方法；配方法；(2)分离常数法；分离常数法；(3)换元法换元法随着学习的深入，我们会有更多的求值域的方法随着学习的深入，我们会有更多的求值域的方法设设 x0 时，时，f(x)2，x0 时，时，f(x)1，又规定，又规定 g(x)3f x1 f x2 2(x0)，试写出，试写出 yg(x)的表达式，画出其图象的表达式，画出其图象分析分析：对于对于 x0 的不同区间，讨论的不同区间，讨论 x1 与与 x2 的符号可求的符号可求出出g(x)的表达式的表达式解析：解析：当当 0 x1 时，时，x10，x20，g(x)3121；当当 1x2 时，时，x10，x20，g(x)61252；当当 x2 时，时，x10，x20.g(x)6222.故故 g(x)1 0 x1 ，52 1x2 ，2 x2 .其图象如右图所示其图象如右图所示点评点评：此题要注意分类讨论此题要注意分类讨论，做题时要分段求解析式做题时要分段求解析式画图要注画图要注意端点的取舍意端点的取舍 跟踪训练跟踪训练7求下列函数的定义域求下列函数的定义域(1)f(x)x2x1；解析：解析：(1)x10，x1，函数的定义域是函数的定义域是(，1)(1，)(2)f(x)4xx1；解析：解析：4x0，x10，x4，x1.函数的定义域是函数的定义域是(，1)(1,4(3)f(x) x1 1x；解析：解析：x10，1x0，x1，x1.x1，函数的定义域是函数的定义域是1(4)f(x) x2x11x22x1.解析：解析：x2x1 的判别式的判别式1241130，x2x10 对一切对一切 xR 恒成立，恒成立，函数的定义域由函数的定义域由 x22x10 确定，确定，由由 x22x10，得，得 x1.函数的定义域是函数的定义域是(，1)(1，)点评点评：求函数的定义域要注意使函数解析式中每个式子都有意求函数的定义域要注意使函数解析式中每个式子都有意义，有时需解不等式组义，有时需解不等式组1判断函数单调性的步骤：判断函数单调性的步骤：(1)任取任取 x1，x2D，且，且 x1x2；(2)作差作差 f(x1)f(x2)；(3)变形变形(通分、配方、因式分解通分、配方、因式分解)；(4)判断差的符号，下结论判断差的符号，下结论2求函数单调性要先确定函数的定义域求函数单调性要先确定函数的定义域3若若 f(x)为增为增(减减)函数，则函数，则f(x)为减为减(增增)函数函数4复合函数复合函数 yfg(x)的单调性遵循的单调性遵循“同增异减同增异减”的原则的原则5奇函数的性质：奇函数的性质：(1)图象关于原点对称；图象关于原点对称；(2)在关于原点对称的区间上单调性相同；在关于原点对称的区间上单调性相同；(3)若在若在 x0 处有定义，则有处有定义，则有 f(0)0.6偶函数的性质：偶函数的性质：(1)图象关于图象关于 y 轴对称；轴对称；(2)在关于原点对称的区间上单调性相反；在关于原点对称的区间上单调性相反；(3)f(x)f(x)f(|x|)函数的单调性、奇偶性及其应用函数的单调性、奇偶性及其应用7若奇函数若奇函数 f(x)在在a，b上有最大值上有最大值 M，则在区间则在区间b，a上上有最小值有最小值M.已知已知 f(x)是是 R 上的奇函数，且当上的奇函数，且当 x0 时，时，f(x)x|x2|，求求 f(x)在在 R 上的表达式上的表达式解析：解析：(1)当当 x0 时，时，f(x)是奇函数，是奇函数，f(0)f(0)，f(0)0.(2)当当 x0 时，时，x0.f(x)x|x2|x|x2|.又又f(x)是奇函数，是奇函数，f(x)f(x)，f(x)x|x2|，f(x)x|x2|.综上可知，综上可知，f(x)在在 R 上的表达式为上的表达式为f(x)x|x2| x0 ，0 x0 ，x|x2| x0 .点评点评：解决本题的关键在于通过区间的过渡，将解决本题的关键在于通过区间的过渡，将(，0)上的上的变量转换到变量转换到(0，)上，从而利用函数的奇偶性和函数在上，从而利用函数的奇偶性和函数在(0，)上的解析式求出函数在上的解析式求出函数在(，0)上的解析式上的解析式，但不要忘记但不要忘记 f(x)为奇函为奇函数且数且 xR 时，时，f(0)0. 跟踪训练跟踪训练8设函数设函数 f(x)x22|x|1(3x3)(1)证明：证明：f(x)是偶函数；是偶函数；解析解析：(1)证明证明：f(x)(x)22|x|1x22|x|1f(x)，即即 f(x)f(x)，f(x)是偶函数是偶函数(2)指出函数指出函数 f(x)的单调区间的单调区间，并说明在各个单调区间上并说明在各个单调区间上 f(x)是增是增函数还是减函数；函数还是减函数；解析：解析：当当 x0 时，时，f(x)x22x1(x1)22；当；当 x0 时，时，f(x)x22x1(x1)22.f(x) x1 22，x0， x1 22，x0.根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示函数函数 f(x)的单调区间为的单调区间为3，1)，1,0)，0,1)，1,3f(x)在在区间区间3，1)，0,1)上为减函数，在上为减函数，在1,0)，1,3上为增函数上为增函数(3)求函数的值域求函数的值域解析：解析：由图象可知，函数值域为由图象可知，函数值域为2,2点评点评：利用函数的奇偶性，可以作出相应的图象利用函数的奇偶性，可以作出相应的图象9若若 f(x)是奇函数是奇函数，且在且在(0，)内是增函数内是增函数，又又 f(3)0，则则xf(x)0 的解集是的解集是()Ax|3x0 或或 x3Bx|x3 或或 0 x3Cx|x3 或或 x3Dx|3x0 或或 0 x3解析：解析：因为因为 f(x)在在(0，)内是增函数，内是增函数，f(3)0，所以当，所以当 0 x3 时时，f(x)0；当当 x3 时时，f(x)0，又因又因 f(x)是奇函数是奇函数，其图象关其图象关于原点对称，所以当于原点对称，所以当3x0 时，时，f(x)0；当；当 x3 时，时，f(x)0，可见可见 xf(x)0 的解集是的解集是x|3x0 或或 0 x3答案：答案：D分段函数是指在定义域的不同子集上解析式不同的函数分段函数是指在定义域的不同子集上解析式不同的函数 在求分在求分分段函数的应用分段函数的应用段函数的有关问题时段函数的有关问题时， 要根据自变量的所在范围要根据自变量的所在范围， 选择相应的解析式选择相应的解析式进行研究进行研究分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各解析式的取值范分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各解析式的取值范围的并集围的并集分段函数的性质往往要结合函数图象进行判断研究分段函数的性质往往要结合函数图象进行判断研究分段函数解析式的确定一定要分类讨论，根据不同情形分别确分段函数解析式的确定一定要分类讨论，根据不同情形分别确定定某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在 30 人或人或 30 人人以下以下，飞机票每张收费飞机票每张收费 900 元元；若每团人数多于若每团人数多于 30 人人，则给予优惠则给予优惠：每多每多 1 人，机票每张减少人，机票每张减少 10 元，直到每张降为元，直到每张降为 450 元为止每团乘元为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数写出飞机票的价格关于人数的函数(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解析解析：(1)设旅行团人数为设旅行团人数为 x 人人，由题知由题知 0 x75，飞机票价格飞机票价格为为y 元，则元，则y900，0 x30，900 x30 10，30 x75，即即 y900，0 x30，1 20010 x，30 x75.(2)设旅行社获利为设旅行社获利为 S 元，元，则则 S900 x15 000，0 x30，x 1 20010 x 15 000，30 x75，即即 S900 x15 000，0 x30，10 x60 221 000，30 x75，因此，当因此，当 x60 时，旅行社可获得最大利润时，旅行社可获得最大利润 跟踪训练跟踪训练10函数函数 f(x)1，x0，1，3x，x ，0 1， ，若若 ff(x)1，求，求 x 的取值范围的取值范围解析：解析：ff(x)1 等价于等价于f(x)0,1或或3f(x)1.式又等价于式又等价于 x0,1或或3x0，1，x ，0 1， ；式又等价于式又等价于 3x2.解得解得 x 的取值范围是的取值范围是0,12,311通过研究学生的学习行为通过研究学生的学习行为，心理学家发现心理学家发现，学生的接受能力学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间 讲座开始时讲座开始时， 学生的兴学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散随后学生的注意力开始分散分析结果和实验表明分析结果和实验表明，用用 f(x)表示学生表示学生掌握和接受概念的能力，掌握和接受概念的能力，x 表示提出概念和讲授概念的时间表示提出概念和讲授概念的时间(单位：单位：分分)，可有以下的公式：，可有以下的公式：f(x)0.1x22.6x43 0 x10 ，59 10 x16 ，3x107 16x30 .(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？解析：解析：易知在前易知在前 10 分钟学生的接受能力一直增强，所以开讲分钟学生的接受能力一直增强，所以开讲后后10 分钟学生的接受能力最强分钟学生的接受能力最强，此时达到此时达到 59；而从而从 16 分钟后开始分钟后开始，学学生的接受能力一直从生的接受能力一直从 59 下降，故能维持下降，故能维持 6 分钟分钟(2)开讲后开讲后 5 分钟与开讲后分钟与开讲后 20 分钟比较分钟比较，学生的接受能力何时强学生的接受能力何时强一些？一些？解析：解析：因为开讲后因为开讲后 5 分钟学生的接受能力为分钟学生的接受能力为0.125134353.5，开讲后，开讲后 20 分钟学生的接受能力为分钟学生的接受能力为32010747，所以，所以学生在开讲后学生在开讲后 5 分钟接受能力强一些分钟接受能力强一些(3)一个数学难题需要一个数学难题需要 55 的接受能力以及的接受能力以及 13 分钟时间，老师能分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解析解析：因为易求得从第因为易求得从第 6 分钟开始学生的接受能力开始达到分钟开始学生的接受能力开始达到 55，一直维持到第一直维持到第523分钟时开始从分钟时开始从 55 下降，所以能保持接受能力为下降，所以能保持接受能力为 55的时间为的时间为523634313，因为讲这个数学难题需要，因为讲这个数学难题需要 55 的接受能力的接受能力和和13 分钟，因此老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授分钟，因此老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题完这个难题抽象函数是指没有给出具体的函数解析式抽象函数是指没有给出具体的函数解析式， 只给出了一些体现函只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数数特征的式子的一类函数 由于抽象函数表现形式的抽象性由于抽象函数表现形式的抽象性， 使得这使得这类问题是函数内容的难点之一类问题是函数内容的难点之一， 其性质常常是隐而不漏其性质常常是隐而不漏， 但一般情况但一般情况下大多是以常见函数为背景，通过代数表述给出函数性质下大多是以常见函数为背景，通过代数表述给出函数性质处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段也是解决这类问题的主要方法这是一般向特殊转化的必要手段也是解决这类问题的主要方法已知定义域为已知定义域为 R的函数的函数 f(x)，同时满足下列条件：，同时满足下列条件：f(2) 1，f(6)15；f(xy)f(x)f(y)求求 f(3)、f(9)的值的值解析：解析：取取 x 2，y 3，得，得 f(6)f(2)f(3)，f(2) 1，f(6)15，f(3)45.又取又取 x y 3，得，得 f(9)f(3)f(3)85.点评：点评：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取通过观察已知与未知的联系，巧妙地取 x2，y3，这，这研究抽象函数的性质研究抽象函数的性质样便把已知条件样便把已知条件 f(2) 1，f(6)15与欲求的与欲求的 f(3)沟通了起来这是解沟通了起来这是解此类问题的常用技巧此类问题的常用技巧 跟踪训练跟踪训练12已知定义域为已知定义域为 R 的函数的函数 f(x)满足满足 ff(x)x2xf(x)x2x.(1)若若 f(2)3，求，求 f(1)；又若；又若 f(0)a，求，求 f(a)；解析：解析：因为对任意因为对任意 xR，有有 ff(x)x2xf(x)x2x，所以所以 ff(2)222f(2)222.又由又由 f(2)3 得得 f(3222)3222，即即 f(1) 1.若若 f(0)a，则，则 f(a020)a020，即即 f(a) a.(2)设有且仅有一个实数设有且仅有一个实数 x0，使得使得 f(x0)x0，求函数求函数 f(x)的解析表的解析表达式达式解析：解析：因为对任意因为对任意 xR，有，有 ff(x)x2xf(x)x2x，又因为有且只有一个实数又因为有且只有一个实数 x0， 使得使得 f(x0)x0， 所以所以， 对任意对任意 xR，有有 f(x)x2xx0，在上式中令在上式中令 x x0，有，有 f(x0)x20 x0 x0，又因为又因为 f(x0)x0，所以，所以 x0 x20 0，故，故 x0 0 或或 x01.若若 x0 0，则，则 f(x)x2x 0，即，即 f(x)x2x.但方程但方程 x2x x 有两个不同实根，与题设矛盾，故有两个不同实根，与题设矛盾，故 x00.若若 x0 1，则有，则有 f(x)x2x 1，即，即 f(x)x2x1.易验证该函数满足题设条件易验证该函数满足题设条件综上可知，所求函数为综上可知，所求函数为 f(x)x2x1(xR)二次函数的一般式二次函数的一般式 yax2bxc(a0)中有三个参数中有三个参数 a， b， c. 解解题时常常需要通过三个独立条件题时常常需要通过三个独立条件“确定确定”这三个参数这三个参数.二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质二次函数二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象为抛物线，具有许多优的图象为抛物线，具有许多优美的性质美的性质，如对称性如对称性、单调性单调性、凹凸性等凹凸性等. 结合这些图象特征解决有结合这些图象特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观二次函数的图象关于直线二次函数的图象关于直线 xb2a对称对称，设二次函数的图象与设二次函数的图象与 x轴的两个交点的横坐标为轴的两个交点的横坐标为 x1，x2，则，则 x1x2ba也反映了二次函数也反映了二次函数的一种对称性的一种对称性将二次函数的一般式将二次函数的一般式 yax2bxc(a0)进行配方可得二次函进行配方可得二次函数的顶点式数的顶点式：yaxb2a24acb24a，由此可知函数的对称轴由此可知函数的对称轴、最值最值及判别式及判别式二次函数二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在区间在区间，b2a 和区间和区间b2a，上分别单调，所以二次函数上分别单调，所以二次函数 f(x)在闭区间上的最大值在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得最小值必在区间端点或顶点处取得某公司有价值某公司有价值 a 万元的一条流水线万元的一条流水线， 要提高该流水线的生要提高该流水线的生产能力产能力，就要对其进行技术改造就要对其进行技术改造，改造就需要投入改造就需要投入，相应就要提高产相应就要提高产品附加值品附加值 假设附加假设附加值值y万元与技术改造投万元与技术改造投入入x万元之间的关系满足万元之间的关系满足：y 与与 ax 和和 x 的乘积成正比；的乘积成正比；xa2时时 ya2；0 x2 ax t，其中，其中 t 为常数，且为常数，且 t0,1(1)设设 yf(x)，求出，求出 f(x)的表达式，并求出的表达式，并求出 yf(x)的定义域；的定义域；(2)求出附加值求出附加值 y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的的最大值，并求出此时的技术改造投入的 x 的的值值解析解析：(1)设设 yk(ax)x，由由 xa2时时 ya2，可得可得 k4，y4(ax)x.定义域为定义域为0，2at12t ，t 为常数，为常数，t0,1(2)y4(ax)x4xa22a2，当当2at12ta2时，即时，即12t1，xa2时，时，ymaxa2；当当2at12ta2时时，即即 0t12时时，y4(ax)x 在在0，2at12t 上为增函上为增函数数当当 x2at12t时，时，ymax8a2t 12t 2.当当12t1 时，投入时，投入 xa2时，附加值时，附加值 y 最大为最大为 a2万元；万元；当当 0t12时，投入时，投入 x2at12t时，附加值时，附加值 y 最大为最大为8a2t 12t 2万元万元 跟踪训练跟踪训练13函数函数 f(x)x2mx1 的图象关于直线的图象关于直线 x1 对称对称，则则()Am2Bm2Cm1Dm1解析：解析：函数函数 f(x)x2mx1 的对称轴为的对称轴为 xm2，于是，于是m21m2.答案：答案：A14设设 abc0，二次函数二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是的图象可能是()解析解析：当当 a0 时时，b、c 同号同号，C、D 两图中两图中 c0，故故 b0，b2a0，选项，选项 D 符合当符合当 a0 或或 a0 两种两种情况分类考虑情况分类考虑另外还要注意另外还要注意 c 值是抛物线与值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标轴交点的纵坐标，还还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等15函数函数 yax22(a1)x2 (a0)在区间在区间(， 4上递增上递增，那么实数那么实数 a 的取值范围是的取值范围是()Aa13B13a0Ca13Da0答案：答案：B16 函数函数 f (x)(a1)x22ax3 为偶函数为偶函数， 那么那么 f(x)在在(5, 2)上是上是()A增函数增函数B减函数减函数C先减后增先减后增D先增后减先增后减答案：答案：A17 将长度为将长度为 1 的铁丝分成两段的铁丝分成两段， 分别围成一个正方形和一个圆分别围成一个正方形和一个圆形要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为形要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_解析：解析：设正方形周长为设正方形周长为 x，则圆的周长为，则圆的周长为 1x，半径，半径 r1x2.S正正x42x216，S圆圆 1x 242.S正正S圆圆 4 x28x416(0 x1)当当 x44时有最小值时有最小值答案：答案：44最新精品资料
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