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专题3.5 导数的综合应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A2.如图所示，连结棱长为2的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，注满为止.已知顶点到水面的高度以每秒1匀速上升，记该容器内水的体积与时间的函数关系是，则函数的导函数的图像大致是（ ） 【答案】D【解析】正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体，棱长为，高为2，设时间为t时，当t1时，此时水面的边长为b，则，则水面的面积为，该容器内水的体积，当t1时，此时水面的边长为c，则，则水面的面积为，该容器内水的体积， 3【20xx “超级全能生”浙江3月联考】“函数存在零点”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分不用必要条件【答案】B4. 对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】，当时，则函数在上单调递减，当时，则函数在上单调递增，即函数在处取最小值，则将两式相加得故选 .5.设函数其中，则导数f（1）的取值范围是 （ ）A2,2 B， C，2 D，2【答案】D【解析】试题分析：,即故D正确6.已知函数则方程恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（注：e为自然对数的底数）（ ）A B C D 【答案】B当时，当时，当时，所以与在，上有2个交点，所以直线在和之间时与函数有2个交点，所以，故选B.7. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经探究发现，任意一个三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是该函数的对称中心，若，则（ ）A4032 B4030 C20xx D20xx【答案】B【解析】8设函数在（0，）内有定义，对于给定的正数K，定义函数，若函数，且恒有，则（ ）AK的最大值为 BK的最小值为CK的最大值为2 DK的最小值为2【答案】B【解析】因为，所以在区间上恒成立，即，由得，令，当时，当时，所以在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减，所以当时，函数有最大值，即，所以，即的最小值为，故选B9.【20xx安徽马鞍山二模】已知函数， ，若存在使得，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B10. 若函数有两个零点，则的取值范围（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】考查函数，则问题转化为曲线与直线有两个公共点，则，则，当时， 当时，则，当，则，此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，同理，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此函数在处取得极小值，亦即最小值，即，由于函数有两个零点，结合图象知，解得，故选A.11. 对任意实数，定义运算：，设，则的值是（ ）（A） （B） （C） （D）不确定【答案】A12.已知函数的两个极值点分别为，且， ，点表示的平面区域为，若函数（）的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围是（ ） A B C D【答案】C【解析】依题意知，有两根，且，所以，即表示的平面区域为点右上方阴影区域函数的图象只要在点的上方即可，所以，解得，故选CO A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.已知函数，若不等式的解集为，则的值为_【答案】【解析】14.已知函数在区间内单调,则的最大值为_.【答案】【解析】求导得：，由此可知在递减，在内递增，所以的最大值为.15.函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】根据题意，当时，为减函数；当时，为增函数，若函数在区间上恰有一个零点，则，即；当时，综上16.【20xx山西三区八校二模】定义在上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为_【答案】三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【百强校】20xx广东惠州一调】已知函数（）求函数的单调区间； （）求证：，不等式恒成立【答案】（）时，在上单调递增，时，当时，在单调递减在单调递增；（）证明见解析 【解析】（）的定义域为，若，在上单调递增 若，当时，在单调递减当时，在单调递增18.【20xx浙江杭州二模】设函数.（1）求函数的值域；（2）当实数，证明： .【答案】（1）， ，（2）见解析【解析】试题分析：（1）首先确定函数的定义域， ，然后利用导数研究函数单调性与极值，就可以确定函数的值域，另外也可以根据求的值域，然后得到的值域；（2）设函数，然后转化为证明即可，通过对函数求导，研究函数在区间上的最大值，于是问题得证. 试题解析：（1）函数的定义域是，当时，解得，在上单调递增，在上单调递减， ，函数的值域为.（2）设， ， ， ，19【20xx江西九江三模】已知函数 恰有两个极值点，且.（1）求实数 的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1) ,依题意得为方程的两不等正实数根, ,令.当时， ；当时， ， 在 上单调递增，在上单调递减，且， ，当时， ，解得，故实数 的取值范围是.(2)由（1）得, 两式相减得, ,，令，即，令，则需满足在上恒成立， ，令，则. 20.【20xx河北唐山二模】已知函数的图象与轴相切， （）求证： ；（）若，求证： 【答案】（）见解析;（）见解析.【解析】试题分析：（）对函数求导，设的图象与轴相交于点，由题意可得在该点处导数值为0，函数值为0，构造方程组可得的值，将题意转化为，设，利用导数判断其单调性求出最大值即可；（）构造函数，对其求导结合（）可得的单调性，从而有，化简整理可得，运用换底公式及（）中的不等式可得 ，再次运用可得结论. 试题解析：（） ， 设的图象与轴相交于点，则即解得所以，等价于即，（*），所以（）设，则，由（）可知，当时， ，从而有，所以单调递增，又，所以，从而有，即，所以，即， ，
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