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最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料二极坐标系1理解极坐标系的概念2能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别(难点)3掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互化(重点、易错点)基础·初探教材整理1极坐标系阅读教材P8P10，完成下列问题1极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数2点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示同一个点特别地，极点O的坐标为(0，)(R)如果规定>0，0<2，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是惟一确定的在极坐标系中，12，且12是两点M(1，1)和N(2，2)重合的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为1与2可相差2的整数倍【答案】A教材整理2极坐标和直角坐标的互化阅读教材P11，完成下列问题1互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图121所示图1212互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式2x2y2，tan (x0)将点M的极坐标化为直角坐标是()A(5,5)B(5，5)C(5,5)D(5，5)【解析】xcos 10 cos5，ysin 10sin5.【答案】A质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型将点的极坐标化为直角坐标写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限(1)；(2)；(3)；(4)(2，2)【思路探究】点的极坐标(，)点的直角坐标(x，y)判定点所在象限【自主解答】(1)由题意知x2cos2×1，y2sin2×，点的直角坐标为，是第三象限内的点(2)x2cos 1，y2sin ，点的直角坐标为(1，)，是第二象限内的点(3)x2cos1，y2sin，点的直角坐标为(1，)，是第四象限内的点(4)x2cos (2)2cos 2，y2sin(2)2sin 2，点(2，2)的直角坐标为(2cos 2，2sin 2)，是第三象限内的点1点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同2将点的极坐标(，)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键再练一题1分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)；(2)；(3)(，)【解】(1)xcos 2cos，ysin 2sin1，点的极坐标化为直角坐标为(，1)(2)xcos 3cos0，ysin 3sin3，点的极坐标化为直角坐标为(0,3)(3)xcos cos ，ysin sin 0，点的极坐标(，)化为直角坐标为(，0)将点的直角坐标化为极坐标分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定0,0<2)：(1)(2,2)；(2)(，)；(3).【思路探究】利用公式2x2y2，tan (x0)，但求角时，要注意点所在的象限【自主解答】(1)4，tan ，0,2)，由于点(2,2)在第二象限，点的直角坐标(2,2)化为极坐标为.(2)2，tan ，0,2)，由于点(，)在第四象限，点的直角坐标(，)化为极坐标为.(3)，tan 1，0,2)，由于点在第一象限，点的直角坐标化为极坐标为.1将直角坐标(x，y)化为极坐标(，)，主要利用公式2x2y2，tan (x0)进行求解，先求极径，再求极角2在0,2)范围内，由tan (x0)求时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限如果允许R，再根据终边相同的角的意义，表示为2k(kZ)即可再练一题2已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标：(1)A(3，)；(2)B(2，2); (3)C(0，2)；(4)D(3,0)【解】(1)由题意可知：2，tan ，所以，所以点A的极坐标为.(2)4，tan ，又由于为第三象限角，故，所以B点的极坐标为.(3)2，为，在y轴负半轴上，所以C点的极坐标为.(4)3，tan 0，故0，所以D点的极坐标为(3,0)极坐标与直角坐标的综合应用在极坐标系中，如果A，B为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(>0,0<2)【思路探究】解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C的直角坐标，进而求出点C的极坐标【自主解答】对于点A有2，x2cos，y2sin，则A(，)对于B有2，x2cos，y2sin，B(，)设C点的坐标为(x，y)，由于ABC为等边三角形，故|AB|BC|AC|4，有解之得或C点的坐标为(，)或(，)，2，tan 1，或.故点C的极坐标为或.1本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质结合几何图形可知，点C的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键2若设出C(，)，利用余弦定理亦可求解再练一题3本例中，如果点的极坐标仍为A，B，且ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标？【解】对于点A，直角坐标为(，)，点B的直角坐标为(，)，设点C的直角坐标为(x，y)，由题意得ACBC，且|AC|BC|，·0，即(x，y)·(x，y)0，x2y24.又|A|2|B|2，于是(x)2(y)2(x)2(y)2，yx，代入，得x22，解得x±，或点C的直角坐标为(，)或(，)，2，tan 1，或，点C的极坐标为或.探究共研型极坐标探究1如图122是某校园的平面示意图假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：他向东偏北60°方向走120 m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？图122【提示】以A为基点，射线AB为参照方向，利用与A的距离、与AB所成的角，就可以刻画平面上点的位置到达图书馆，该位置惟一确定；体育馆在正东方向60 m处，办公楼在西北方向50 m处探究2在极坐标系中，表示的点有什么关系？你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？【提示】由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示同一个点实际上，(kZ)都表示这个点设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定>0，<)【思路探究】欲写出点的极坐标，首先应确定和的值 【自主解答】如图所示，关于极轴的对称点为B2，关于直线l的对称点为C，关于极点O的对称点为D.四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上1点的极坐标不是惟一的，但若限制>0,0<2，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的2写点的极坐标要注意顺序：极径在前，极角在后，不能颠倒顺序再练一题4在极坐标系中与点A关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是()A.B.C. D.【解析】与点A关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为(kZ)【答案】B构建·体系极坐标系1极坐标系中，点M(1,0)关于极点的对称点为()A(1,0)B(1，)C(1，)D(1,2)【解析】(，)关于极点的对称点为(，)，M(1,0)关于极点的对称点为(1，)【答案】C2点A的极坐标是，则点A的直角坐标为()A(1，)B(，1)C(，1)D(，1)【解析】xcos 2cos，ysin 2sin1.【答案】C3点M的直角坐标为，则点M的极坐标可以为()A. B.C. D.【解析】，且，M的极坐标为.【答案】C4将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转得到射线OP，在OP上取点M，使|OM|2，则>0，0,2)时点M的极坐标为_，它关于极轴的对称点的极坐标为_(>0，0,2). 【解析】|OM|2，与OP终边相同的角为2k(kZ)0,2)，k1，M，M关于极轴的对称点为.【答案】5在极轴上求与点A距离为5的点M的坐标【解】设M(r,0)，A， 5，即r28r70，解得r1或r7，点M的坐标为(1,0)或(7,0)我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1下列各点中与不表示极坐标系中同一个点的是()A.B.C. D.【解析】与极坐标相同的点可以表示为(kZ)，只有不适合【答案】C2将点的极坐标(，2)化为直角坐标为()A(，0)B(，2)C(，0)D(2，0)【解析】xcos(2)，ysin(2)0，所以点的极坐标(，2)化为直角坐标为(，0)【答案】A3若120，12，则点M1(1，1)与点M2(2，2)的位置关系是()A关于极轴所在直线对称B关于极点对称C关于过极点垂直于极轴的直线对称D两点重合【解析】因为点(，)关于极轴所在直线对称的点为(，)由此可知点(1，1)和(2，2)满足120，12，是关于极轴所在直线对称【答案】A4在极坐标系中，已知点P1、P2，则|P1P2|等于()A9B10 C14D2【解析】P1OP2，P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|10.【答案】B5在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是() A. B.C. D.【解析】极径2，极角满足tan ，点(1，)在第四象限，.【答案】A二、填空题6平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于_【解析】点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于63.【答案】37已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当>0，0,2)时，点P的极坐标为_【解析】点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，x2，且y2，2，又tan 1，且0,2)，.因此点P的极坐标为.【答案】8极坐标系中，点A的极坐标是，则(1)点A关于极轴的对称点的极坐标是_；(2)点A关于极点的对称点的极坐标是_；(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是_(本题中规定>0，0,2)【解析】点A关于极轴的对称点的极坐标为；点A关于极点的对称点的极坐标为；点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为.【答案】(1)(2)(3)三、解答题9(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B，C(2，2)，求它们的极坐标(0,0<2)【解】(1)根据xcos ，ysin ，得A，B(1，)，C，D(0，4)(2)根据2x2y2，tan 得A，B，C.10在极坐标系中，已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B(2，)，C.(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积【解】(1)如图所示，由A，B(2，)，C，得|OA|OB|OC|2，AOBBOCAOC，AOBBOCAOC，ABBCCA，故ABC为等边三角形(2)由上述可知，AC2OAsin2×2×2.SABC×(2)23.能力提升1已知极坐标平面内的点P，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为 ()A.，(1，)B.，(1，)C.，(1，)D.，(1，)【解析】点P关于极点的对称点为，即，且x2cos2cos1，y2sin2sin.【答案】D2已知极坐标系中，极点为O,02，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为_【解析】如图所示，|OM|3，xOM，在直线OM上取点P、Q，使|OP|7，|OQ|1，xOP，xOQ，显然有|PM|OP|OM|734，|QM|OM|OQ|314.【答案】或3直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于_【解析】如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小因为|AO|BO|3，AOB，所以OAB，所以ACO.【答案】4某大学校园的部分平面示意图如图123：用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|BC|，|OC|600 m建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定0,0<2且极点为(0,0)图123【解】以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，由|OC|600 m，AOC，OAC，得|AC|300 m，|OA|300 m，又|AB|BC|，所以|AB|150 m.同理，得|OE|2|OG|300 m，所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，C，D，E，F(300，)，G.最新精品资料
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