五年高考真题高考数学 复习 第五章 第二节 平面向量的数量积及其应用 理全国通用

第二节第二节平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用考点一向量的数量积1(20 xx山东，4)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60 ，则BDCD()A32a2B34a2C.34a2D.32a2解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa12 3a2，BD 3a.BDCD|BD|CD|cos 303a23232a2.答案D2(20 xx安徽，8)ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量a a，b b满足AB2a a，AC2a ab b，则下列结论正确的是()A|b b|1Ba ab bCa ab b1D(4a ab b)BC解析由于ABC是边长为 2 的等边三角形；(ABAC)(ABAC)0，即(ABAC)CB0，(4a ab b)CB，即(4a ab b)BC，故选 D.答案D3(20 xx四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|6，|AD|4，若点M，N满足BM3MC，DN2NC，则AMNM()A20B.15C9D6解析AMAB34AD，NMCMCN14AD13AB，AMNM14(4AB3AD)112(4AB3AD)148(16AB29AD2)148(1662942)9，选 C.答案C4(20 xx福建，9)已知ABAC，|AB|1t，|AC|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且APAB|AB|4AC|AC|，则PBPC的最大值等于()A13B15C19D21解析建立如图所示坐标系，则B1t，0，C(0，t)，AB1t，0，AC(0，t)，APAB|AB|4AC|AC|t1t，04t(0，t)(1，4)，P(1，4)，PBPC1t1，4(1，t4)171t4t1721t4t13，故选 A.答案A5 (20 xx新课标全国， 3)设向量a a，b b满足|a ab b| 10， |a ab b| 6， 则a ab b()A1B2C3D5解析由向量的数量积运算可知，|a ab b| 10，(a ab b)210，a a2b b22a ab b10，同理a a2b b22a ab b6，得 4a ab b4，a ab b1.答案A6(20 xx大纲全国，4)若向量a a、b b满足：|a a|1，(a ab b)a a，(2a ab b)b b，则|b b|()A2B. 2C1D.22解析由题意得（a ab b）a aa a2a ab b0，（2a ab b）b b2a ab bb b202a a2b b20，即2|a a|2|b b|20，又|a a|1，|b b| 2.故选 B.答案B7(20 xx北京，10)已知向量a a，b b满足|a a|1，b b(2，1)，且a ab b0(R R)，则|_.解析|a a|1，可令a a(cos，sin)，a ab b0，cos20，sin10，即cos2，sin1，由 sin2cos21 得25，得| 5.答案58(20 xx江西，14)已知单位向量e e1与e e2的夹角为，且 cos13，向量a a3e e12e e2与b b3e e1e e2的夹角为，则 cos_.解析因为a a2(3e e12e e2)29232cos49，所以|a a|3，b b2(3e e1e e2)29231cos18，所以|b b|2 2，a ab b(3e e12e e2)(3e e1e e2)9e e219e e1e e22e e2299111328，所以 cosa ab b|a a|b b|832 22 23.答案2 239(20 xx山东，15)已知向量AB与AC的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2，若APABAC，且APBC，则实数的值为_解析APABAC，APBC，又BCACAB，(ACAB)(ACAB)0.AC2ABACABACAB20，即 4(1)3212 90，即 7120，712.答案71210(20 xx北京，13)已知正方形ABCD的边长为 1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为_；DEDC的最大值为_解析如图建立直角坐标系，则D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)设E(x，1)，那么DE(x，1)，CB(0，1)，DECB1.DC(1，0)，DEDCx.正方形的边长为 1，x的最大值为 1，故DEDC的最大值为 1.答案11考点二平面向量的长度与角度问题1(20 xx重庆，6)若非零向量a a，b b满足|a a|2 23|b b|，且(a ab b)(3a a2b b)，则a a与b b的夹角为()A.4B.2C.34D解析由题意(a ab b)(3a a2b b)3a a2 2a ab b2b b20，即 3|a a|2|a a|b b|cos2|b b|20，所以 32 2322 23cos20，cos22，4，选 A.答案A2(20 xx陕西，7)对任意向量a a，b b，下列关系式中不恒成立的是()A|a ab b|a a|b b|B|a ab b|a a|b b|C(a ab b)2|a ab b|2D(a ab b)(a ab b)a a2b b2解析对于 A，由|a ab b|a a|b b|cos |a a|b b|恒成立；对于 B，当a a，b b均为非零向量且方向相反时不成立；对于 C、D 容易判断恒成立故选 B.答案B3.(20 xx天津，8)已知菱形ABCD的边长为 2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若AEAF1，CECF23，则()A.12B.23C.56D.712解析如图所示， 以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，1)，B( 3，0)，C(0，1)，D( 3，0)，由题意得CE(1)CB( 3 3，1)，CF(1)CD( 3 3，1)因为CECF23，所以 3(1)(1)(1)(1)23，即(1)(1)13.因为AEACCE( 3 3，1)AFACCF( 3 3，1)，又AEAF1，所以(1)(1)2.由（1） （1）13，（1） （1）2，整理得56.选 C.答案C4(20 xx辽宁，10)若a a，b b，c c均为单位向量，且a ab b0，(a ac c)(b bc c)0，则|a ab bc c|的最大值为()A. 21B1C. 2D2解析设a a(1，0)，b b(0，1)，c c(x，y)，则x2y21，a ac c(1x，y)，b bc c(x，1y)，则(a ac c)(b bc c)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又a ab bc c(1x，1y)，|a ab bc c| （1x）2（1y）2 （x1）2（y1）2|a ab bc c| （x1）2（y1）2x2y22x2y2 32（xy） 32（xy），由xy1，|a ab bc c| 321，最大值为 1.答案B5(20 xx天津，14)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且BEBC，DF19DC，则|AE|AF|的最小值为_解析在梯形ABCD中，AB2，BC1，ABC60，可得DC1，AEABBC，AFAD19DC，AEAF(ABBC)(AD19DC)ABADAB19DCBCADBC19DC21cos 602191cos 6019cos 1202921718229217182918，当且仅当292，即23时，取得最小值为2918.答案29186(20 xx湖北，11)设向量a a(3，3)，b b(1，1)若(a ab b)(a ab b)，则实数_.解析(a ab b)(a ab b)(a ab b)(a ab b)a a22b b20182203.答案37(20 xx江苏，12)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD的值是_解析因为APADDPAD14AB，BPBCCPAD34AB，所以APBP(AD14AB)(AD34AB)|AD|2316|AB|212ADAB2，将AB8，AD5 代入解得ABAD22.答案228(20 xx浙江，17)设e e1 1，e e2 2为单位向量，非零向量b bxe e1ye e2，x，yR R.若e e1 1，e e2 2的夹角为6，则|x|b b|的最大值等于_解析|b b|2(xe e1 1ye e2)2x2y22xye e1 1e e2 2x2y2 3xy.|x|b b|x|x2y2 3xy，当x0 时，|x|b b|0；当x0 时，|x|b b|1yx23yx11yx322142.答案29(20 xx新课标全国，13)已知两个单位向量a a，b b的夹角为 60，c cta a(1t)b b.若b bc c0，则t_.解析b bc c0，b bta a(1t)b b0，ta ab b(1t)b b20，又|a|a|b|b|1 1，a a，b b60，12t1t0，t2.答案210(20 xx新课标全国，13)已知向量a a，b b夹角为 45，且|a a|1，|2a ab b| 10，则|b b|_.解析|2a ab b| 10(2a ab b)2104|b b|24|b b|cos 4510|b b|32或|b b| 2(舍去)答案3 2考点三数量积的综合应用1(20 xx浙江，7)设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PBPCP0BP0C，则()AABC90BBAC90CABACDACBC解析设AB4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(2，0)，B(2，0)，则P0(1，0)，设C(a，b)，P(x，0)，PB(2x，0)，PC(ax，b)，P0B(1，0)，P0C(a1，b)，则PBPCP0BP0C(2x)(ax)a1 恒成立，即x2(2a)xa10 恒成立，(2a)24(a1)a20 恒成立，a0，即点C在线段AB的中垂线上，ACBC，选 D.答案D2(20 xx广东，8)对任意两个非零的平面向量和，定义 .若平面向量a a，b b满足|a|a|b|b|0，a a与b b的夹角0，4 ， 且a ab b和b ba a都在集合n2|nZ Z中，则a ab b()A.12B1C.32D.52解析由定义知a ab ba ab bb bb b|a|b|a|b|cos|b b|2|a|a|b|b|cos.b ba ab ba aa aa a|b|a|b|a|cos|a a|2|b b|a a|cos.a ab b，b ba an2|nZ Z.设a ab bm2，b ba an2(m，nZ Z)则|a a|b b|cosm2，|b|b|a|a|cosn2，两式相乘，得 cos2mn4.又0，4 ，cos22，1，cos212，1，mn4cos2(2，4)又m，nZ Z，m0，n0，mn，m3，n1，abm232.答案C3(20 xx浙江，15)已知e e1，e e2是空间单位向量，e e1e e212，若空间向量b b满足b be e12，b be e252，且对于任意x，yR R，|b b(xe e1yeye2)|b b(x0e e1y0e e2)|1(x0，y0R R)，则x0_，y0_，|b b|_.解析e e1e e2|e e1|e e2|cose e1，e e212，e e1，e e23.不妨设e e112，32，0，e e2(1，0，0)，b b(m，n，t)由题意知b be e112m32n2，b be e2m52，解得n32，m52，b b52，32，t.b b(xe e1ye e2)5212xy，3232x，t，|b b(xe e1ye e2)|252x2y23232x2t2x2xyy24x5yt27xy42234(y2)2t2.由题意知，当xx01，yy02 时，xy42234(y2)2t2取到最小值此时t21，故|b b|522322t22 2.答案122 24(20 xx广东，16)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m m22，22 ，n n(sinx，cosx)，x0，2 .(1)若m mn n，求 tanx的值(2)若m m与n n的夹角为3，求x的值解(1)因为m m22，22 ，n n(sinx，cosx)，m mn n.所以m mn n0，即22sinx22cosx0，所以 sinxcosx，所以 tanx1.(2)因为|m m|n n|1，所以m mn ncos312，即22sinx22cosx12，所以 sinx4 12，因为 0 x2，所以4x44，所以x46，即x512.