高考数学复习：第九章 ：第六节数学归纳法突破热点题型

精品资料第六节数学归纳法 考点一用数学归纳法证明等式 例1用数学归纳法证明：(nN*)自主解答当n1时，左边，右边，左边右边，等式成立假设nk(k1)时，等式成立即，当nk1时，左边，所以当nk1时，命题成立由可得对任意nN*，等式成立【方法规律】 来源:用数学归纳法证明等式的方法(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2)由nk时命题成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)证明：(1)当n1时，等式左边2，右边2112，等式成立(2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)当nk1时，左边(k2)(k3)2k(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)22k135(2k1)(2k1)2k1135(2k1)(2k1)所以当nk1时，等式成立由(1)(2)知，对任意nN*，原等式成立来源:考点二用数学归纳法证明不等式 例2已知数列an，an0，a10，aan11a.求证：当nN*时，anan1.自主解答(1)当n1时，因为a2是方程aa210的正根，所以a2，即a1a2成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，0ak0，又ak1ak0，所以ak2ak110，所以ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立根据(1)和(2)，可知anan1对任何nN*都成立【互动探究】 把题设条件中的“an0”改为“当n2时，an1”，其余条件不变，求证：当nN*时，an1a2成立(2)假设当nk(kN*，k1)时，ak1ak，因为aa(ak2ak1)(ak2ak11)，ak10，又ak2ak111(1)11，所以ak2ak10，所以ak2ak1，即当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，对任意nN*时，an10且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)，证明：对任意的nN*，不等式成立解：(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，故b，即b，解得r1.(2)证明：由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设nk(k1，kN*)时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证，由均值不等式成立，故成立，所以，当nk1时，结论成立由可知nN*时，不等式成立考点三“归纳猜想证明”问题 例3已知数列an的前n项和Sn满足：Sn1，且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；来源:(2)证明通项公式的正确性自主解答(1)当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2 a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由ak1Sk1Sk，将ak代入上式并整理得a2ak120，解得：ak1(an0)即当nk1时，通项公式也成立由和，可知对所有nN*，an都成立【方法规律】 归纳猜想证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题(2014金华模拟)已知数列an满足条件：a11，an1(an1)21，试比较与1的大小，并说明理由解：函数g(x)(x1)21，在1，)上单调递增于是由a11，得a2(a11)21221，进而a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：当n1时，a12111，结论成立；假设nk(k1且kN*)时结论成立，即ak2k1.当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知ak1(ak1)2122k12k11，即nk1时，结论也成立由知，对任意nN*，都有an2n1.即1an2n，1n1.课堂归纳通法领悟来源:1种方法寻找递推关系的方法 (1)在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的(2)探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置(3)在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚3个注意点运用数学归纳法应注意的三个问题(1)第一步验证nn0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值(2)由假设nk成立证nk1时，要推导详实，并且一定要运用nk成立的结论(3)要注意nk到nk1时增加的项数