高考数学二轮复习 专题一函数与导数不等式：第3讲不等式与线性规划课时规范练文

第第 3 3 讲讲 不等式与线性规划不等式与线性规划 一、选择题 1(2016全国卷)已知a243，b323，c2513，则( ) Abac Babc Cbca Dcab 解析：a243316，b32339，c2513325，所以bac. 答案：A 2(2017全国卷)设x，y满足约束条件3x2y60，x0，y0，则zxy的取值范围是( ) A3，0 B3，2 C0，2 D0，3 解析： 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)， 结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3)处取得最小值z033，在点B(2，0)处取得最大值z202. 答案：B 3(2017枣庄模拟)若正数x，y满足1y3x1，则 3x4y的最小值是( ) A24 B28 C25 D26 解析：因为正数x，y满足1y3x1， 则 3x4y(3x4y)1y3x133xy12yx1332xy4yx25，当且仅当x2y5 时取等号 所以 3x4y的最小值是 25. 答案：C 4(2017杭州调研)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域x20，xy0，x3y40中的点在直线xy20 上的投影构成的线段记为AB，则|AB|( ) A2 2 B4 C3 2 D6 解析：已知不等式组表示的平面区域如图中PMQ所示 因为直线xy20 与直线xy0 平行所以区域内的点在直线xy2 上的投影构成线段AB，则|AB|PQ|. 由x3y40，xy0，解得P(1，1)，由x2，xy0 解得Q(2，2) 所以|AB|PQ| （12）2（12）23 2. 答案：C 5已知一元二次不等式f(x)0 的解集为xx1或x13，则f(ex)0 的解集为( )(导学号 55410096) Ax|x1 或xln 3 Bx|xln 3 Cx|1xln 3 Dx|xln 3 解析：由题设，知f(x)0 的解集为1，13 又f(ex)0，得1ex13 所以xln 13ln 3. 故f(ex)0 的解集为x|xln 3 答案：D 二、填空题 6已知函数f(x)log3x，x0，13x，x0，那么不等式f(x)1 的解集为_ 解析：当x0 时，由 log3x1 可得x3，当x0 时，由13x1 可得x0， 所以不等式f(x)1 的解集为(，03，) 答案：(，03，) 7(2017北京卷改编)若x，y满足x3，xy2，yx，则x2y的最大值为_ 解析：画出可行域，设zx2y，则y12xz2，当直线y12xz2过B(3，3)时，z取得最大值 9. 答案：9 8(2017北京卷)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是_ 解析：法一 因为x0，y0 且xy1. 所以 2xyxy1， 从而 0 xy14. 因此x2y2(xy)22xy12xy. 所以12x2y21. 法二 可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围，AB上的点到原点距离的范围为22，1 ，则x2y2的取值范围为12，1 . 答案：12，1 三、解答题 9(2017肇庆模拟改编)设关于x，y的不等式组2xy10，xm0，ym0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，求实数m的取值范围 解：先根据约束条件2xy10，xm0，ym0画出可行域(图略) 要使可行域存在，必有m2m1，要求可行域包含直线y12x1 上的点，只要边界点(m，12m)在直线y12x1 的上方，且(m，m)在直线y12x1 的下方， 故得不等式组m2m1，12m12m1，m12m1，解之得m23. 故实数m的取值范围是，23. 10已知函数f(x)2xx26.(导学号 55410097) (1)若f(x)k的解集为x|x2，求k的值； (2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围 解：(1)f(x)kkx22x6k0. 由已知x|x2是其解集，得kx22x6k0 的两根是3，2. 由根与系数的关系可知(2)(3)2k，即k25. (2)因为x0，f(x)2xx262x6x22 666，当且仅当x 6时取等号 由已知f(x)t对任意x0 恒成立， 故t66，即t的取值范围是66， . 11 (2017天津卷)电视台播放甲、 乙两套连续剧， 每次播放连续剧时， 需要播放广告 已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧 连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、 乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟， 广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(导学号 54850098) (1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为 70 x60y600，5x5y30，x2y，x0，y0，即7x6y60，xy6，x2y0，x0，y0， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分： 图 1 (2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60 x25y. 将它变形为y125xz25，这是斜率为125随z变化的一簇平行直线，z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图 2 可知，当直线z60 x25y经过可行域上的点M时，截距z25最大，即z最大 解方程组7x6y60，x2y0，得点M的坐标为(6，3) 所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多 图 2