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精品资料§3.1任意角、弧度制及任意角的三角函数1 角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k·360°，kZ(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限2 弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180° rad,1° rad,1 rad°.(3)扇形的弧长公式：l|·r，扇形的面积公式：Slr|·r2.3 任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin y，cos x，tan (x0)三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin Rcos Rtan |k，kZ4 三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线()()()()有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)小于90°的角是锐角(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然(×)(3)终边相同的角的同一三角函数值相等()(4)点P(tan ，cos )在第三象限，则角终边在第二象限()(5)(0，)，则tan >>sin .()(6)为第一象限角，则sin cos >1.()2 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45° (kZ) Bk·360° (kZ)Ck·360°315°(kZ) Dk (kZ)答案C解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确3 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4C1或4 D2或4答案C解析设此扇形的半径为r，弧长为l，则解得或从而4或1.4 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.答案8解析因为sin ，所以y<0，且y264，所以y8.5 函数y的定义域为_答案(kZ)解析2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)x(kZ)题型一角及其表示例1(1)终边在直线yx上的角的集合是_(2)如果是第三象限角，那么角2的终边落在_思维启迪(1)利用终边相同的角的集合进行表示，注意对结果进行合并；(2)根据的范围求2的范围，再确定终边位置答案(1)|k，kZ(2)第一、二象限或y轴的非负半轴上解析(1)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ(2)2k<<2k，kZ，4k2<2<4k3，kZ.角2的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角(2)利用终边相同的角的集合S|2k，kZ判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍的和，然后判断角的象限(1)在直角坐标平面内，对于始边为x轴非负半轴的角，下列命题中正确的是()A第一象限中的角一定是锐角B终边相同的角必相等C相等的角终边一定相同D不相等的角终边一定不同(2)已知角45°，在区间720°，0°内与角有相同终边的角_.答案(1)C(2)675°或315°解析(1)第一象限角是满足2k<<2k，kZ的角，当k0时，它都不是锐角，与角终边相同的角是2k，kZ；当k0时，它们都与不相等，亦即终边相同的角可以不相等，但不相等的角终边可以相同(2)由终边相同的角关系知k·360°45°，kZ，取k2，1，得675°或315°.题型二三角函数的概念例2(1)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2等于()A B C. D.(2)若sin tan <0，且<0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角思维启迪(1)由于三角函数值与选择终边上的哪个点没有关系，因此知道了终边所在的直线，可在这个直线上任取一点，然后按照三角函数的定义来计算，最后用倍角公式求值(2)可以根据各象限内三角函数值的符号判断答案(1)B(2)C解析(1)取终边上一点(a,2a)，a0，根据任意角的三角函数定义，可得cos ±，故cos 22cos21.(2)由sin tan <0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限角由<0可知cos ，tan 异号，从而为第三或第四象限角，故为第三象限角思维升华(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(1)已知角的终边过点P(8m，6sin 30°)，且cos ，则m的值为()A BC D(2)若是第二象限角，则_0.(判断大小)答案(1)B(2)<解析(1)r，cos ，m>0，即m.(2)是第二象限角，1<cos <0,0<sin <1，sin(cos )<0，cos(sin )>0，<0.题型三扇形的弧长、面积公式的应用例3已知一扇形的圆心角为 (>0)，所在圆的半径为R.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？思维启迪(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于的函数解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则60°，R10，l×10 (cm)，S弓S扇S××10×102×sin 50 (cm2)(2)扇形周长C2Rl2RR，R，S扇·R2·2··.当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.思维升华涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示弧长和扇形面积公式：l|R，S|R2.已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为_和圆心角为_弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是_答案1 cm21 cm2解析设扇形圆心角为，半径为r，则2r|r4，|2.S扇形|·r22rr2(r1)21，当r1时(S扇形)max1，此时|2.数形结合思想在三角函数中的应用典例：(14分)(1)求函数ylg(34sin2x)的定义域；(2)设是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小思维启迪(1)求定义域，就是求使34sin2x>0的x的范围用三角函数线求解(2)比较大小，可以从以下几个角度观察：是第二象限角，是第几象限角？首先应予以确定sin ，cos ，tan 不能求出确定值，但可以画出三角函数线借助三角函数线比较大小规范解答解(1)34sin2x>0，sin2x<，<sin x<.3分利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kZ)6分(2)是第二象限角，2k<<2k，kZ，k<<k，kZ，是第一或第三象限的角8分(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：当是第一象限角时，sin AB，cos OA，tan CT，从而得，cos <sin <tan ；10分当是第三象限角时，sin EF，cos OE，tan CT，得sin <cos <tan .12分综上可得，当在第一象限时，cos <sin <tan ；当在第三象限时，sin <cos <tan .14分温馨提醒(1)第(1)小题的实质是解一个简单的三角不等式，可以用三角函数图象，也可以用三角函数线但用三角函数线更方便(2)第(2)小题比较大小，由于没有给出具体的角度，所以用图形可以更直观的表示(3)本题易错点：不能确定所在的象限；想不到应用三角函数线原因在于概念理解不透，方法不够灵活.方法与技巧1 在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点|OP|r一定是正值2 三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3 在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧失误与防范1 注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2 角度制与弧度制可利用180° rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 k·180°45°(kZ)，则在()A第一或第三象限 B第一或第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限答案A解析45°角在第一象限，角和45°角终边相同或互为反向延长线，角在第一或第三象限2 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为()A B C D2答案C解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r·r，.3 角的终边过点P(1,2)，则sin 等于()A B C D答案B解析由三角函数的定义，得sin .4 若是第三象限角，则下列各式中不成立的是()Asin cos <0 Btan sin <0Ccos tan <0 Dtan sin <0答案B解析在第三象限，sin <0，cos <0，tan >0，则可排除A、C、D，故选B.5 给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos <0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案A解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin sin ，但与的终边不相同，故错；当cos 1，时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故错综上可知只有正确二、填空题6 设为第二象限角，其终边上一点为P(m，)，且cos m，则sin 的值为_答案解析设P(m，)到原点O的距离为r，则cos m，r2，sin .7 已知角的终边上一点的坐标为(sin ，cos )，则角的最小正值为_答案解析tan ，且sin >0，cos <0，在第四象限，由tan ，得的最小正值为.8 y 的定义域为_答案x|2kx2k，kZ解析sin x，作直线y交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为x|2kx2k，kZ三、解答题9 已知角的终边经过点P(，m) (m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由题意，得r，所以sin m.因为m0，所以m±，故角是第二或第三象限角当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第二象限角，所以cos ，tan ；当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第三象限角，所以cos ，tan .10一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得圆心角2弧度如图，过O作OHAB于H，则AOH1弧度AH1·sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)B组专项能力提升(时间：30分钟)1 设集合Mx|x×180°45°，kZ，Nx|x×180°45°，kZ，那么()AMN BMNCNM DMN答案B解析方法一由于Mx|x×180°45°，kZ，45°，45°，135°，225°，Nx|x×180°45°，kZ，45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，显然有MN.方法二由于集合M中，x×180°45°k×90°45°45°×(2k1)，2k1是奇数；而集合N中，x×180°45°k×45°45°(k1)×45°，k1是整数，因此必有MN.2 已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为()A1 B1 C3 D3答案B解析由2k(kZ)及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin <0，cos >0，tan <0.所以y1111.3 函数y 的定义域是_答案(kZ)解析由题意知即x的取值范围为2kx2k，kZ.4 已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)2rl8，S扇lrl·2r()2×()24，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值4.r2，弦长AB2sin 1×24sin 1.5 已知sin <0，tan >0.(1)求角的集合；(2)求终边所在的象限；(3)试判断tan sin cos 的符号解(1)由sin <0，知在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan >0，知在第一、三象限，故角在第三象限，其集合为|(2k1)<<2k，kZ(2)由(2k1)<<2k，kZ，得k<<k，kZ，故终边在第二、四象限(3)当在第二象限时，tan <0，sin >0，cos <0，所以tan sin cos 取正号；当在第四象限时，tan <0，sin <0，cos >0，所以tan sin cos 也取正号因此，tan sin cos 取正号
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