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精品资料学案34基本不等式及其应用导学目标： 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题自主梳理1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号2几个重要的不等式(1)a2b2_ (a，bR)(2)_(a，b同号)(3)ab2 (a，bR)(4)2_.3算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式可叙述为：_.4利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有最_值是_(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有最_值是_(简记：和定积最大)自我检测1“a>b>0”是“ab<”的_条件2已知函数f(x)x，a、b(0，)，Af，Bf()，Cf，则A、B、C的大小关系是_3下列函数中，最小值为4的函数是_(填上正确的序号)yx；ysin x(0<x<)；yex4ex；ylog3xlogx81.4设函数f(x)2x1(x<0)，则f(x)最大值为_5(2010·山东)若对任意x>0，a恒成立，则a的取值范围为_探究点一利用基本不等式求最值例1(1)已知x>0，y>0，且1，求xy的最小值；(2)已知x<，求函数y4x2的最大值；(3)若x，y(0，)且2x8yxy0，求xy的最小值变式迁移1(2011·重庆改编)已知a>0，b>0，ab2，则y的最小值是_探究点二基本不等式在证明不等式中的应用例2已知a>0，b>0，ab1，求证：(1)(1)9.变式迁移2已知x>0，y>0，z>0.求证：8.探究点三基本不等式的实际应用例3(2010·镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)变式迁移3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3x与t1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用)1a2b22ab对a、bR都成立；成立的条件是a0，b0；2成立的条件是ab>0，即a，b同号2利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值3使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法一般地函数yax，当a>0，b<0时，函数在(，0)，(0，)上是增函数；当a<0，b>0时，函数在(，0)，(0，)上是减函数；当a>0，b>0时函数在，上是减函数，在，上是增函数；当a<0，b<0时，可作如下变形：y来解决最值问题 (满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为_2已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_3已知a>0，b>0，则2的最小值是_4(2011·南京模拟)一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于2 km，那么这批货物全部运到B市，最快需要_h.5设x，y满足约束条件，若目标函数zaxby (a>0，b>0)的最大值为12，则的最小值为_6(2010·浙江)若正实数x，y满足2xy6xy，则xy的最小值是_7(2011·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是_8已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为_二、解答题(共42分)9(14分)(1)已知0<x<，求x(43x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x2y3上移动，求2x4y的最小值10(14分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y(v>0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？11(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值学案34基本不等式及其应用答案自主梳理1(1)a0，b0(2)ab2.(1)2ab(2)2(4)3.两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数4.(1)xy小2(2)xy大自我检测1充分不必要2.ABC3.4.215，)课堂活动区例1解题导引基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件解(1)x>0，y>0，1，xy(xy)1061016.当且仅当时，上式等号成立，又1，x4，y12时，(xy)min16.(2)x<，54x>0.y4x232 31，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1.(3)由2x8yxy0，得2x8yxy，1.xy(xy)10102102×2× 18，当且仅当，即x2y时取等号又2x8yxy0，x12，y6.当x12，y6时，xy取最小值18.变式迁移1解析ab2，1.()()()2(当且仅当，即b2a时，“”成立)，故y的最小值为.例2解题导引“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法证明方法一因为a>0，b>0，ab1，所以112.同理12.所以(1)(1)(2)(2)52()549.所以(1)(1)9(当且仅当ab时等号成立)方法二(1)(1)111，因为a，b为正数，ab1，所以ab()2，于是4，8，因此(1)(1)189(当且仅当ab时等号成立)变式迁移2证明x>0，y>0，z>0，>0，>0，>0.8.当且仅当xyz时等号成立所以()()()8.例3解题导引1.用基本不等式解应用题的思维程序为：2在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案解(1)依题意得y(56048x)56048x (x10，xN*)(2)x>0，48x21 440，当且仅当48x，即x15时取到“”，此时，平均综合费用的最小值为5601 4402 000(元)答当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元变式迁移3解(1)由题意可设3x，将t0，x1代入，得k2.x3.当年生产x万件时，年生产成本年生产费用固定费用，年生产成本为32x3323.当销售x(万件)时，年销售收入为×150%t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润年销售收入年生产成本促销费，得年利润y (t0)(2)y5050250242(万元)，当且仅当，即t7时，ymax42，当促销费投入7万元时，企业的年利润最大课后练习区1424解析不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则1aa219，2或4(舍去)正实数a的最小值为4.34解析因为22224，当且仅当且 ，即ab1时，取“”号48解析第一列货车到达B市的时间为 h，由于两列货车的间距不得小于2 km，所以第17列货车到达时间为8，当且仅当，即a100 km/h时成立，所以最快需要8 h.5.解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线axbyz (a>0，b>0)过直线xy20与直线3xy60的交点(4,6)时，目标函数zaxby (a>0，b>0)取得最大值12，即4a6b12，即2a3b6，而·2(ab时，取“”)618解析由x>0，y>0,2xy6xy，得xy26(当且仅当2xy时，取“”)，即()2260，(3)·()0.又>0，3，即xy18.故xy的最小值为18.74解析过原点的直线与f(x)交于P、Q两点，则直线的斜率k>0，设直线方程为ykx，由得或P(，)，Q(，)或P(，)，Q(，)PQ24.8(，21)解析由f(x)>0得32x(k1)·3x2>0，解得k1<3x，而3x2，k1<2，k<21.9解(1)0<x<，0<3x<4.x(43x)(3x)(43x)2，(5分)当且仅当3x43x，即x时，“”成立当x时，x(43x)的最大值为.(7分)(2)已知点(x，y)在直线x2y3上移动，x2y3.2x4y2224.(12分)当且仅当即x，y时，“”成立当x，y时，2x4y的最小值为4.(14分)10解(1)y11.08.(6分)当v，即v40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时(9分)(2)据题意有10，(11分)化简得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，所以25v64.所以汽车的平均速度应控制在25,64这个范围内(14分)11解(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x1)天每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1400×0.03×123(x1)6x26x.(6分)(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x26x6001.5×400x，购买一次原材料平均每天支付的总费用为y(6x26x600)1.5×4006x594.(9分)y2594714，(12分)当且仅当6x，即x10时，取等号该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，且最小为714元(14分)
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