新编高中数学北师大版选修21练习：第三章2.1 抛物线及其标准方程 1 Word版含解析

新编数学北师大版精品资料基础达标1.已知抛物线的焦点坐标是 F(0，2)，则它的标准方程为()Ay28xBy28xCx28yDx28y解析：选 D.p22，p4，焦点在 y 轴负半轴上，故其标准方程为 x28y.2.抛物线 x28y 的准线方程为()Ay2Bx2Cy4Dx4解析：选 A.其焦点为(0，2)，故准线方程为 y2.3.点 P 为抛物线 y22px 上任一点，F 为焦点，则以 P 为圆心，以|PF|为半径的圆与准线 l()A相交B相切C相离D位置由 F 确定解析：选 B.圆心 P 到准线 l 的距离等于|PF|，相切4.如图，南北方向的公路 L，A 地在公路正东 2 km 处，B 地在 A北偏东 60 方向 2 3 km 处，河流沿岸曲线 PQ 上任意一点到公路 L和到 A 地距离相等现要在曲线 PQ 上某处建一座码头，向 A，B 两地运货物，经测算，从 M 到 A，B 修建公路的费用都为 a 万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是()A(2 3)a 万元B(2 31)a 万元C5a 万元D6a万元解析： 选 C.依题意知曲线 PQ 是以 A 为焦点、 L 为准线的抛物线， 根据抛物线的定义知：欲求从 M 到 A，B 修建公路的费用最低，只需求出 B 到直线 L 的距离即可B 地在 A 地北偏东 60方向 2 3 km 处，B 到点 A 的水平距离为 3 km，B 到直线 L 的距离为 325(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为 5a 万元，故选 C.5.一个动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x20 相切，则动圆必过定点()A(0，2)B(0，2)C(2，0)D(4，0)解析：选 C.由抛物线定义知圆心到准线 x20 的距离等于到焦点 F(2，0)的距离，动圆必过定点(2，0)6.经过点 P(4，2)的抛物线的标准方程为_解析：设抛物线的标准方程为 y22px 或 x22py，把 P(4，2)分别代入得(2)28p 或 162p(2)；p12或 p4，故对应的标准方程为 y2x 和 x28y.答案：y2x 或 x28y7.已知圆 x2y26x70 与抛物线 y22px(p0)的准线相切，则 p_解析：圆方程可化为(x3)2y216，圆心为(3，0)，半径为 4，由题意知 1p2，p2.答案：28.过点 A(0，2)且和抛物线 C：y26x 相切的直线 l 方程为_解析：当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x0，与抛物线 C 相切；当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y2kx，与 y26x 联立，消去 x 得 y2k6y2，即 ky26y120，由题意可知 k0，(6)248k0，k34，y234x.即为 3x4y80.答案：x0 或 3x4y809.已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M(m，3)到焦点 F 的距离为 5，求 m 的值、抛物线方程及其准线方程解：设所求抛物线方程为 x22py(p0)，则焦点 F 的坐标为0，p2 .因为 M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故m26p，m23p225，解得p4，m2 6.所以所求的抛物线方程为 x28y，m2 6，准线方程为 y2.10.一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口 AB 宽恰好是拱高 CD 的 4 倍，若拱宽为 a m，求能使卡车通过的 a 的最小整数值解：以拱顶为原点，拱高所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系设抛物线方程为 x22py(p0)，则点 B 的坐标为(a2，a4)，由点B 在抛物线上，(a2)22p(a4)，pa2，抛物线方程为 x2ay.将点 E(0.8，y)代入抛物线方程，得 y0.64a.点 E 到拱底 AB 的距离为a4|y|a40.64a3.解得 a12.21，a 取整数，a 的最小整数值为 13.能力提升1.O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4 2，则POF 的面积为()A2B2 2C2 3D4解析：选 C.设 P(x0，y0)，则|PF|x0 24 2，x03 2，y204 2x04 23 224，|y0|2 6.F( 2，0)，SPOF12|OF|y0|12 22 62 3.2.从抛物线 y24x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|5，设抛物线的焦点为 F，则MPF 的面积为_解析：抛物线方程为 y24x，则准线方程为 x1.令 P 点坐标为 P(x0，y0)，由图可知，|PM|x015.x04.把 x04 代入 y24x，解得 y04，MPF 的面积为12|PM|y0|125410.答案：103.已知抛物线的方程为 x28y，F 是焦点，点 A(2， 4)，在此抛物线上求一点 P，使|PF|PA|的值最小解：(2)20)的形式，而p212，p1，2p2，故轨迹方程为 y22x.(2)如图，由于点 M 在抛物线上，所以|MF|等于点 M 到其准线 l 的距离|MN|，于是|MA|MF|MA|MN|，所以当 A、M、N 三点共线时，|MA|MN|取最小值，亦即|MA|MF|取最小值，这时 M 的纵坐标为 2，可设 M(x0，2)代入抛物线方程得 x02，即 M(2，2)