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第1讲函数与方程思想1函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系2和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.热点一函数与方程思想在不等式中的应用例1(1)已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当0时，f(cos22msin )f(2m2)<0恒成立，则实数m的取值范围是_答案(，)解析f(cos22msin )f(2m2)<0f(cos22msin )<f(2m2)cos22msin <2m22m(1sin )>1sin2.当时，2m·0>2，此时mR；当0<时，m>，令t1sin ，则t(0,1，此时m>×(t2)设(t)(t2)，而(t)在t(0,1上的值域是(，故m>.(2)在R上定义运算：x*yx(1y)若不等式(xy)*(xy)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是()A(，) B(，)C(1,1) D(0,2)答案A解析由题意，知(xy)*(xy)(xy)·1(xy)<1对一切实数x恒成立，所以x2xy2y1<0对于xR恒成立故124×(1)×(y2y1)<0，所以4y24y3<0，解得<y<.思维升华(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可转化为f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解(1)若2x5y2y5x，则有()Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy0(2)已知函数f(x)若对任意x1a，a1，不等式f(xa)f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_答案(1)B(2)(0，解析(1)把不等式变形为2x5x2y5y，构造函数y2x5x，其为R上的增函数，所以有xy，即xy0.(2)由题设，知f(x)则f(x)2f(2x)，则不等式f(xa)f(x)2等价于f(xa)f(2x)，因为f(x)在R上是增函数，所以xa2x，即a(2)x.又x1a，a1，所以当xa1时，(2)x取得最小值(2)(a1)因此a(2)(a1)，解得a.又a1>1a，所以a>0，故a(0，热点二函数与方程思想在数列中的应用例2已知数列an是等差数列，a11，a2a3a10144.(1)求数列an的通项an；(2)设数列bn的通项bn，记Sn是数列bn的前n项和，若n3时，有Snm恒成立，求m的最大值解(1)an是等差数列，a11，a2a3a10144，S10145，S10，a1028，公差d3.an3n2(nN*)(2)由(1)知bn，Snb1b2bn，Sn.Sn1Sn>0，数列Sn是递增数列当n3时，(Sn)minS3，依题意，得m，m的最大值为.思维升华(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解(1)(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_(2)已知函数f(x)()x，等比数列an的前n项和为f(n)c，则an的最小值为()A1 B1C. D答案(1)4(2)D解析(1)因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41×224.(2)由题设，得a1f(1)cc；a2f(2)cf(1)c；a3f(3)cf(2)c.又数列an是等比数列，()2(c)×()，c1.又公比q，an()n12()n，nN*.且数列 an是递增数列，n1时，an有最小值a1.热点三函数与方程思想在几何中的应用例3已知椭圆C：1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值解(1)由题意得解得b.所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|MN|.又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|·d.由，解得k±1.所以，k的值为1或1.思维升华几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决(1)(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0<b<1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_(2)若a>1，则双曲线1的离心率e的取值范围是()A(1，) B(，)C， D(，)答案(1)x2y21(2)B解析(1)设点B的坐标为(x0，y0)，x21，且0<b<1，F1(，0)，F2(，0)AF2x轴，A(，b2)|AF1|3|F1B|，3，(2，b2)3(x0，y0)x0，y0.点B的坐标为.将点B代入x21，得b2.椭圆E的方程为x2y21.(2)e2()21(1)2，因为当a>1时，0<<1，所以2<e2<5，即<e<.1在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量2当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想3借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解4许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.真题感悟1(2014·辽宁)已知a2，blog2，clog，则()Aa>b>c Ba>c>bCc>a>b Dc>b>a答案C解析0<a2<201，blog2<log210，clog>log1，即0<a<1，b<0，c>1，所以c>a>b.2(2014·福建)设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5 B.C7 D6答案D解析如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2(y6)2r2(r>0)，与椭圆方程y21联立得方程组，消掉x2得9y212yr2460.令1224×9(r246)0，解得r250，即r5.由题意易知P，Q两点间的最大距离为r6，故选D.3(2014·福建)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)答案160解析设该长方体容器的长为x m，则宽为 m又设该容器的造价为y元，则y20×42(x)×10，即y8020(x)(x>0)因为x24(当且仅当x，即x2时取“”)，所以ymin8020×4160(元)押题精练1若关于x的方程(22|x2|)22a有实根，则实数a的取值范围是_答案1,2)解析令f(x)(22|x2|)2.要使f(x)2a有实根，只需2a是f(x)的值域内的值f(x)的值域为1,4)，1a2<4，1a<2.2设ABC，P0是边AB上一个定点，满足P0BAB，且对于AB上任一点P，恒有··，则()AABC90° BBAC90°CABAC DACBC答案D解析方法一·PB·PC·cosCPB(PC2PB2BC2)(PB2BC22PB·BCcos BPB2BC2)PB2PB·BC·cos B.这是关于PB的二次函数，当PB时，·取得最小值由题设，知AB，所以cos B.又cos B，所以.所以ACBC.故选D.方法二以所在直线为x轴正方向，点C在y轴正半轴上，设A(a,0)，B(b,0)，C(0，c)，P(x,0)，则·x2bx，当x时有最小值，所以P0(，0)又P0BAB，所以.所以ab.所以ACBC.故选D.方法三设AB4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(2,0)，P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，则(2x,0)，(ax，b)，(1,0)，(a1，b)而··(2x)·(ax)a1恒成立，即f(x)x2(2a)xa10恒成立，这是一个关于x的二次函数，故判别式a20恒成立从而a0，即点C在线段AB的中垂线上，故ACBC.故选D.3已知函数f(x)(xR)(1)证明：f(x)f(1x)；(2)若数列an的通项公式为anf()(mN*，n1,2，m)，求数列an的前m项和Sm；(3)设数列bn满足b1，bn1bbn，Tn，若(2)中的Sm满足对不小于2的任意正整数m，Sm<Tn恒成立，试求m的最大值(1)证明因为f(x)，所以f(1x).所以f(x)f(1x).(2)解由(1)，知f(x)f(1x)，所以f()f(1)(1km1)(kN*)，即f()f().所以akamk，amf()f(1).又Sma1a2am1am，Smam1am2a1am，由，得2Sm(m1)×2am，即Sm(mN*)(3)解由b1，bn1bbnbn(bn1)，显然对任意nN*，bn>0，则，即，所以Tn()()()3.因为bn1bnb>0，所以bn1>bn，即数列bn是单调递增数列所以Tn关于n递增，所以当nN*时，TnT1.因为b1，b2()2，所以TnT13.由题意，知Sm<，即<，解得m<，所以m的最大值为3.
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