高三理科数学统一测试试题

高三理科数学统一测试试题数学（理科）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。共150 分，考试时间120 分钟。第卷（选择题共 40 分）一、选择题 ：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内。1设全集 U =1 ，3， 5， 7，9 ，集合 A=1 ，9， |a 5| ，=5 ，7 ，则 a 的值为（）A 2B 8C 2 或 8D 2 或 82若复数 z13i , z21 i ，则 z1 z2 在复平面内对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C第三象限D第四象限3把函数 ysin(2x) 的图象向右平移个单位，所得图象对应函数的最小正周期是（）48A B 2C 4D24光线沿直线 y=2 x+1 射到直线 y=x 上，被直线 y=x 反射后的光线所在的直线方程为（）A y1 x 1B y1 x1C y1 x1D y1 x 12222225从 4 台 A 型笔记本电脑与 5 台 B 型笔记本电脑中任选3 台，其中至少要有 A 型和 B 型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（）A 140 种B 84 种C 70 种D 35 种6对于不重合的两条直线m， n 和平面，下列命题中的真命题是（）A 如果 m, n， m， n 是异面直线，那么n /B 如果 m,n /， m， n 是共面，那么 m/ nC如果 m, n， m， n 是异面直线，那么n与相交D 如果 m / , n / ， m， n 共面，那么 m / nn满足 Sn1a4a2 n ) 的值为（）7已知数列 an 的前 n 项和 San 1 ，那么 lim ( a23n12C 1D 2A B 23x18已知函数 f (x)( x R) 的图象如图所示， 则函数 g ( x)）f () 的单调递减区间是 （x1A (,0, (1,)B (,0, 3, )C (,1), (1,)D 1,1)第卷（非选择题共 110 分）二、填空题 ：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。9若 (x2a)8 的展开式中含x6 项的系数是448，则正实数a 的值为。x1cos，过这个圆外一点 P（ 2， 3）10圆1( 为参数）的标准方程是ysin的该圆的切线方程是。11在 ABC 中，角 A 满足条件3 sin Acos A1， AB 2， BC2 3 ，则角 A=， ABC 的面积为。12若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为 4，则该球的半径为，体积为。x1,y1 的取值范围是13实数 x， y 满足不等式组y0,则 W。xy0,xx2y 21(a0,b0) 的右支上一点， A 1， A 2 分别为双曲线的左、14已知 P 是双曲线b2a 2右顶点， F1， F2 分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：2ab双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为；a 2b2若 |PF1|=e|PF2|，则 e 的最大值为2 ； PF F 的内切圆的圆心横坐标为a；12若直线 PF1 的斜率为 k，则 e2k 21.其中正确命题的序号是。三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15（本小题满分12 分）已知 A、 B 两点的坐标分别为A(cos x, sin x), B(cos 3x ,sin 3x )，其中 x ,0.22222（）求 | AB |的表达式；（）若 OA OB1（O 为坐标原点），求 tan x 的值；3（）若 f ( x) AB24 | AB | (R) ，求函数 f ( x) 的最小值。16（本小题满分13 分）有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6 张卡片，其中一张标有数字0，两张标有数字 1，三张标有数字2；黑色盒中有7 张卡片，其中4 张标有数字0，一张标有数字1，两张标有数字2。现从红色盒中任意取1 张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任意取2 张卡片（每张卡片抽出的可能性相等），共取 3 张卡片。（）求取出的3 张卡片都标有数字0 的概率；（）求取出的3 张卡片数字之积是4 的概率；（）记为取出的3 张卡片的数字之积，求的概率分布及数学期望E。17（本小题满分14 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形， AB/CD ，AD=BC=2 ，对角线 AC BD 于 O， DAO=60 ，且 PO平面 ABCD ，直线 PA 与底面 ABCD 所成的角为 60， M 为 PD 上的一点。（）证明： PD AC ；（）求二面角A PB D 的大小；（）若 DM : MP=k ，则当 k 为何值时直线 PD平面 ACM ？18（本小题满分13 分）已知函数f (x)x 2a ln x.（）当a= 2 时，求函数f ( x) 的单调区间和极值；（）若函数g( x)f ( x)2 在1, ) 上是增函数，求实数 a 的取值范围。x19（本小题满分 14 分）已知点 Pn (an , bn )(nN * ) 都在直线 l： y2x 2 上， P1为直线 l 与 x 轴的交点，数列 an 成等差数列，公差为 1。（）求数列 an ， bn 的通项公式；（）若 f (n)an， n为奇数， 问是否存在 kN * ，使得f ( k5)2 f (k ) 5 成bn，n为偶数，立？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由。（）求证：11122, nN).| p1 p3 |2| p1 pn |2( n| p1 p2 |2520（本小题满分14 分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，且准线方程为 y1. 直线 l 过 M（ 1，0）2与抛物线交于A ，B 两点，点 P 在 y 轴的右侧且满足 OP1 OA1 OB（ O 为坐标原点） 。22（）求抛物线的方程及动点P 的轨迹方程；（）记动点P 的轨迹为 C，若曲线 C 的切线斜率为，满足 MBMA ，点 A 到 y轴的距离为 a，求 a 的取值范围。参考答案一、选择题：每小题5 分，满分40 分。1.D 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.C 8.B二、填空题：每小题5 分，满分30 分。（对有两空的小题，第一空3 分，第二空2 分，第 10 题每个切线方程各1 分）9 210 ( x 1) 2( y 1) 21; 3x 4 y 6 0或 x 2112 ;312 3； 3613 1,1)14380 分。三、解答题：本大题满分15（本小题满分12 分）解：（ I） AB(cos 3xcos x) 2(sin 3xsin x ) 2 1 分222222cos2 x 2 分=4 sin 2x=2 sin x( x,0) 3 分2（）OA OBcos2x14 分3sin 2 x1 cos2x1 , cos2 x1cos2x22323又 x,0,sin x3 , cos x6 .6 分233tan x27 分2（） f ( x)AB2| AB |4 sin2x 8 sin x4= 4(sin x)242 8 分x,0, sin x 1,0 9分2当10 时， f ( x) 的最小值为 4 2，此时 sin x10 分当1 时， f ( x) 的最小值为4+8 ，此时 sin x1 11 分当0 时， f (x) 的最小值为0，此时 sin x 0. 12分16（本小题满分 13 分）解：（ I）记“取出的 3 张卡片都标有数字 0”为事件 A. 1 分C11C421P( A)C722 分C6121（）记“取出的3 张卡片数字之积是 4”为事件 B 。P( B)C21 C22C31 C11 C214C61 C7263（）的可能取值为0， 2，4， 8 6 分P(C51 C3211537 8 分0) 162142C61 C72P(C21 C21 C112 9 分2)C61 C72；63P(C31 C22110 分8)；C61 C7242的概率分布列为：0248P3724142636342E37224481320636342 13 分426317（本小题满分14 分）解：（ I） PO平面 ABCD DO 为 DP 在平面 ABCD 内的射影1 分又 AC BD AC PD3 分（）方法1：过 O 作 ON PB 于 N，连结 AN 。 PO平面 ABCD ，又 AO平面 ABCD ， PO AO4 分由已知 AO BD ， BD PO=O AO 平面 PBD 。5 分 ON 为 AN 在平面 PBD 内的射影， PB AN. ANO 为二面角A PB D 的平面角。 6 分在 Rt AOD 中， AO=1 。 PO平面 ABCD ， OA 为 PA 在底面 ABCD 内的射影5 分 11 分 PAO 为直线 PA 与底面 ABCD 所成的角， PAO=60 67 分 Rt POA 中， PO=3四边形 ABCD 为等腰梯形 ABD BAC ABD= BAC OA=OB=1 8 分在 Rt POB 中， PB=2 ONPO OB3 13 .PB22在 Rt AON 中，tan ANOAO123 . 9分ON332二面角 A PBD 的大小为arctan 2 3 . 10 分3方法 2：如图，以 O 为坐标原点， OB， OC，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系. 4 分A （ 0， 1， 0）， B （1， 0， 0）P（ 0， 0，3) O（ 0， 0，0） 5 分BP ( 1,0,3), AB (1,1,0),OP (0,0, 3) 6 分 PO平面 ABCD又 AO 平面 ABCD ， PO AO由已知 AO BD ， BD PO=O AO 平面 PBD 。 OA 为平面 PBD 的法向量。 OA(0, 1,0) 7 分设 n( x, y, z) 为平面 PAB 的法向量。n AB0xy0 8 分则x3z 0n BP0yx3 9 分令，则x(1, 1,)z3 x1n33cosOA,nOA n121| OA | n |773二面角 A PBD 的大小为 arccos 2110 分7（）当DM ： MP=1 时，直线PD平面 ACM 11 分 PO平面 ABCD ， OA 为 PA 在底面 ABCD 内的射影。 PAO 为直线 PA 与底面 ABCD 所成的角， PAO=60 又在 RtAOD 中， DAO=60 Rt AOD RtAOP 。 AD=AP 。 PM=MD ， PD AM 13 分由（）可知 PD AC AM AC=A直线 PD平面 ACM14 分18（本小题满分13 分）解：（ I）函数 f ( x) 的定义域为 (0, ) 1 分当 a2 时， f ( x)2x22( x1)( x 1) 3 分xx当 x 变化时，f ( ),f()的变化情况如下：xxx（0， 1）1（1， +）f(x)0+f ( x)极小值5 分由上表可知，函数f ( x) 的单调递减区间是（0， 1）；单调递增区间是（1， +）。极小值是f (1)1 6分（）由22a2 7 分g( x)xa ln xx ，得 g ( x) 2x xx22又函数g (x)x2a ln x1,) 上单调增函数，x为则 g(x)0在1,) 上恒成立， 8 分即不等式 2x2a0在1,) 上恒成立x2x2也即a2x2 在1,) 上恒成立 10 分x又 ( x)22 x2在1,) 为减函数， 12 分x所以 ( x)max(1)0.所以a0.a 的取值范围为 0,)13 分19（本小题满分 14 分）解（ I ）由题意知 P1（ 1， 0）1 分 a11, b10 2 分 ana1(n 1) 11n 1n2 bn2an22(n2)22n2（）若 k 为奇数，则 f (k)akk2f (k5)bk52k82k82(k2)5无解6 分若 k 为偶数，则 f ( k)2k2, f (k5) k 3k32(2k2)5,解得 k4 8 分综上，存在 k=4 使 f (k5) 2 f (k)5 成立 . 9 分（）证明：| p1 pn|2(n1) 24( n1) 25( n1) 2（ 1）当 n2时11.112成立。 11 分| p1 p2 |2| p2 p3 |2255| p1 pn |（ 2）当 n 3， nNx 时，11.1111.1| p1 p2 |2| p1 p3 |2| p1 pn |251222(n 1) 21111.1 12 分 21 2 2 35 1(n 2)( n 1)1(111)1(11)2 成立 .13 分5n155综上，当 n2, nN *时 ,11.12成立14 分| p1 p2 |2| p1 p3 |2| p1 pn |2520（本小题满分14 分）解：（）由题意知抛物线的方程为x 22 py( p0)，且 p1 .22 p=1 ，抛物线的方程为x22 y. 2 分直线 l 的斜率不存在时，直线l与抛物线交于一点，不符合题意。 3 分于是设直线 l 的方程为yk( x1).联立yk( x1),得2220.x 22 y,xkxk设两交点为A(x1 , y1 )， B(x2 , y2 ).则 =4k 2 8k0k2或 k0, 4 分 x1x22k , x1 x22k. 5 分设( , )，则( , ),(, ),( , ).P x yOPx y OA x1 y1 OB x2 y2OP1OA1,22OBxx1x2k ,2y1y21 k (x1 1) k( x2y21)k 2k.2消去 k 得 yx2x. 7 分又 P 点在 y 轴的右侧 x0，又 xk， k2或 k0x2. 8 分动点 P 的轨迹方程为 yx 2x(x0)（）曲线C 的方程为 yx 2x( x 2)切线斜率y 2x1( x2). 9 分3. 10 分 MB(x21, y2 ), MA( x11, y1 ) ，又 MBMAx21( x11)x2x1122y2y1x2x1 x122x110.解得 x122411 . 12 分 ax111(3) 13 分 a 的取值范围是： (13 ,1) (1,13 ). 14 分33