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陕师大附中西 安中 学 西安交大附中西安市83中西安地区八校联考长安一中西安高新一中西安铁一中 西工大附中xx 届高三年级数学(理)试题命题人:西工大附中许德刚审题人:西安铁一中刘康宁注意事项:1本试卷分为第卷和第卷。第卷为选择题,第卷为非选择题。2考生须到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答卡上填涂对应的试卷类型和信息点。3所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷 (选择题 共 60 分)参考公式:如果事件 A、 B 互斥,那么 P(A+B ) =P(A ) +P( B)如果事件 A、 B 相互独立,那么 P( A·B) =P( A ) ·P( B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P (k) C k P k (1 P) n knn球的表面积公式 S4 R2 ,其中 R 表示球的半径球的体积公式 V球4 R3 ,其中 R 表示球的半径3一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设 U 为全集, M 、P 是 U 的两个子集,且 (CU M ) PP, 则 MP 等于()A MB PCC PDU2若复数 z a23i 为纯虚数,其中a R , i 为虚数单位,则ai 2007的值为()1aiA 1B iC 1D i3在空间中,设m、 n 为两条不同的直线,、 为两个不同的平面,则m 的一个充分条件是()A 且 m B 且 m/ C /且 m D mn 且 n/ 4已知圆 C1 : (x4)2( y 2) 21与圆 C 2 : ( x 2) 2( y 4)21关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为()B x+y= 0A x y= 0C xy+6= 0D x+y 6= 05设 O 为平行四边形ABCD 的对称中心, AB 4e1 , BC6e2 , 则2e1 3e2等于 ()A OAB OBC OCD OD6某小组共有 8 名同学,其中男生6 人,女生 2 人,现从中按性别分层随机抽4 个参加一项公益活动,则不同的抽取方法共有()A 40 种B 70 种C 80 种D 240 种xa x的图象的大致形状是()7若 0<a<1,则函数 f ( x)| x |1n8若 x3(nN *) 的展开式中只有第6 项的系数最大, 则该展开式中的常数项为()x 2A 462B 252C 210D 109若点 P( a,3)到直线 4x 3y+1=0 的距离为4,且点 P 在不等式 2x+y 3<0 表示的平面区域内,则 a 的值为()A 3B 3C 7D 710如图 1,正方体 ABCD A 1B1C1D 1的侧面 ABB 1A 1 内有一动点 P 到直线 AA 1和 BC 的距离相等,则动点P 的轨迹是()A线段B椭圆的一部分C双曲线的一部分D抛物线的一部分11在 ABC中, tanA 是第3 项为 4、第7 项为 4 的等差数列的公差,tanB 是第3 项为1 ,3第 6 项为 9 的等比数列的公比,则A等腰三角形C直角三角形ABC 是B 锐角三角形D 钝角三角形()12设函数f ( x)x | x |bxc(b, cR) ,给出下列四个命题若 c= 0,则 f( x)为奇函数;若 b=0 ,c>0,则方程f( x) =0 只有一个实根;函数 y= f( x)的图象关于点(O,C)成中心对称图形;关于 x 的方程 f( x) =0 最多有两个实根.其中正确的命题是()A、B 、C、D、第卷 (非选择题共 90 分)二、填空题 (本大题共4 小题,每小题4 分,共 16 分。把答案填在题中的横线上)13函数 y(sin x3 cos x)(cos x3 sin x)3 的最小正周期是.14正三棱锥在S ABC 内接于球 O,且球心 O平面 ABC 上.若正三棱锥 AABC 的底面边长为 a,则该三棱锥的体积是.15如图2,在 ABC 中, ABC= ACB=30 °,、AC 边上的高分别为 CD、BE,则以B、ABC 为焦点,且经过D 、E 两点的椭圆与双曲线的离心率之和为.16在直角坐标平面内,已知点到P1( 1、 2), P2( 2, 22), P3 (3, 23), Pn( n,2n),如果 n 为正整数,则向量P1 P2P3 P4P5 P6P2n 1P2 n 的坐标为.(用n表示)三、解答题 (本大题共6 小题,共74 分,解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤)17(本小题满分12 分)在直角坐标平面内,已知三点A( 3,0)、B( 3,0)、C( cos,sin),其中(, 3).22()若 | AC | BC |, 求角的弧度数;()若 AC BC1,求 2sin 2sin 2的值 .1tan18(本小题满分12 分)袋中装有大小相等的3 个白球、 2 个红球和 n 和黑球,现从中任取2 个球,每取得一个白球得1 分,每取得一个红球得2 分,每取得一个黑球得0 分,用表示所得分数,已知得0 分的概率为1 :6()袋中黑球的个数n;()的概率分布列及数学期望E.19(本小题满分12 分)如图3,四棱锥P ABCD的底面是边长为1 的正方形, PD BC,PD=1 ,PC=2.()求证: PD平面 ABCD ;()求二面角 A PB D 的大小.20(本小题满分12 分)设函数 f ( x)1 x 32ax23a 2 x b(0 a 1,b R) .3()求函数f (x)的单调区间和极值;()若对任意的x a1, a2, 不等式 | f ( x) |a 恒成立,求a 的取值范围 .21(本小题满分12 分)设双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,实轴长为2,它的两条渐近线与以A (0, 1)为圆心、2为半径的圆相切。直线l 过点A 且与双曲线的左支交于B 、C2两点 .()求双曲线的方程.()若ABBC, 求直线l 的方程;22 ( 本 小 题 满 分14 分 ) 已 知 曲 线C : f ( x)x 2 , C上点 A, An 的 横 坐 标 分 别 为1 和a n (n1,2,3,) ,且 a1=5,数列 xn 满足 xn+1=tf( xn 1) +1( t>0) ,且( t1 ,t1) .设2区间D n1,an(an1),当x D n 时,曲线 C 上存在点 Pn (xn , f (xn ), 使得点n处的切线P与直线 AA n 平行 .()证明: log t (xn1)1 是等比数列;()当 D n 1 D n 对一切 nN * 恒成立时,求 t 的取值范围;1时,试比较 Sn 与 n+7 的大小,并证明你的结论 .()记数列 a n 的前 n 项和为 Sn,当 t4参考答案一、选择题(每小题5 分,共60 分)1 D2B3 C4A5 B6 A7 D8 C9A10 D11 B12 C二、填空题(每小题4 分,共16 分)13141 a 315 2 3162 (4n1)123三、解答题(共74 分)17()AC(cos3, sin ), BC(cos ,sin3)(2 分)由 | AC | BC |,得 (cos3) 2sin 2cos2(sin3) 2即 cos=sin .(4 分)又(, 3 ),225(6 分)4()由 AC BC1,得 cos( cos3) +sin( sin 3) =1即 sin+cos = 2 .(8 分)35两边平方,得 2sin cos=(9 分).92sin 2sin 22 sin 22 sincos1tan1sincos2 sincos5(12 分)918() P(0)Cn21(3 分)Cn2,56 n 23n40, 解得 n= 1(舍去)或 n=4.即袋中有4 个黑球 .(5 分)()可能的取值为0, 1, 2, 3, 4.(6 分) P(0)1 ,6P(1)C41C311C92,3P(2)C32C41C2111C92,36P(3)C31C211C92,6P(4)C221,(8 分)C9236 的概率分布列为01234P1111116336636( 10 分)E011 12113141 14 .(12 分)6336636919() PD=CD=1 , PC=2PD2+CD 2=PC2,即 PDCD.(3 分)又 PD平面 ABCD.(6 分)()如图,连结 AC 交 BD 于 O,则 AC BD.PD平面 ABCD ,PDAC.AC 平面 PBD.(8 分)过 O 点作 OE PB 于 E,连结 AE ,则 AE PB,故 AEO 为二面角A PB D 的平面角.(10 分)由 Rt OEB Rt PDB ,得OE=PD OB6.PB6tanAEO=AO3, 即 AEO=60 °(22 分)OE20() f (x)x 24ax3a2(1 分)令 f( x)0, 得 f (x) 的单调递增区间为(a,3a)令 f( x)0, 得 f (x) 的单调递减区间为(, a)和( 3a, +)(4 分)当 x=a 时, f (x) 极小值 =3a3b;4当 x= 3a 时, f ( x) 极小值 =b.(6 分)()由 | f( x) | a,得 a x2+4ax 3a2 a.( 7 分) 0<a<1, a+1> 2a.f( )243 2a1,a2上是减函数 .(9 分)xxaxa在 f ( x) max f (a1)2a 1. f ( x) min f (a 2) 4a 4.于是,对任意 x a1, a2 ,不等式恒成立,等价于a4a4,解得 4a1.a2a1.5又 0 a 1, 4a 1.521()依题意,设双曲线方程为x2 y21(b 0).b2双曲线的两条渐近线为bxy =0又圆 A 的方程为 x 2( y1) 21 .2 12 , 得 b=1.b 212故所求双曲线方程为 x 2y 21.( 6 分)()显然, l 与 x 轴不垂直,设l :y=kx +1.ykx1, 得(21)222 0由kxkxx2y 21显然, k 210,设 B(x1,y1)、 C(x2,y2)( x1<0,x 2<0 )则4k 28(k 21)0,x1 x22k得2.k 210, 1 kx1 x220.21k( 12 分)( 2 分)(8 分)(9 分)又由 ABBC, 得x22 x1.(10 分)3x12k,23k1 解得 k522.2x1k 21故 l : y3 x1,即3x5y5 =0522()由线在点Pn 的切线与直线 AA n 平行, 2xnan21 ,即xnan1.an12由 xn 1tf ( xn1) 1,得 xn 11 t( xn 1) 2 log t ( xn11)12 log t(xn1),即 log t ( xn11)12log t ( xn1)1. log t(xn1)1 是首项为 log t 2+1为首项,公比为2 的等比数列 .()由()得log t (xn1)1=( log t 2+1 )· 2n-1, xn11 ( 2t )2 n 1t2 (2t ) 2 n 1从而 an=2x n 1=1+t由 D n+1D n,得 an+1 <a n ,即( 2t) 2n<( 2t) 2 n 1. 0<2t<1,即 0<t< 1 .121 8( 1) 2n()当 t时, an1 .42 Snn 8 1(1 ) 2( 1 )4( 1 )2 n 1 2222不难证明:当n 3 时, 2n-1 n+1;当 n4 时, 2n-1>n+1.当 n 3 时, Snn 8 1( 1) 2( 1 ) 4 n13n7;2222当 n 4 时, Snn 8 1( 1 ) 2(1 ) 4( 1 )5(1 ) 6(1 ) n 1 ( 1) n 2222222n7n7.2综上所述,对任意的 nN *, 都有 Snn7.( 12 分)( 1 分)( 2 分)(4 分)( 6 分)( 8 分)( 9 分)( 10 分)( 11 分)( 12 分)( 13 分)( 14 分)
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