新编高中数学 第1章 4数学归纳法课时作业 北师大版选修22

新编数学北师大版精品资料【成才之路】高中数学 第1章 4数学归纳法课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1用数学归纳法证明等式123(n3)(nN)时，验证n1时，左边应取的项是()A1B12C123 D1234答案D2如果1×2×32×3×43×4×5n(n1)·(n2)n(n1)(na)(nb)对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于()Aa1，b3 Ba1，b1Ca1，b2 Da2，b3答案D解析当n1时，上式可化为abab11；当n2时，上式可化为ab2(ab)16.由可得ab5，ab6，验证可知只有选项D适合3(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3答案A解析因为从nk到nk1的过渡，增加了(k3)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k3)3展开，证明余下的项9k227k27能被9整除4某个命题与正整数n有关，若nk(kN*)时该命题成立，那么可推知nk1时该命题也成立，现已知当n5时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立答案C解析若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若nk(kN*)时该命题成立，那么可推得nk1时该命题也成立，可推得若nk1时命题不成立可推得nk(kN*)时命题不成立，所以答案为C5(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则归纳猜测a7b7()A26 B27C28 D29答案D解析观察发现，134,347,4711,71118,111829，a7b729.二、填空题6(2014·吉林长春一模，13)用数学归纳法证明等式123(2n1)(n1)(2n1)时，当n1时左边表达式是_；从kk1需增添的项是_答案123；4k5(或(2k2)(2k3)解析因为用数学归纳法证明等式123(2n1)(n1)(2n1)时，当n1时，2n13，所以左边表达式是123；从kk1需增添的项的是4k5或(2k2)(2k3)7使|n25n5|1不成立的最小的正整数是_答案5解析从n1,2,3,4,5，取值逐个验证即可8凸k边形有f(k)条对角线，则凸k1边形的对角线条数f(k1)f(k)_.答案k1解析设原凸k边形的顶点为A1，A2，Ak，增加一个顶点Ak1，增加Ak1与A2、A3，Ak1共k2条再加上A1与Ak的一条连线共k1条三、解答题9数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解析(1)当n1时，a1S12a1，a11；当n2时，a1a2S22×2a2，a2；当n3时，a1a2a3S32×3a3，a3.由此猜想an(nN*)(2)证明：当n1时，a11结论成立，假设nk(k1，且kN*)时结论成立，即ak，当nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12akak1，当nk1时结论成立，于是对于一切的自然数nN*，an成立10求证：>(n2，nN)证明(1)当n2时，左边>，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN)时不等式成立，即>，则当nk1时，>>.所以当nk1时不等式也成立由(1)(2)可知原不等式对一切n(n2，nN)都成立.一、选择题1(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1aa2an1(nN*，a1)，在验证n1时，左边所得的项为()A1 B1aa2C1a D1aa2a3答案B解析因为当n1时，an1a2，所以此时式子左边1aa2.故应选B.2(2014·衡水一模，6)利用数学归纳法证明不等式1<f(n)(n2，nN)的过程，由nk到nk1时，左边增加了()A1项 Bk项C2k1项 D2k项答案D解析1(1)，共增加了2k项3设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4成立，则f(1)1成立C若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立答案D解析对于A，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f(1)1成立，则f(10)100不一定成立；对于B，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f(2)4成立，则f(1)1成立，不能得出：若f(2)4成立，则f(1)1成立；对于C，当k1或2时，不一定有f(k)k2成立；对于D，因为f(4)2516，所以对于任意的k4，均有f(k)k2成立故选D.4(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n·1·3(2n1)(nN*)时，从“nk到nk1”左边需增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C D答案B解析nk时，等式为(k1)(k2)(kk)2k·1·3··(2k1)，nk1时，等式左边为(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(2k)·(2k1)·(2k2)，右边为2k1·1·3··(2k1)(2k1)左边需增乘2(2k1)，故选B.二、填空题5设f(n)1(nN)，那么f(n1)f(n)_.答案解析f(n1)1，f(n1)f(n).6若不等式对nN*都成立，则正整数m的最大值为_答案11解析设f(n)，f(n1)f(n)()f(n)f(n)，f(n1)f(n)f(1)，m11.三、解答题7用数学归纳法证明：1.证明当n1时，左边1右边，当n1时，等式成立假设nk时等式成立，即1.则当nk1时，左边1()()()右边nk1时等式成立由知等式对任意nN都成立点评在利用归纳假设论证nk1等式成立时，注意分析nk与nk1的两个等式的差别nk1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变到.因此在证明中，右式中的应与合并，才能得到所证式因此，在论证之前，把nk1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的8已知函数f(x)(x0)设数列an满足a11，an1f(an)，数列bn满足bn|an|，用数学归纳法证明：bn.证明当x0时，f(x)1>1.因为a11，所以an1(nN)下面用数学归纳法证明不等式bn.(1)当n1时，b11，不等式成立(2)假设当nk(k1)时，不等式成立即bk，那么bk1|ak1|bk.所以，当nk1时，不等式也成立根据(1)和(2)，可知不等式对任意nN都成立