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课程论文首页院、系（部）数学系专业数学与应用数学班级051学号姓名课程教师论文题目数域上的一元多形式环中的带余除法及其应用成绩评语 签字： 年 月 日复核人意见 签字： 年 月 日数域上的一元多项式环中的带余除法及其应用中文摘要：本文先介绍了数域上的一元多项式环的中的带余除法的定理、证明以及它的两种计算格式，并重点介绍带余除法的重要表现形式辗转相除法，然后通过例子来说明带余除法在数学解题中的广泛应用。关键词：带余除法 多项式 辗转相除法 引言：一、带余除法的定理及其证明（见文1）定理：设，则存在唯一的，使其中或。我们称和分别为用去除所得的商和余式。证明 ： 存在性 设如果，则取即可。下面假定。对的次数做数学归纳法：如果=0或，则令即满足要求。设，命题正确，则当时，有（这里），令若，则取。否则，因，按归纳假设，存在，使得这里或。现令则显然有唯一性 设也满足命题要求，那么比较两边的次数，即可知二、带余除法的计算格式（见文2）用多项式除多项式所得的商和余式可以通过如下两种格式进行1） 普通除法或长除法 2）竖式除法 或 正文带余除法在解题中的应用一、有关两个多项式除法与整除关系问题例1、用除，求商与余式 解：所以 （见文3）例2、如果,求a,b. 解：令 = =， 因为，则0即 解得二、辗转相除法是带余除法的特殊应用 （见文1）给定，做带余除法：不难得。现在做辗转相除法如下：因，故必有而，即，于是=（使为首一多项式）。这就把求出来了1、辗转相除法计算两个多项式的最大公因式及它们与最大公因式的组合关系例3、已知，求与的最大公因式解：因为所以 例4、：，解：因为 所以 再由 解得 于是 2、求两个多项式的公共根 定理：先用辗转相除法计算两个多项式的最大公因式，在求其公因式的根例5、求下列多项式的公共根，解：由辗转相除法，可求得所以它们的公共根为33、解有关多项式的重根，重因式问题定理：用辗转相除法求得与的最大公因式，观察最大公因式，即可得出答案例6、判断多项式有无重因式3解： 用辗转相除法求得： 所以由的三重因式三、求函数值f(a) 定理：用带带余除法求得，为常数，则f(a)= . 若，则例7、若，求解：用带余除法 所以=327例8、已知是方程的一个根，解此方程。解：由于实系数方程的复根市成对出现，是方程的根，从而也是他的一个根，故多项式可被整除，用去除得商，它的根为，故原方程的四个根为四、解有关有理数域上的因式分解及有理根 设是一个整系数多形式，而是它的一个有理根，其中互素，则必有。特别地，如果的首项系数，则的有理根都是整数根，而且是的因子。例9、求多项式的有理根解：由于是首项系数为1的整系数多项式，如果有有理根，必为整数根，且为常数项-14的因数为： 由带余除法可得：所以在有理数域上只有2是它的根。例10：多项式在有理数域上是否可约？ 解：常数项1的因式为： 由带余除法可得： 所以其在有理数域上不可约五、带余除法在矩阵多项式中的应用。1、关于矩阵多形式可逆的判定。在关于矩阵多项式可逆判别中，这里提出了用多项式的带余除法来解决：“已知，证明可逆且求其逆”这一类问题得方法. 定理：用除，若，其中是次数低于的一个非零多项式，则用除，如此下去，求出与的最大公因式；若，则有多项式使，由于，从而有，故可逆，且例11、设n阶矩阵A满足，证明：可逆，并求其逆。 证明：设则由带余除法： 得： 由定义，可逆且 例12、设，已知，证明可逆且求的逆。 证明：由带余除法有： （1） (2) 由（1）式，代入（2）式，整理得： 又， 可逆，且2、有关矩阵最小多项式的问题。 （见文3）例13、设是方阵A的最小多项式。若是A的零化多项式（即），则整除 证：用去除，可设 其中，以A代上式，得 于是，即整除例14、设是对角块矩阵，是子方阵，证明A的最小多项式等于这些的最小多项式的最小公倍式。证：令，显然 从例13知反过来，因 即对每个，再从例13知，从而，这就表明参考文献:1.王萼芳 石生明.高等代数M.北京市：高等教育出版社，2003.7：8-9，13-152.徐仲 陆全 张凯院 吕全义 陈芳 袁志杰.高等代数导教导学导考M.西安:西北工业大学出版社,2004.3:3-82，3.刘丁西.高等代数习题精解M.合肥:中国科技技术大学出版社,2004.9:7-24，
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