高中数学北师大版选修22教案：第2章 知能提升：变化率与导数

2019年北师大版精品数学资料变化率与导数知能提升导数是微积分的核心概念之一，学好导数必须正确理解变化率、导数的概念以及其几何意义，下面通过例题来对变化率与导数的知识进行归纳梳理，望能对同学有所启迪。1变化率问题例1 求在到之间的平均变化率（）。分析：本题的自变量在分母中出现，因此题目中给出了“”的条件，在一些特殊的情况下，如果题干中未给出这一条件，就需要进行分类讨论。本题只需直接套用公式就可以了。解析：当自变量从变到时，函数的平均变化率。评注：本题运算量相对较大，可对分子运用平方差公式。2瞬时速度问题例2 已知一物体的运动方程为，求此物体在和时的瞬时速度。分析：要求瞬时速度就是求，本题是分段函数，求解时要根据的取值选取函数的解析式。解析：当时，当时的瞬时速度为6。当时，当时的瞬时速度为6。评注：在某时刻的速度即瞬时速度，应区别于平均速度。3切线问题例3 已知直线，求曲线上和已知直线垂直的切线方程。分析：利用斜率之间的关系求解。解析：所求切线与直线垂直，切线的斜率为。又，即切点为。故所求切线方程为，即。评注：充分利用垂直的条件和导数的几何意义是解决该类问题的关键。4倾斜角问题例4 已知曲线上的一点，则过点的切线的倾斜角为（ ）2 4 6分析：先求出切线的斜率，再确定倾斜角的大小。解析：， ，。点处切线的斜率等于1，故切线的倾斜角为。答案应选评注：若存在，则其为切线的斜率，切线自然存在，从而倾斜角可求。5面积问题例5 求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积。分析：由题意知切线与两坐标轴所围成的三角形为直角三角形，故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距。解析：，在点处的切线方程为，即。此切线与轴、轴的交点分别为，故所求三角形的面积为。评注：本题将曲线的切线与求三角形的面积联系在一起，可先作出草图，帮助解题。