高三六校高考模拟考试理科数学试题及参考答案

2013届高三六校高考模拟考试理科数学试题本试卷共21小题，满分150分。 考试用时120分钟。一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1满足的复数的共轭复数是（ ）ABC D2已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）AB CD3如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（ ）开 始i=1, S=0S=S+输出S结 束否是第4题图2013A B C D4若变量满足则的最大值是（ ）A90B80C50D405记等比数列的前项和为，若，则 （ ）A2B6C16D206 已知直线，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（ ）A12B CD7已知某四棱锥的三视图，如右图。则此四棱锥的体积为（ ）A3B4C5D68设，定义，则+2等于（ ）ABCD 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）（一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）9某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是019现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 一年级二年级三年级女生373男生37737010若则的值为 .11曲线在点（1，）处的切线方程为，则 （为常数）12已知，若是它一条对称轴，则 13如右图，等边中，则 （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）曲线（为参数）上一点到点与的距离之和为 15（几何证明选讲选做题）如右图，在中，斜边，直角边，如果以为圆心的圆与相切于，则的半径长为 三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别为且，若，求的值。17（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列；（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。DBECA18（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，BD=CD，且（1）若AE=2，求证：AC平面BDE；（2）若二面角ADEB为60求AE的长。19（本小题满分14分）数列的前n项和为，（1）设，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，求不超过的最大整数的值。20（本小题满分14分）如图所示：已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点。（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求ABM的外接圆方程；（3）设过抛物线焦点F的直线与椭圆的交点为C、D，是否存在直线使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。21（本小题满分14分）已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围；（3）设正实数满足求证： 2013届高三六校高考模拟考试理科数学参考答案一、选择题题号12345678答案DCDCDBBA1【解析】故选D2【解析】，故选C3【解析】因为分母为1，3，5，7，9，2013，所以应填入故选D4【解析】画出可行域（如图），在点取最大值答案： C5【解析】，故选D 6【解析】设、，所以、所以故选B7【解析】如图，四棱锥故选B8【解析】设终边过点的角（不妨设）则，其中是终边过的角（不妨设）当时，有+2故选A二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分每小题5分，满分30分）916，102，11，12，13，14，15，9【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为答案：10【解析】答案：11【解析】答案：12【解析】由已知得，由代入得，又，所以答案：13【解析】,答案：（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14【解析】曲线表示的椭圆标准方程为，可知点，为椭圆的焦点，故答案：15【解析】连则，在中，,答案：三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16【解析】（1），3分则的最小值是，最小正周期是；6分（2），则，7分,所以，所以，9分因为，所以由正弦定理得，10分由余弦定理得，即11分由解得：，12分17【解析】（1）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件， 4分（2）依据条件，服从超几何分布：其中，的可能值为，其分布列为：7分7分 （3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为，10分一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则，一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级。12分18【解析】（1）分别取 的中点,连接,则,且，因为，,为的中点，所以,，又因为平面平面，所以平面3分BEDCAMNP又平面,所以，5分所以，且,因此四边形为平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面.7分BEDCAMH（或者建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，计算即证）（2）解法一:过作垂直的延长线于,连接.因为,所以平面,平面则有.所以平面,平面,所以.所以为二面角的平面角，即. 10分在中，则 ,.在中，.设，则,所以，又在中,即=，解得，所以 14分解法二:由（1）知平面，,建立如图所示的空间直角坐标系.设，则,，,.DyBECAM(o)xz设平面的法向量则所以 令, 所以 ，11分又平面的法向量，所以，解得， 即14分19【解析】(1) 因为，所以 当时，则，1分 当时，2分所以，即，所以，而，4分所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以5分（2）由(1)得所以 ，7分-得：，8分.10分（3）由(1)知 11分，13分所以，故不超过的最大整数为14分 20【解析】（1）解法一（几何法）设线段AF中点为，过作垂直于x轴，垂足为,则 ， 2分又， 3分 以线段AF为直径的圆与x轴相切。4分 解法二（代数法）设,线段AF中点为，过作垂直于x轴，垂足为，则， 2分又点为线段AF的中点，3分，以线段AF为直径的圆与x轴相切。4分（2）设直线AB的方程为，由 ， 5分由， 6分，故的外接圆圆心为线段的中点。设线段AB中点为点P，易证P与抛物线的准线相切，切点为点M ，7分 8分又， 9分（3），设，10分则 ，设，则 11分将代入可得： 12分由，联立可得，13分联立可得 ，解得。 14分21【解析】（1） ， 1分由的判别式，当即时，恒成立，则在单调递增；2分当时，在恒成立，则在单调递增； 3分当时，方程的两正根为则在单调递增，单调递减，单调递增综上，当时，只有单调递增区间；当时，单调递增区间为，；单调递减区间为 5分（2）即时，恒成立当时，在单调递增，当时，满足条件 7分当时，在单调递减，则在单调递减，此时不满足条件，故实数的取值范围为 9分（3）由（2）知，在恒成立，令 ，则 ， 10分 11分又， ， 13分 14分