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第二节两直线的位置关系与距离公式A组基础题组1.已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-m,m+1),若直线ABPQ,则m的值为()A.-1B.0C.1D.22.(2017甘肃武威六中期末)设不同直线l1:2x-my-1=0,l2:(m-1)x-y+1=0,则“m=2”是“l1l2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为2,则点P的坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)4.平面直角坐标系中与直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是()A.y=2x-1B.y=-2x+1C.y=-2x+3D.y=2x-35.若函数y=ax+8与y=-12x+b的图象关于直线y=x对称,则a+b=()A.12B.-12C.2D.-26.与直线l1:3x+2y-6=0和直线l2:6x+4y-3=0等距离的直线方程是.7.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+by=0相交于一点,则b=.8.设直线l经过点A(-1,1),则当点B(2,-1)与直线l的距离最远时,直线l的方程为.9.已知点A(3,3),B(5,2)到直线l的距离相等,且直线l经过两直线l1:3x-y-1=0和l2:x+y-3=0的交点,求直线l的方程.10.已知直线l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及点P(3,4).(1)证明直线l过某定点,并求该定点的坐标;(2)当点P到直线l的距离最大时,求直线l的方程.B组提升题组11.已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为()A.2x+3y-18=0B.2x-y-2=0C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0D.2x+3y-18=0或2x-y-2=012.已知P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,则方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0表示()A.过点P且与l垂直的直线B.过点P且与l平行的直线C.不过点P且与l垂直的直线D.不过点P且与l平行的直线13.已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2之间的距离是2,则直线l1的方程为.14.以点A(4,1),B(1,5),C(-3,2),D(0,-2)为顶点的四边形ABCD的面积为.15.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.16.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a0),l2:4x-2y-1=0和l3:x+y-1=0,且两平行直线l1与l2间的距离是7510.(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:P是第一象限的点;P点到l1的距离是P点到l2的距离的12;P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是25?若能,求P点坐标;若不能,说明理由.答案全解全析A组基础题组1.CABPQ,kAB=kPQ,即0-3-4-2=m+1-1-m-(-3),解得m=1(经检验直线AB与PQ不重合).故选C.2.C当m=2时,代入两直线方程中,易知两直线平行,即充分性成立.当l1l2时,显然m0,从而有2m=m-1,解得m=2或m=-1,但当m=-1时,两直线重合,故m=2,故必要性成立,故选C.3.C设点P的坐标为(x,5-3x),则点P到直线x-y-1=0的距离d=|x-(5-3x)-1|2=|4x-6|2=2,|2x-3|=1,x=1或x=2.点P的坐标为(1,2)或(2,-1).4.D在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1),点B关于点(1,1)对称的点为N(1,-1).由两点式求出直线MN的方程为y+11+1=x-12-1,即y=2x-3.5.C直线y=ax+8关于y=x对称的直线方程为x=ay+8,所以x=ay+8与y=-12x+b为同一直线,可得a=-2,b=4.所以a+b=2.6.答案12x+8y-15=0解析直线l2:6x+4y-3=0可化为3x+2y-32=0,所以l1与l2平行,设与l1,l2等距离的直线的方程为3x+2y+c=0,则|c+6|=c+32,解得c=-154,所以所求直线的方程为12x+8y-15=0.7.答案-12解析由2x+3y+8=0,x-y-1=0解得x=-1,y=-2.将其代入x+by=0,得b=-12.8.答案3x-2y+5=0解析设点B(2,-1)到直线l的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l垂直于直线AB,kl=-1kAB=32,所以直线l的方程为y-1=32(x+1),即3x-2y+5=0.9.解析解方程组3x-y-1=0,x+y-3=0得交点坐标为(1,2).若点A,B在直线l的同侧,则lAB.kAB=3-23-5=-12,由点斜式得直线l的方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.若点A,B在直线l的异侧,则直线l经过线段AB的中点4,52,由两点式得直线l的方程为y-252-2=x-14-1,即x-6y+11=0.综上所述,直线l的方程为x+2y-5=0或x-6y+11=0.10.解析(1)直线l的方程可化为a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0,由2x+y+1=0,x+y-1=0得x=-2,y=3,所以直线l恒过定点(-2,3).(2)由(1)知直线l恒过定点(-2,3),设该点为A,当直线l垂直于直线PA时,点P到直线l的距离最大.又kPA=4-33+2=15,所以满足题意的直线l的斜率为-5.故满足题意的直线l的方程为y-3=-5(x+2),即5x+y+7=0.B组提升题组11.D由题知直线l的斜率存在,设所求直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由已知,得|-2k-2+4-3k|1+k2=|4k+2+4-3k|1+k2,所以k=2或k=-23.所以直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.12.D因为点P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,所以Ax0+By0+C0,所以方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0中的常数项C+(Ax0+By0+C)C,因此方程Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0表示不过点P且与l平行的直线,故选D.13.答案x+y+1=0或x+y-3=0解析因为l1与l2:x+y-1=0平行,所以可设l1的方程为x+y+b=0(b-1).又因为l1与l2之间的距离是2,所以|b+1|12+12=2,解得b=1或b=-3,即直线l1的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.14.答案25解析因为kAB=5-11-4=-43,kDC=2-(-2)-3-0=-43,kAD=-2-10-4=34,kBC=2-5-3-1=34,所以kAB=kDC,kAD=kBC,所以四边形ABCD为平行四边形.又kADkAB=-1,即ADAB,故四边形ABCD为矩形.故四边形ABCD的面积S=|AB|AD|=(1-4)2+(5-1)2(0-4)2+(-2-1)2=25.15.解析(1)如图,设B关于l的对称点为B,AB的延长线交l于P0,在l上另任取一点P,则|PA|-|PB|=|PA|-|PB|AC|=|P1C|+|P1A|=|P1C|+|P1A|,故P1即为所求.又AC:19x+17y-93=0,联立19x+17y-93=0,3x-y-1=0解得P1117,267.16.解析(1)l2的方程可化为2x-y-12=0,l1与l2间的距离d=a-1222+(-1)2=7510,a+125=7510,a+12=72,a0,a=3.(2)能.理由如下:假设存在满足题意的P点.设点P(x0,y0),因为P点满足条件,所以P点在与l1、l2平行的直线l:2x-y+C=0上,其中C满足|C-3|5=12C+125,则C=132或C=116,2x0-y0+132=0或2x0-y0+116=0.因为P点满足条件,所以由点到直线的距离公式得|2x0-y0+3|5=25|x0+y0-1|2,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,x0-2y0+4=0或3x0+2=0.P点在第一象限,3x0+2=0不满足题意.由2x0-y0+132=0,x0-2y0+4=0解得x0=-3,y0=12(舍去).由2x0-y0+116=0,x0-2y0+4=0解得x0=19,y0=3718,存在满足题意的P点,且P点的坐标为19,3718.
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