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专题三三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质1任意角的三角函数(1)设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan .(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2 正弦、余弦、正切的图象及性质 函数性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：xk(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称中心：(kZ)周期22单调性单调增区间2k，2k(kZ)；单调减区间2k，2k (kZ) 单调增区间2k，2k( kZ)；单调增区间(k，k)(kZ)奇偶性奇偶奇3 yAsin(x)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设Xx，X取0，2时求相应的x值、y值，再描点作图(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是，一般是从“五点法”中的第一点(，0)作为突破口(3)图象变换ysin xysin(x)yAsin(x)1 (2013江西)函数ysin 2x2sin2x的最小正周期T为_答案解析ysin 2x(1cos 2x)2sin，T.2 (2013山东)将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为()A. B. C0 D答案B解析把函数ysin(2x)沿x轴向左平移个单位后得到函数ysin 2sin为偶函数，则.3 (2013四川)函数f(x)2sin(x)(0，0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D(0,2答案A解析取，f(x)sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除B，C.取2，f(x)sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除D.5 (2011安徽)已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数f(x)对xR恒成立，且ff()，则f(x)的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案C解析由xR，有f(x)知，当x时f(x)取最值，fsin1，2k(kZ)，2k或2k(kZ)，又ff()，sin()sin(2)，sin sin ，sin 0.取2k(kZ)不妨取，则f(x)sin.令2k2x2k(kZ)，2k2x2k(kZ)，kxk(kZ)f(x)的单调递增区间为(kZ)题型一三角函数的概念问题例1如图，以Ox为始边作角与(00，0，|)在一个周期内的图象如图所示(1)求函数的解析式；(2)设0x，且方程f(x)m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和审题破题(1)先由函数图象确定A，再代入点求；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解解(1)由图象知：A2，T，则T，所以2.又图象过点，所以2，即.所以所求的函数的解析式为f(x)2sin.(2)在同一坐标系中画出y2sin和ym(mR)的图象，如图所示，由图可知，2m1或1m2时，直线ym与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m的取值范围为2m1或1m2.当2m1时，两根之和为；当1m0，0)的解析式时，常用的方法是待定系数法由图中的最大、最小值求出A，由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当2m1或1m0，0，)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Af(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sin答案B解析由图象可知A2，2，即T4.又T4，所以，所以函数f(x)2sin.又f2sin2，即sin1，即2k，kZ，即2k，kZ，因为0)的最小正周期为.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值审题破题利用和差公式、倍角公式将f(x)化为Asin(x)的形式，然后求三角函数的最值解(1)f(x)4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2xcos 2x2sin.T，1.f(x)2sin.(2)x，2x，sin1，即1f(x)2，当2x，即x时，f(x)min1，当2x，即x时，f(x)max2.反思归纳(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为yAsin(x)B的形式，然后再求解(2)对于yasin xbcos x型的三角函数，要通过引入辅助角化为ysin(x)(cos ，sin )的形式来求(3)讨论yAsin(x)B，可以利用换元思想设tx，转化成函数yAsin tB结合函数的图象解决变式训练3(1)函数y2sin(x0，)为增函数的区间是()A. B.C. D.答案C解析因为y2sin2sin，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，即函数的增区间为(kZ)，所以当k0时，增区间为，选C.(2)设函数f(x)cos(2x)sin(2x)，且其图象关于直线x0对称，则()Ayf(x)的最小正周期为，且在上为增函数Byf(x)的最小正周期为，且在上为减函数Cyf(x)的最小正周期为，且在上为增函数Dyf(x)的最小正周期为，且在上为减函数答案B解析f(x)2sin，其图象关于直线x0对称，f(0)2，k，kZ.k，又|0)，直线xx1，xx2是yf(x)图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，若关于x的方程g(x)k0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围审题破题(1)首先化简f(x)再根据题意求出最小正周期，然后可求，即可得f(x)的表达式；(2)根据图象平移求出g(x)，然后利用换元法并结合图形求解解(1)f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin，由题意知，最小正周期T2，T，所以2，所以f(x)sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到ysin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到ysin的图象所以g(x)sin.令2xt，0x，t.g(x)k0在区间上有且只有一个实数解，即函数g(x)sin t与yk在区间上有且只有一个交点如图，由正弦函数的图象可知k或k1.所以k或k1.反思归纳确定函数yg(x)的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t2x，将2x视为一个整体)数形结合思想，将问题转化为g(x)sin t与yk在上只有一个交点的实数k的取值范围互动探究在例4(2)中条件不变的情况下，求函数yg(x)在上的单调区间解g(x)sin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.又0x，函数yg(x)的单调递增区间是.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.又0x，函数g(x)的单调递减区间是.变式训练4(2013天津一中高三月考)函数f(x)sin(xR)的图象为C，以下结论正确的是_(写出所有正确结论的编号)图象C关于直线x对称；图象C关于点对称；函数f(x)在区间内是增函数；由ysin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.答案解析当x时，fsinsinsin 1，为最小值，所以图象C关于直线x对称，所以正确；当x时，fsinsin 0，图象C关于点对称，所以正确；当x时，2x，此时函数单调递增，所以正确；ysin 2x的图象向右平移个单位长度，得到ysin 2sin，所以错误，所以正确的是.典例(12分)已知函数f(x)sin 2xsin cos2xcos sin(0)，其图象过点.(1)求的值；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值规范解答解(1)f(x)sin 2xsin cos cos (sin 2xsin cos 2xcos )cos(2x)3分又f(x)过点，cos，cos()1.由0知.5分(2)由(1)知f(x)cos.7分将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到g(x)cos(4x)9分0x，4x.当4x0，即x时，g(x)有最大值；当4x，即x时，g(x)有最小值.12分评分细则(1)将点代入解析式给1分；从cos1，由00，m的最小值为.3 若点P(3，y)是角终边上的一点，且满足y0，cos ，则tan 等于()A B. C. D答案D解析cos ，y216.y0,0，直线x和x是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴，则等于()A. B. C. D.答案A解析由题意得周期T22，2，即1，f(x)sin(x)，fsin1，0，0，|)的图象如图所示，为了得到g(x)sin 3x的图象，则只要将f(x)的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度答案B解析由题意，得函数f(x)的周期T4，3，所以sin1，又| Bk1Ck Dk1答案C解析根据已知(k1)2(43k)21，即5k213k80，解得k1或k，由于sin 0，cos ，可得k.2 设tan ，则sin cos 的值为()A BC. D.答案A解析由tan ，不妨在角的终边上取点P(3，)，则|OP|2，于是由定义可得sin ，cos ，所以sin cos ，故选A.3 函数ylog2sin x在x时的值域为()A1,0 B.C0,1) D0,1答案B解析由x，得sin x，1log2sin x.4 设函数y3sin(2x) (0，xR)的图象关于直线x对称，则等于()A. B. C. D.答案D解析由题意知，2k (kZ)，所以k (kZ)，又00，|0)，将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于()A. B3 C6 D9答案C解析由题意可知，nT (nN*)，n (nN*)，6n (nN*)，当n1时，取得最小值6.8 已知函数f(x)sin xcos x(0)，yf(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，则f(x)的单调递增区间是()Ak，k，kZ Bk，k，kZCk，k，kZ Dk，k，kZ答案C解析f(x)sin xcos x2sin (x)(0)f(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，恰好是f(x)的一个周期，2.f(x)2sin (2x)故其单调增区间应满足2k2x2k(kZ)解得kxk(kZ)二、填空题9 函数f(x)cosxsinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是_答案解析f(x)cosxsinx2sin(x)，周期为T5，则相邻的对称轴间的距离为.10将函数ysin(x)(0，|)的图象向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，则、的值分别为_答案2、解析由图可知，T，2.把(，1)代入ysin (2(x)得sin ()1，2k(kZ)，2k(kZ)，|，.11已知函数f(x)3sin (0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同若x，则f(x)的取值范围是_答案解析f(x)和g(x)的对称轴完全相同，二者的周期相同，即2，f(x)3sin.x，2x，sin，f(x).12关于函数f(x)sin 2xcos 2x有下列命题：yf(x)的周期为；x是yf(x)的一条对称轴；是yf(x)的一个对称中心；将yf(x)的图象向左平移个单位，可得到ysin 2x的图象，其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都写上)答案解析由f(x)sin 2xcos 2xsin，得T，故对；fsin ，故错；fsin 00，故对；yf(x)的图象向左平移个单位，得ysinsin，故错故填.三、解答题13(2013湖南)已知函数f(x)sincos，g(x)2sin2.(1)若是第一象限角，且f()，求g()的值；(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合解f(x)sincossin xcos xcos xsin xsin x，g(x)2sin21cos x.(1)由f()，得sin ，又是第一象限角，所以cos 0.从而g()1cos 11.(2)f(x)g(x)等价于sin x1cos x，即sin xcos x1，于是sin.从而2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为x|2kx2k，kZ14已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)，其最小正周期为.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数yg(x)的图象，若关于x的方程g(x)k0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围解(1)f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin.由题意知f(x)的最小正周期T，T，所以2，所以f(x)sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到ysin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到ysin的图象所以g(x)sin.因为0x，所以2x.g(x)k0在区间上有且只有一个实数解，即函数yg(x)与yk在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知k或k1.所以k或k1.
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