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课时作业(五十三)直线与圆锥曲线的位置关系1已知中心在坐标原点的椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y24x的焦点，且椭圆E的离心率是。(1)求椭圆E的方程；(2)过点C(1,0)的动直线与椭圆E相交于A，B两点。若线段AB的中点的横坐标是，求直线AB的方程。解析：(1)由题知椭圆E的焦点在x轴上，且a，又cea×，故b，故椭圆E的方程为1，即x23y25。(2)依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，将其代入x23y25，消去y，整理得(3k21)x26k2x3k250。设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)。则由线段AB中点的横坐标是，得，解得k±，符合(*)式。所以直线AB的方程为xy10或xy10。2已知圆C：(x)2y216，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E。(1)求轨迹E的方程；(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，AOB(O是坐标原点)的面积S，求直线AB的方程。解析：(1)由题意|MC|MA|MC|MQ|CQ|4>2，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E的方程为y21。(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线AB的斜率不可能为0，而直线x1也不满足条件，故可设AB的方程为xmy1。由消去x得(4m2)y22my30，所以则S|OP|y1y2|。由S，解得m21，即m±1。故直线AB的方程为x±y1，即xy10或xy10为所求。3已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x24y有一个相同的焦点F1，直线l：y2xm与抛物线C2只有一个公共点。(1)求直线l的方程；(2)若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标。解析：(1)由消去y，得x28x4m0，直线l与抛物线C2只有一个公共点，824×4m0，解得m4。直线l的方程为y2x4。(2)抛物线C2的焦点为F1(0,1)，依题意知椭圆C1的两个焦点的坐标为F1(0,1)，F2(0，1)设椭圆C1的方程为1(a>1)，由消去y，得(5a24)x216(a21)x(a21)(16a2)0。(*)由162(a21)24(5a24)(a21)(16a2)0，得a44a20(a2>0且a21>0)，解得a24。a>1，a2，e，当a2时，emax，此时椭圆C1的方程为1。把a2代入方程(*)，解得x。又y2x4，y1，点P的坐标为。4如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形。(1)求该椭圆的离心率和标准方程。(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2QB2，求直线l的方程。解析：(1)设所求椭圆的标准方程为1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)。因为AB1B2是直角三角形，又|AB1|AB2|，所以B1AB2为直角，因此|OA|OB2|，则b，又c2a2b2，所以4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以离心率e。在RtAB1B2中，OAB1B2。故S·|B1B2|·|OA|OB2|·|OA|·bb2。由题设条件S4得b24，从而a25b220。因此所求椭圆的标准方程为1。(2)由(1)知B1(2,0)，B2(2,0)。由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为xmy2。代入椭圆方程得(m25)y24my160。设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此y1y2，y1·y2。又(x12，y1)，(x22，y2)，所以·(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616，由PB2QB2，得·0，即16m2640，解得m±2。所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y20和x2y20。
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