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新教材适用高中必修数学12.1&1.2.2中心投影与平行投影空间几何体的三视图预习课本P1114，思考并完成以下问题1平行投影、正投影的定义是什么？ 2正视图、侧视图、俯视图的定义分别是什么？ 3怎样画空间几何体的三视图？ 4如何识别三视图所表示的立体模型？ 1投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面2中心投影与平行投影投影定义特征分类中心投影光由一点向外散射形成的投影投影线交于一点平行投影在一束平行光线照射下形成的投影投影线互相平行正投影和斜投影点睛平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同3三视图三视图概念规律正视图光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样侧视图光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图点睛三视图中的每种视图都是正投影1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的平行投影是直线()(2)圆柱的正视图与侧视图一定相同()(3)球的正视图、侧视图、俯视图都相同()答案：(1)(2)(3)2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A棱柱B棱台C圆柱 D圆台解析：选D先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体由俯视图是圆环可排除A、B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.3沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，它的俯视图是()解析：选D从上面看依然可得到两个半圆的组合图形，注意看得到的棱画实线中心投影与平行投影典例下列命题中正确的是()A矩形的平行投影一定是矩形B平行投影与中心投影的投影线均互相平行C两条相交直线的投影可能平行D如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点解析平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A不正确平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B不正确无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C不正确两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确答案D画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影活学活用如图所示，点O为正方体ABCDABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的面上的正投影可能是_(填出所有可能的序号)解析：在下底面ABCD上的投影为，在右侧面BBCC上的投影为，在后侧面DDCC上的投影为.答案：由几何体画三视图典例画出如图所示的正四棱锥的三视图解正四棱锥的三视图如图所示三视图的画法规则(1)排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边(2)画法规则：正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”(3)线条的规则：能看见的轮廓线用实线表示；不能看见的轮廓线用虚线表示活学活用1已知三棱柱ABCA1B1C1，如图所示，则其三视图为()解析：选A其正视图为矩形，侧视图为三角形，俯视图中棱CC1可见，为实线，只有A符合2画出如图所示的物体的三视图解：三视图如图所示由三视图还原几何体典例根据如图所示的三视图，画出几何体解由正视图、侧视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台如图所示由三视图还原几何体，要遵循以下三步：(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体只要熟悉简单几何体的三视图的形状，由简单几何体的三视图还原几何体并不困难对于组合体，需要依据三视图将它分几部分考虑，确定它是由哪些简单几何体组成的，然后利用上面的步骤，分开还原，再合并即可注意依据三视图中虚线、实线确定轮廓线活学活用若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：选B由题意知，A和C中所给几何体的正视图、俯视图不符合要求；D中所给几何体的侧视图不符合要求；由侧视图可判断该几何体的直观图是B.故选B.视图与计算典例如图1所示，将一边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥CABD，其正视图与俯视图如图2所示，则侧视图的面积为()A.B.C.D.解析由正视图可以看出，A点在面BCD上的投影为BD的中点，由俯视图可以看出C点在面ABD上的投影为BD的中点，所以其侧视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边为，于是侧视图的面积为.答案A这类问题常常是给出几何体的三视图，由三视图中的数据，还原出几何体，并得出相关的数据，再求出相关的量，如体积、面积等 活学活用已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A1B.C. D.解析：选C由正方体的俯视图是面积为1的正方形可知正方体的正视图的面积范围属于1， ，故选C.层级一学业水平达标1已知ABC，选定的投影面与ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与ABC()A全等B相似C不相似 D以上都不正确解析：选B根据中心投影的概念和性质可知，经过中心投影后所得的三角形与ABC相似2如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体的直观图是()解析：选D由三视图知D正确3一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析：选B由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形4若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体的正视图不可能是()解析：选D满足选项A的有三棱锥，满足选项B的有球，满足选项C的有正方体，故选D.5一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()解析：选A由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面正视图中，长方体上底面和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故B错；侧视图中的线应是虚线，故C错；俯视图中的线应是实线，故D错6一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三角形答案：7.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是_和_解析：正三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底面边长为4.答案：248.如图所示，在正方体ABCDABCD中，E，F分别是AA，CC的中点，则下列判断正确的是_(填序号)四边形BFDE在面ABCD内的正投影是正方形；四边形BFDE在面ADDA内的正投影是菱形；四边形BFDE在面ADDA内的正投影与在面ABBA内的投影是全等的平行四边形解析：四边形BFDE的四个顶点在面ABCD内的投影分别是点B，C，D，A，所以正投影是正方形，即正确；设正方体的棱长为2，则AE1，取DD的中点G，连接AG，则四边形BFDE在面ADDA内的正投影是四边形AGDE，由AEDG，且AEDG，知四边形AGDE是平行四边形，但AE1，DE，所以四边形AGDE不是菱形，即不正确对于，由可知两个正投影所得四边形是全等的平行四边形，从而正确答案：9画出如图所示的三棱柱的三视图解：三棱柱的三视图如图所示：10如图(1)所示是实物图，图(2)和图(3)是其正视图和俯视图，你认为正确吗？如不正确请改正解：不正确，正确的正视图和俯视图如图所示：层级二应试能力达标1以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A球的三视图总是三个全等的圆B正方体的三视图总是三个全等的正方形C正四面体的三视图都是正三角形D圆台的俯视图是一个圆解析：选A正视方向不同，正方体的三视图不一定是三个全等的正方形，B错误；C，D显然错误，故选A.2一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C由几何体的俯视图与侧视图的宽度一样，可知C不可能是该锥体的俯视图，故选C.3.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形若三棱柱的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为()A8B4C4 D2解析：选C设该三棱柱的侧棱长为a，则2a8，所以a4.该三棱柱的侧视图是一个矩形，一边长为4，另一边长等于三棱柱底面等边三角形的高，为，所以侧视图的面积为4.故选C.4.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是()A2 B2C. D2解析：选D由四面体的三视图知其直观图为如图所示的正方体中的四面体ABCD，由三视图知正方体的棱长为2.所以SABD222，SADC222，SABC222，SBCD222.所以所求的最大面积为2.故选D.5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的正视图与侧视图的面积的比值为_解析：三棱锥PABC的正视图与侧视图为等底等高的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案：16.已知一正四面体的俯视图如图所示，它是边长为2 cm的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为_cm2.解析：构造一个棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1，在此正方体中作出一个符合题意的正四面体AB1CD1，易得该正四面体的正视图是一个底边长为2 cm，高为2 cm的等腰三角形，从而可得正视图的面积为2 cm2.答案：27如图，是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，求出x，y的值解：由题意，可知解得8图为长方体木块堆成的几何体的三视图，求组成此几何体的长方体木块共有多少块？解：由正视图可知有两列，由侧视图可知有两排，再结合俯视图可得，几何体共分两层，下面一层有3块，上面一层有1块如图所示，其中小长方形中的数字表示此位置木块的块数，所以长方体木块共有2114(块)1.2.3空间几何体的直观图预习课本P1618，思考并完成以下问题1画平面图形的直观图的步骤是什么？ 2画简单几何体的直观图的步骤是什么？ 3水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？ 1用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴， 两轴相交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半2用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可(2)画z轴，z轴过点O，且与x轴的夹角为90，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示点睛(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45(或135)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45()(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变()答案：(1)(2)2如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()解析：选A由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直3.已知ABC的直观图如图所示，则原ABC的面积为_解析：由题意，易知在ABC中，ACAB，且AC6，AB3.SABC639.答案：9水平放置的平面图形的直观图典例画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系画相应的x轴和y轴，使xOy45，如图所示(2)在x轴上截取OBOB，在y轴上截取ODOD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC.连接BC，如图.(3)所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图如图.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段活学活用画一个锐角为45的平行四边形的直观图(尺寸自定)解：(1)画轴如图，建立平面直角坐标系xOy，再建立坐标系xOy，其中xOy45.(2)描点如图，在x轴上截取OAOA，OBOB，在y轴上截取ODOD，过点D作DCx轴，且DCDC.(3)连线连接BC，AD.(4)成图如图，四边形ABCD即为一个锐角为45的平行四边形ABCD的直观图空间几何体的直观图典例画出一个上、下底面边长分别为1,2，高为2的正三棱台的直观图解(1)画轴如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画下底面以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB2，在y轴上取线段OC，使OC.连接BC，CA，则ABC为正三棱台的下底面的直观图(3)画上底面在z轴上取OO，使OO2，过点O作OxOx，OyOy，建立坐标系xOy.在xOy中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图ABC.(4)连线成图连接AA，BB，CC，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABCABC即为要求画的正三棱台的直观图画空间图形的直观图的原则(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x轴与y轴，两轴交于点O，且使xOy45(或135)，它们确定的平面表示水平面，再作z轴与平面xOy垂直(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x轴的线段并且长度不变(3)平行于y轴的线段画成平行于y轴的线段，且线段长度画成原来的一半(4)平行于z轴的线段画成平行于z轴的线段并且长度不变活学活用如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图解：(1)画轴如图，画x轴、y轴、z轴，使xOy45，xOz90.(2)画底面由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO，使OO等于三视图中相应高度，过O作Ox的平行线Ox，Oy的平行线Oy，利用Ox与Oy画出上底面ABCD.(3)画正四棱锥顶点在Oz上截取点P，使PO等于三视图中相应的高度(4)成图连接PA，PB，PC，PD，AA，BB，CC，DD，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图.直观图的还原与计算典例如图是四边形ABCD的水平放置的直观图ABCD，则原四边形ABCD的面积是()A14B10C28 D14解析ADy轴，ABCD，ABCD，原图形是一个直角梯形又AD4，原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S(25)828.答案C平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直S原活学活用已知ABC是正三角形，且它的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为()A.a2 B.a2C.a2 D.a2解析：选D由于SABCa2，且，所以SABCSABCa2a2.层级一学业水平达标1根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的Ox，Oy，Oz，则xOy与xOz的度数分别为()A90，90B45，90C135，90 D45或135，90解析：选D根据斜二测画法的规则，xOy的度数应为45或135，xOz指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90.2若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在xOy平面上，则圆柱的高应画成()A平行于z轴且大小为10 cmB平行于z轴且大小为5 cmC与z轴成45且大小为10 cmD与z轴成45且大小为5 cm解析：选A平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致3利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的()解析：选C正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C项4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图，D是ABC中BC边的中点，且AD平行于y轴，那么AB，AD，AC三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中()A最长的是AB，最短的是ACB最长的是AC，最短的是ABC最长的是AB，最短的是ADD最长的是AD，最短的是AC解析：选C因为ADy轴，所以在ABC中，ADBC，又因为D是BC的中点，所以D是BC中点，所以ABACAD.5水平放置的ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形ABC，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D任意三角形解析：选C将ABC还原，由斜二测画法知，ABC为钝角三角形6.水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为_解析：由斜二测画法画出的直观图如图所示，作BEx轴于点E，在RtBEC中，BC2，BCE45，所以BEBCsin 452.答案：7.如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6，OC3，BCx轴，则原平面图形的面积为_解析：在直观图中，设BC与y轴的交点为D，则易得OD3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6636.答案：368.在直观图中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为_(填形状)，面积为_cm2.解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA2 cm，OC4 cm，所以四边形OABC的面积S248(cm2)答案：矩形89已知几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图解：(1)画轴如图，画x轴，y轴，z轴，使xOy45，xOz90.(2)画圆台的两底面利用椭圆模板，画出底面O，在z轴上截取OO，使OO等于三视图中相应的长度，过点O作Ox的平行线Ox，Oy的平行线Oy，类似底面O的作法作出上底面O.(3)画圆锥的顶点在Oz上截取OP，使OP等于三视图中OP的长度(4)成图连接PA，PB，AA，BB，整理得到三视图所表示的几何体的直观图，如图.10.如图，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OAOA1 cm；在y轴上取OB2OB2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BCBC1 cm.连接O，A，B，C各点，即得到了原图形由作法可知，OABC为平行四边形，OC3 cm，平行四边形OABC的周长为(31)28 cm，面积为S122 cm2.层级二应试能力达标1已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m如果按1500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，AB边平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形ABCD的面积为()A4 cm2B4 cm2C8 cm2 D8 cm2解析：选C依题意，可知BAD45，则原平面图形ABCD为直角梯形，上、下底边分别为BC，AD，且长度分别与BC，AD相等，高为AB，且长度为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.3一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于()A. B1C1 D2解析：选D平面图形是上底长为1，下底长为1，高为2的直角梯形计算得面积为2.4.水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知BC4，AC3，BCy轴，则ABC中AB边上的中线的长度为()A. B.C5 D.解析：选A由斜二测画法规则知ACBC，即ABC为直角三角形，其中AC3，BC8，所以AB，AB边上的中线长度为.故选A.5有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为_ cm2.解析：该矩形的面积为S5420(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为SS5(cm2)答案：56.如图所示，AOB表示水平放置的AOB的直观图，点B在x轴上，AO与x轴垂直，且AO2，则AOB的边OB上的高为_解析：设AOB的边OB上的高为h，由直观图中边OB与原图形中边OB的长度相等，及S原图2S直观图，得OBh2AOOB，则h4.故AOB的边OB上的高为4.答案：47.如图所示，ABC中，AC12 cm，边AC上的高BD12 cm，求其水平放置的直观图的面积解：法一：画x轴，y轴，两轴交于O，使xOy45，作ABC的直观图如图所示，则ACAC12 cm，BDBD6 cm，故ABC的高为BD3 cm，所以SABC12318(cm2)，即水平放置的直观图的面积为18 cm2.法二：ABC的面积为ACBD121272(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得ABC的水平放置的直观图的面积是7218(cm2)8已知某几何体的三视图如下，请画出它的直观图(单位：cm)解：画法：(1)建系：如图，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画底：在x轴上取线段OB8 cm，在y轴上取线段OA2 cm，以OB和OA为邻边作平行四边形OBBA.(3)定点：在z轴上取线段OC4 cm，过C分别作x轴，y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD4 cm，CC2 cm.以CD和CC为邻边作平行四边形CDDC.(4)成图：连接AC，BD，BD，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图)
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