高一数学人教A版必修四练习：第二章 平面向量2 阶段质量评估 含解析

（人教版）精品数学教学资料 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1下列命题中的真命题是( ) A单位向量都相等 B若 ab，则|a|b| C若|a|b|，则 ab D若|a|b|，则 ab 解析： 只有大小相等和方向相同的向量才是相等向量， 大小不相等的向量一定不是相等向量 答案： C 2设 a(1，2)，b(3，4)，c(3，2)，则(a2b)c( ) A(15，12) B0 C3 D11 解析： a2b(5，6)，(a2b)c3. 答案： C 3已知向量 m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则 ( ) A4 B3 C2 D1 解析： 因为 mn(23，3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23，3)(1，1)260，解得 3. 答案： B 4已知点 A(1，3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量为( ) A.35，45 B.45，35 C.35，45 D.45，35 解析： AB(3，4)，与其同方向的单位向量 eAB|AB|15(3，4)35，45. 答案： A 5已知 abc0，|a|2，|b|3，|c| 19，则向量 a 与 b 的夹角为( ) A30 B45 C60 D以上都不对 解析： abc0，c(ab)， c2(ab)2，即|c|2|a|2|b|22|a|b|cosa，b ， 194912cosa，b ， cosa，b12. 又0a，b180，a，b60. 答案： C 6向量BA(4，3)，向量BC(2，4)，则ABC 的形状为( ) A等腰非直角三角形 B等边三角形 C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形 解析： ACBCBA(2，1)， ACBC22(1)(4)0，ACBC. 又|AC|BC|， ABC 是直角非等腰三角形 答案： C 7 如图， M， N 分别是 AB， AC 的一个三等分点， 且MN(ACAB)成立， 则 ( ) A.12 B.13 C.23 D13 解析： 由MN13BC，且BCACAB，得 13. 答案： B 8已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影为( ) A.3 22 B.3 152 C3 22 D3 152 解析： 由已知得AB(2，1)，CD(5，5)，因此AB在CD方向上的投影为ABCD|CD|155 23 22. 答案： A 9两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们的夹角为 90时，合力的大小为 20 N，则当它们的夹角为 120时，合力的大小为( ) A40 N B10 2N C20 2 N D. 10 N 解析： 对于两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们的夹角为 90，合力的大小为 20 N 时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是 10 2 N；当它们的夹角为 120时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为 10 2 N. 答案： B 10设|AB|2，|AC|3，BAC60，CD2BC，AExAD(1x)AB，x0，1，则AE在AC上的投影的取值范围是( ) A0，1 B1，7 C7，9 D9，21 解析： 由AExAD(1x)AB，x0，1，可知 B，D，E 共线，且 E 点在线段 BD上，如图所示 因为 E 点在线段 BD 上，所以AE在AC上的投影 d 的取值范围是|AF|d|AG|.而|AF|AB|cos 602121，|CG|2|CF|2(31)4，|AG|CG|AC|437，所以 d1，7，故选 B. 答案： B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上) 11平面向量 a，b 满足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，则向量 a，b 的夹角为_ 解析： (ab)(a2b)|a|2ab2|b|21ab87， ab0， ab.故 a，b 的夹角为2. 答案： 2 12已知向量 a，b 的夹角为 120，|a|1，|b|3，则|5ab|_ 解析： |5ab| |5ab|2 （5ab）2 25a2b210ab 259101312 7. 答案： 7 13已知向量AB与AC的夹角为 120，且|AB|3，|AC|2.若APABAC，且APBC，则实数 的值为_ 解析： BCACAB，由于APBC，所以APBC0，即(ABAC)(ACAB)AB2AC2(1)ABAC94(1)32120，解得 712. 答案： 712 14如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，AB2，ADDC1，P 是线段 BC 上一动点， Q 是线段 DC 上一动点， DQDC， CP(1)CB， 则AP AQ的取值范围是_ 解析： 建立如图所示的平面直角坐标系，则 D(0，1)，C(1，1)设 Q(m，n)，由DQDC得，(m，n1)(1，0)，即 m，n1.又 B(2，0)，设 P(s，t)，由CP(1)CB得，(s1，t1)(1)(1，1)，即 s2，t，所以APAQ(2)23，0，1故APAQ0，2 答案： 0，2 三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15(本小题满分 12 分)设|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|的值 解析： 方法一 |3a2b|3， 9a212ab4b29. 又|a|b|1，ab13. |3ab|2(3ab)29a26abb2 9613112. |3ab|2 3. 方法二 设 a(x1，y1)，b(x2，y2) |a|b|1，x21y21x22y221. 3a2b(3x12x2，3y12y2)， |3a2b| （3x12x2）2（3y12y2）23， x1x2y1y213， |3ab| （3x1x2）2（3y1y2）2 916132 3. 16 (本小题满分 12 分)如右图， 在平面直角坐标系中， |OA|2|AB|2， OAB23，BC(1， 3) (1)求点 B，C 的坐标； (2)求证：四边形 OABC 为等腰梯形 解析： (1)设 B(xB， yB)， 则 xB|OA|AB| cos(OAB)52， yB|AB| sin(OAB)32， OCOBBC52，32(1， 3)32，3 32， B52，32，C32，3 32. (2)证明：连接 OC.OC32，3 32，AB12，32， OC3AB，OCAB. 又|OC|AB|，|OA|BC|2， 四边形 OABC 为等腰梯形 17(本小题满分 12 分)已知向量 a，b 不共线，ckab，dab. (1)若 cd，求 k 的值，并判断 c，d 是否同向； (2)若|a|b|，a 与 b 的夹角为 60，求当 k 为何值时，cd. 解析： (1)cd，故 cd， 即 kab(ab) 又 a，b 不共线，则k，1，解得1，k1. 即 cd， 故 c 与 d 反向 (2)cd(kab)(ab)ka2kababb2(k1)a2(1k)|a|2cos 60(k1)a21k2a2. 又 cd，故(k1)a21k2a20. 即(k1)1k20，解得 k1. 18(本小题满分 14 分)已知 a( 3，1)，b12，32，且存在实数 k 和 t，使得 xa(t23)b，ykatb，且 xy，试求kt2t的最小值 解析： a( 3，1)，b12，32， ab 3121320. |a|（ 3）2（1）22， |b| 1223221，ab0， ab. xy，a(t23)b(katb)0， 即ka2(t33t)b2(tt2k3k)ab0. kt33t4. kt2t14(t24t3)14(t2)274. 故当 t2 时，kt2t有最小值74.