小学奥数带余除法

小学奥数带余除法2.6 带余除法相关概念在整数范围内，整数若有 a÷bq r ，（即当 r=0 时，我们称 a 能被我们称 a 不能被 b 整除，q 为 a 除以 b 的商。a 除以整数 b（b0），a=bq+r ），0r b。 b 整除；当 r 0 时， r 为 a 除以 b 的余数，余数的性质被除数 =除数×商余数， 除数 =（被除数余数）÷商，商 =（被除数余数）÷除数。余数小于除数。同余定理（1）如果 a，b 除以 c 的余数相同， 就称 a、b 对于除数 c 来说是同余的，且有a 与 b 的差能被 c 整除。（a、b、c 均为正整数）例如， 17 与11 除以 3 的余数都是 2，所以 17-11 能被 3 整除。（2）a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a，b分别除以 c 的余数之和（或这个和除以 c 的余数）。例如，23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以（ 23+16）除以 5 的余数等于 3+1=4。注意：当余数之和大于除数时， 所求余数等于余数之和再除以 c 的余数。例如，23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以（ 23+19）除以 5 的余数等于（ 3+4）除以 5 的余数。（ 3）a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a，b 分别除以 c 的余数之积（或这个积除以 c 的余数）。例如，23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以（ 23×16）除以 5 的余数等于 3×1=3。注意：当余数之积大于除数时， 所求余数等于余数之积再除以 c 的余数。例如，23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以（ 23×19）除以 5 的余数等于（3×4）除以 5 的余数。性质（ 2）（3）都可以推广到多个自然数的情形。典型例题例 15122 除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。分析与解：由性质（ 2）知，除数 ×商=被除数-余数。5122-66=5056，5056 应是除数的整数倍。将5056 分解质因数，得到5056=26×79。由性质（ 1）知，除数应大于 66，再由除数是两位数，得到除数在 6799 之间，符合题意的 5056 的约数只有 79，所以这个两位数是 79。例 2 被除数、除数、商与余数之和是 2143，已知商是 33，余数是 52，求被除数和除数。解：因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52，被除数 =2143-除数 -商-余数 =2143-除数-33-52=2058-除数，所以 除数 ×33+52=2058-除数，所以 除数 = （ 2058-52） ÷34=59，被除数=2058-59=1999。例 3 甲、乙两数的和是 1088，甲数除以乙数商 11 余 32，求甲、乙两数。解：因为 甲= 乙 ×11+32，所以 甲 +乙 =乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，所以 乙 =（1088-32） ÷12=88，甲 =1088-乙=1000。例 4 有一个整数，用它去除 70，110，160得到的三个余数之和是 50。求这个数。分析与解：先由题目条件， 求出这个数的大致范围。因为 50÷3=16 2，所以三个余数中至少有一个大于 16，推知除数大于 16。由三个余数之和是 50 知，除数不应大于 70，所以除数在 1770 之间。由题意知（ 7+110+160）-50=290 应能被这个数整除。将 290分解质因数，得到 290=2×5×29， 290 在 1770 之间的约数有 29 和 58。因为 110÷58=1 5250，所以 58 不合题意。所求整数是 29。例 5 求 478×296×351 除以 17 的余数。分析与解：先求出乘积再求余数， 计算量较大。根据性质（ 5），可先分别计算出各因数除以17 的余数，再求余数之积除以17 的余数。478，296，351 除以 17 的余数分别为2，7和 11，（2×7×11）÷17=9 1。所求余数是 1。例 6 甲、乙两个代表团乘车去参观， 每辆车可乘 36 人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的 11 人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。 如果每个胶卷可拍 36 张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余 11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余 36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以 36 余 25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍 “甲数 ×乙数 ”张照片，因为每个胶卷拍 36 张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于 “甲数 × 乙数 ”除以 36 的余数。因为甲数除以 36 余 11，乙数除以 36 余 25，所以 “甲数 ×乙数 ”除以 36 的余数等于 11×25 除以36 的余数。（11×25）÷ 36=723，即最后一个胶卷拍了 23 张，还可拍36-23=13（张）。例 79437569 与 8057127 的乘积被 9除，余数是 _。讲析：一个数被 9 除的余数与这个数各位数字之和被 9 除的余数是一样的。9437569 各位数字之和除以 9 余 7；8057127各位数字之和除以 9 余 3。7×3=21，21÷9=23。所以， 9437569 与 8057127 的乘积被 9 除，余数是 3。例 8 在 1、2、3、4、 、 1993、1994 这1994 个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被 26 整除，那么这样的数最多能选出 _个。讲析：可将 1、2、3、 、 1994 这 1994 个数，分别除以 26。然后，按所得的余数分类。要使两个数的和是 26 的倍数，则必须使这两个数分别除以 26 以后，所得的余数之和等于26。但本题要求的是任意两个数的和都是 26 的倍数，故 26 的倍数符合要求。这样的数有 1994 ÷26=76（个） 余 18（个）。但被 26 除余 13 的数，每两个数的和也能被 26 整除，而余数为13 的数共有 77 个。所以，最多能选出77 个。例 9 一个整数，除 300、262、205，得到相同的余数（余数不为 0）。这个整数是 _。讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（ 300262）和（ 262205）的最大公约数。不难求出它们的最大公约数为 19，即这个整数是 19。例 10 小张在计算有余数的除法时，把被除数 113 错写成 131，结果商比原来多 3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？讲析：被除数增加了 131-113=18，余数相同，但结果的商是 3，所以，除数应该是 18÷3=6。又因为 113÷6 的余数是 5，所以该题的余数也是 5。例 11 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来， 吃掉一只桃子， 剩下的桃子正好平分五等份， 它拿走自己的一份， 然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有 _个桃子。讲析：因为第一只猴子把桃5 等分后，还余1 个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的 4 等份再分成 5 等份，且每次余 1 个桃子。于是，我们可设想，如果另加进 4 个桃子，则连续五次可以分成5 等份了。加进 4 个桃之后，这五只猴每次分桃时， 不再吃掉一个，只需 5 等份后，拿走一份。因为 4 与 5 互质，每次的 4 份能分成 5 等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成 5 等份。这样，这堆桃子就能连续五次被 5 整除了。所以，这堆桃子至少有 5×5×5×5×5-4=3121 （个）。例 12 在 1、2、3、 、 30 这 30 个自然数中，最多能取出 _个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7 的倍数。讲析：我们可将 1 到 30 这 30 个自然数分别除以 7，然后按余数分类。余数是 0：7、14、21、28余数是 1：1、8、15、22、29余数是 2：2、9、16、23、30余数是 3：3、10、17、24余数是 4：4、11、18、25余数是 5：5、12、19、26余数是 6：6、13、20、27要使两数之和不是 7 的倍数，必须使这两个数分别除以 7 所得的余数之和不等于 7。所以，可以取余数是 1、2、3 的数，不取余数是 4、 5、6 的数。而余数为 0 的数只取一个。故最多可以取 15 个数。例 13 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2。求满足条件的最小自然数。分析与解：这道例题就是孙子算经中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解答。那么，我们能不能通过先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件， 达到最终解决问题的目的呢？我们试试看。满足 “除以 3 余 2”的数，有 2，5，8，11，14，17， 在上面的数中再找满足“除以 5 余 3”的数，可以找到 8，8 是同时满足 “除以 3 余 2”、“除以 5 余 3”两个条件的数，容易知道， 8 再加上 3 与5 的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有8，23，38，53，68，在上面的数中再找满足 “除以 7 余 2”的数，可以找到 23，23 是同时满足 “除以 3 余 2”、“除以 5 余 3”、“除以 7 余 2”三个条件的数。 23 再加上或减去 3，5，7 的公倍数，仍然满足这三个条件， 3，5，7=105，因为 23 105，所以满足这三个条件的最小自然数是 23。在例 1 中，若找到的数大于 3，5，7，则应当用找到的数减去 3，5，7的倍数，使得差小于3，5，7，这个差即为所求的最小自然数。例 14 求满足除以 5 余 1，除以 7 余 3，除以 8 余 5 的最小的自然数。分析与解：与例 1 类似，先求出满足 “除以 5 余 1”的数，有 6，11，16，21，26，31，36， 在上面的数中，再找满足 “除以 7 余 3”的数，可以找到 31。同时满足 “除以 5 余 1”、“除以 7余 3”的数，彼此之间相差 5×7=35 的倍数，有 31，66，101，136，171，206，在上面的数中，再找满足 “除以 8 余 5”的数，可以找到 101。因为 101 5，7，8=280，所以所求的最小自然数是 101。在例 1、例 2 中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件， 求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部三个约束条件的数。 这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法， 叫做逐步约束法。例 15 在 10000 以内，除以 3 余 2，除以 7 余 3，除以 11 余 4 的数有几个？解：满足 “除以 3 余 2”的数有 5，8，11，14，17，20，23， 再满足 “除以 7 余 3”的数有 17，38，59，80，101， 再满足 “除以 11 余 4”的数有 59。因为阳 3，7，11=231，所以符合题意的数是以59 为首项，公差是231 的等差数列。（ 10000-59）÷231=43 8，所以在 10000 以内符合题意的数共有 44 个。例 16 求满足除以 6 余 3，除以 8 余 5，除以 9 余 6 的最小自然数。分析与解：如果给所求的自然数加 3，所得数能同时被 6，8，9 整除，所以这个自然数是6，8，9-3=72-3=69。带余除法（五年级奥数题及答案）来源： 奥数网整理文章作者：2010-08-17 10:09:26 标签： 五年级奥数答案 带余除法 69、90 和 125 被某个正整数 N 除时，余数相同，试求N 的最大值。分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15除以 2余 1，19除以 2余 1，即 15和 19被 2除余数相同（余数都是 1）。但是 19-15 能被 2 整除 .由此我们可以得到带余除法69、90 和 125 被某个正整数 N 除时，余数相同，试求 N 的最大值。分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：15除以 2余 1，19除以 2余1，即 15和 19 被 2 除余数相同（余数都是 1）。但是 19-15能被 2 整除 .由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数 a 和 b，均被自然数 m 除，余数相同，那么这两个整数之差 （大 -小）一定能被 m 整除。反之，如果两个整数之差恰被 m 整除，那么这两个整数被 m 除的余数一定相同。解答：三个整数被 N 除余数相同，N（90-69），即 N21，N（125-90），即 N35，N 是 21 和 35 的公约数。要求 N 的最大值，N 是 21 和 35 的最大公约数。21 和 35 的最大公约数是7，N 最大是 7。