分式运算的几种技巧

分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。一、整体通分法2a例1计算：-a- 1a- 1【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把(-a-1)看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.2222【解】-a-1二工-(a+1) =-(a+1)(a-1) = a -(a+1)(a-1) = , a-1a-1a-1a-1a-1a-1二、先约分后通分法2x+1x2-2x例2 计算 x2+3x+2x2- 4分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许 多。x(x-2)解：原式=(x 1)(x 2) + (x-2)(x 2) = x 2 + x 2 = x 2三、分组加减法2- -2- -L-例 3 计算 a 2 + a +1 - a T - a +2分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组 .分组的原则是使各组运算后的结果能出现 分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。1122解：原式=(a2 - a+2)+( a+1 - a1)4-412=a2 -4 + a2 -1 = (a2 -4)(a2 -1)精品资料四、分离整数法x2x3 x-5x -4例4 计算+x1x2 x-4x -3方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时,般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分;在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。解：原式=(x+i出-g+1+y1-如上x+1x+2 x- 4 x- 31111= (1+)- (1+)+(1-)- (1)x + 1 x + 2 x- 4 x- 31111=+x+1 x + 2 x- 4 x- 3o o o五、逐项通分法例5计算:11 2x 4x3a -x a x a2 x2 a4 -x4分析：若一次通分，计算量太大,注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。同类方法练习题：计算11248x -1 x 1 x2 1 x4 1x8 1六、裂项相消法1111例 6 计算： -1一 +1+1+ . +1a(a+1) (a+1)(a + 2) (a + 2)(a+3)(a+9)(a+10)分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积(若一，111a是整数)，联想到 -，这样可抵消一些项.a(a +1) a a +1如 e j ,11 、/ 11 、 / 11 、, 11 、斛：原式(- )+( -) + (-) +. + (-)a a +1 a + 1 a + 2 a + 2 a+3a+9 a +101110- - a a +10 a(a +10)七、整体代入法例7.已知- + -=5求x y2x -5xy 2y的值x 2xy y解法 1 : ,. - + -=5 x yxy制,.所以2x -5xy 2y _ yx 2xy y 12 1112()-5x y11 -2x y2 5-5 55 27解法2:由-+ - =5得,x yx y=5, x+y=5xy xy.2x -5xy 2y _ 2(x y) - 5xy _ 2 5xy -5xy _ 5xy _ 5x 2xy y (x y) 2xy 5xy 2xy 7xy 7练习：若-=5,求3x+5xy 3y的值. x yx - 3xy - y八、公式变形法 c、一，1例 8.已知 a2-5a+1=0 ,计算 a4+ a解：由已知条件可得a 0, - a+ =5a,1 ca4+ 4=(a2+a1c1 c c c c)2-2=(a+)2-22-2=(5 2-2)2-2=527练习：（1）已知 x2+3x+1=0a,1 ,求x2+二的值.x九、设中间参数法b c 例9.已知bcab c解：设 aa cba cb计算:(a b)(b c)(c a)abcb+c=ak ； a+c=bk ； a+b=ck ；把这3个等式相加得2（a+b+c尸（a+b+c）k 若 a+b+c=0 , a+b= -c,则 k= -1若a+b+c4,则k=2(a b)(b c)(c a) ak bk ck ,=k3abcabc当k=-1时，原式=-1 当k=2时，原式二83x -y练习：（1）已知头数 x、y满足x:y=1:2 ,则 =x yx y z i2x 3y 4z （2）已知=2=.则=45 63z十、先取倒数后拆项法（尤其分子单项，分母多项）2aa 一例10.已知 =7,求2一 的值a -a 1 a a 11a+ =a、a2 -a 1 1解：由条件知a刈，=，即42a a 12aa 7=a2+J2+1=（a+ 1）2-1=a 494942a a 1 15练习：已知a+ 1 =5 . a2a2a a 1特殊值法（选填题）例 11.已知 abc=1,贝UaFab a 1b十bc b 1ca c 1分析：由已知条件无法求出a、b、c的值,可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值.解：令 a=1 , b=1 , c=1,则11原式=1 + 1 += 1 + 1 + 1=1.1 111 1 111 1 111 3 3说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值,可准确、迅速地求出结果.练习：（1）已知:xyz 泡x+y+z=0, 计算z + -z +x yx（2）已知一42x -3y 4z3z十二、主元法例 12. 已知 xyz 4，且 3x 4y z=0,2x +y8z=0,求2 .22x y z 3 /士的值.xy yz 2zx解：将z看作已知数，把 3x 4y z=0与2x + y 8z=0联立,3x 4y z=0,2x + y 8z=0.解得x=3z,y=2z.所以,原式=(3z)2 (2z)2 z214z2(3z) (2z) (2 z) z 2z (3z) 14z练习：已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算：ab bc ac混合运算练习题(1)x 3yx 2y 2x -3y(2)a2 -11.(4)- a - 3 a - 3a2xy22x -ya -1x y y -x(6)1(xy x+yjxy(8)(一 a-2 a 22 x (10)一-2x 1 . “ 一(1(11)(13)xx1x 3芯x2 -12x 2x12(3) -x-1x-1一 一 一 一 一 22x 6 6-2x 9 -x3x x(9)-一x 2 x - 22xx2 -4(12) ( a2 +d +2)+ atzb! aba - bx 2 x-1(14)(x -2x x -4x 4x2 -16x2 4xx +2x_14-x（15）计算：（X 2 _ 2一）；4U,并求当x=4时原式的值.x2 -2x x2 4x 4 x【错题警示】一、错用分式的基本性质1-x-y31x +v例1 化简.3=-ly2 =-错解：原式 L分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式的基本性质.（卜力6=4 2”6y（一#+了）6 = 77正解：原式 _ 1 J二、错在颠倒运算顺序_L,（3r） 士例2 计算1（231=。-白）=1错解：原式.,分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误_ 11-a_1 - - 正解：原式 ；-.一.三、错在约分X-1例1当X为何值时，分式 /一 3+ 2有意义？错解原式 （工T）（x-2）工一 2.由工一 2H。得工*2.x-1，工工2时，分式:一 3工+ 2有意义.解析上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式 （1一1）,扩大了未知数的取值范围，而导 致错误.正解由/ - 3工+ 210得工壬1且1H 2.x-1当】且IM2,分式J-3I+2有意义.四、错在以偏概全1 二 例2 1为何值时，分式X + 1有意义？错解当i+k0,得工h-1 .当1M-1,原分式有意义.Ai-_L解析上述解法中只考虑 工+1的分母，没有注意整个分母工+1,犯了以偏概全的错误.正解1+1m0,得T,1-*0昌由 x+l ，得D.当imO且工r-1时，原分式有意义.五、错在计算去分母a2白-1例3计算 1 + 1.错解原式一 =1，- 1.解析上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母,(口-1)(高+1) J正解原式1+1 a +11.六、错在只考虑分子没有顾及分母卜卜2例4当X为何值时，分式 ?+x-6的值为零.错解由-2二 ,得工二四.当I=2或不二一2时，原分式的值为零.解析当二2时，分式的分母 /+工一6二0,分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不 能为零的条件.正解由1一2二,得工二叩.由9 +工一6工0,得了工一3且工h2.当工二一2时，原分式的值为零.七、错在“且”与“或”的用法例7 X为何值时，分式x-x-2有意义错解：要使分式有意义，X须满足/-X-2=0,即QT)(x+2)*。.由工一1h。得xhI ,或由x+2n0得1m-2.;当X M1或1M -2时原分式有意义.分析：上述解法由 (x-D(x-2)h 0 得工一1* 0 或升2*0是错误的.因为缶。与升2Ho 中的一个式子成立并不能保证 (Z”+2)m0一定成立，只有1一Ih。与t+2h0同时成立，才能保证 (xT)(x-2)w。-定成立.故本题的正确答案是 1H1且1H -2 .八、错在忽视特殊情况2洲 口=2-m例8 解关于工的方程X-1.错解：方程两边同时乘以1-1,得0-御)(x7) = 2然,即。一忧)了=3+海.3+制x - 当加m3时，3-濯,当所二3时，原方程无解.m-3的讨论,n2 =仙分析：当 二。时，原方程变为X-1取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对而忽视了二0的特殊情况的讨论.正解：方程两边同时乘以 X-1 ,得(3-掰)。-1) = 2溺，即(3-ffl)x=3+33+洒当掰工0且附m3时， 3选，当二Q或加二3时，原方程无解.Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！