二次函数的图像与性质1

第二章 二次函数二次函数的图象与性质（第 1 课时） 教学设计一、学生知识状况分析学生在前面已经学习过一次函数、 反比例函数， 经历过探索、 分析和建立两个变量之间的一次函数、 反比例函数关系的过程， 并学会了用描点法画函数图象的方法 . 在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验.二、教学任务分析教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利22x y y x 的性用描点法画函数并能根据图象认识和理解二次函数的图象，质. 为此，本节课的教学目标是：知识与技能2xy 的图象， 能根据图象认识和理解二次函数 能够利用描点法画函数12xy 的性质22xyx y 的图象的异同 的图象，能比较它与猜想并能作出 2 过程与方法2xy 的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研1经历探索二次函数究函数性质的经验22x y x y 的图象及性质，并能比由函数的图象及性质，对比地学习 2 较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维情感与态度1通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解2在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便1使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质教学重点： 22 并根据图象认识和理解二次函数作出函数的图象， x y x 的性质 .教学难点： 22 的图象及性质， 并由的图象及性质对比地学习 x y x y 能比较出它们的异同点 .三、教学过程分析(一)创设问题情境，引入新课师我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们 各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数 的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学a、b、 ca 02)(其中均为常数且.习了二次函数的一般形式为cbx ax y那么它的图象是 否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题 .(二)新课讲解2x y的图象1、作函数师一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先2xy .大家还记得画函数图象的一般步骤吗？看最简单的二次函数生记得.列表，描点，连线.2xy的图象师非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出.(1)列表：.2 -1-2 0 1 3 -3 x109414y 9y.2)在直角坐标系中描点(.)用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象(3Ox师同学们有没有什么疑惑？2生老师，为什么要用光滑的曲线来连接各点呢？在作一次函数图象时我们都 是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？师这个问题提得好.二次函数图象是到底用直线连接还是用光滑的曲线来连 接更为合理呢？不知同学们考虑这个问题没有：列表时我们取的点都是整数点， 在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量 1与2之间还有无数个小数， 假设我们把点取得更多一些我们就能看出二次函数图象的真正面貌了.不妨取20个点试试，再取50个点试试.生老师，我明白了，取的点足够多时我们就能看出其本来面貌的.2、议一议2的图象，对于二次函数x y (1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？(3)当时，随着值的增大，的值如何变化？当时呢？ 0xx 0 (4)当x取什么 值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？(5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.生(1)图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影.(2)图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标就是(0, 0).x值的增大，y轴的左侧随着的值逐渐减小；当时，(3)当图象在yx 0x 0时， 图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大.(4)观察图象可知，当x=0时，y的值最小，最小值为0.(5)观察图象是轴对称图形，它的对称轴是轴，从刚才的列表中可找到对y应点(-1,1)和(1,1); (-2, 4)和(2, 4); (-3, 9)和(3, 9).师大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下.2xy的图象的性质、32的图象是一条 xy,它的开口 师二次函数 且关于对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的 ,它是图象的.同学们在补充一下：3生(1)最低点坐标是(0, 0).(2)在对称轴的左侧,y随x的增大而减小；在对称轴的右侧,y随着x的增大 而增大.(3)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，这个交点也是 对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为(0, 0).(4)因为图象有最低点，所以函数有最小值，当 x=0时，y最小值=0.4、做一做2x y二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.PPT显示：它2的图象有什么关系？与同伴进行交流.与二次函数x y2x y的图象.师请大家按照画图的步骤作出函数 2x y的图象如右图：形状还是抛物线,只是它的开口方向向下，它生2.与轴对称的图象形状相同，方向相反，这两个图形可以看作是关于x yx2x y .师下面我们试着讨论的图象的性质 Ox.(1)抛物线的开口方向是向下生.0)它的图象有最高点，最高点坐标是(20,的增大而增大；在对称轴的左侧， 随3)它是轴对称图形，对称轴是轴.(xyy.的增大而减小在对称轴的右侧，随着 xyx轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也 是图象的最高点，坐标(4)图象与.,为(00) 0. 5)因为图象有最高点，所以函数有最大值，当时，最大值=(y0x . 师大家总结得非常棒22x y xy .函数与的图象的比较5、 22x yx y 的图象，并对图象的性质作系统的研究，现在我们观察函数与.我们再来比较一下它们的图象的异同点22x y xy .） 1（、开口方向不同，开口向上，开口向下 42图象上，在对称轴的左）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在（2x y侧,随的增大而减小； 在对称轴的右侧， 随着的增大而减小， 在对称轴xxyy2 在 . 在对称轴的右侧，随的增大而增大的左侧，随的增大而增大； x y xxyy 的图象上正好相反 .22中，有0；在中有最小值，即时，y最小值=（3）、在x y x yyy0 x最大值.即 当时，最大值=0.y0x 22x y 有最高点有最低点，（ 4） 、 . xy 相同点：（ 1） 、图象都是抛物线 .（ 2） 、图象都与轴交于点（ 0， 0） . x （ 3） 、图象都关于轴对称. y 联系：它们的图象关于轴对称.x6、思考拓展.师从上面的比较中，还有没有什么问题要提出来？22x y xy 两个二次函数的解析式来比较， 只是相差一个符号， 生 从和而图象的张口方向却正好相反. 那么二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？22x x3yy 2（ 二很善于思考. 我们现在来看这几个二次函数的图象、 师22x32x yy（二次项次项系数均为正值） ， 再来看另几个二次函数图象、 系数均为负值） ， 你们发现了什么规律？生 1原来二次项系数为正时，抛物线开口朝上，二次项系数为负时，抛物线开口朝下 .生 2 老师，我还发现从二次项系数的绝对值来看，绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大.2axy a 与其张口大小、张口师说得非常好，对于这类二次函数来说，方向都有关系 . （并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间 . ）5（三）布置作业 设计思路：2 的图象，先通过列表描点连线初步得到进而通过增加满足函数的点数xy 2 函数图象的性质特征. 利感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解x y2 图象的性质， 并对两函数进行对比， 体会造成图象用相同办法同时研究x y 不同的原因，并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数为正开口向上、 a 二次项系数为负开口向下的疑问并画图验证， 而由此又生发出的绝对值对其张a 口大小的思考，教师通过课件解惑并归纳 .