分数阶PID控制器参数的自适应设计

Vol. 35 No. 5May 2013第35卷第5期2013年5月系统工程与电子技术Systems Engineering and Electronics网址：www. sys-elc. com文章鋼号:1001-506X(2013)05-1064-06分数阶PID控制器参数的自适应设计黄丽莲，周晓亮，项建弘(哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，黑龙江哈尔滨150001)播 要：分數阶比例-积分-弦分(proportional-integral-derivative,PID)控制器是整数阶PID控制器在复数城 的拾广通过引入两个可调参飲入和产使得检制器歩敛整定范国变大但使得歩數设计交得更加复杂。针对分数 阶P1D控制E的特点，提出了一种多數自适用的改进型差分进化算法整定方法，在目标函数的选取上针对传统 时间与绝对课差来积准则对起调童控制不足引入误差与控制信号加权分别对处数阶和分数阶被控模型进行理 论分析和數值仿真仿真结果证明了该控制器多数设计方法的有效性和淮瑙性。关徴词：分数阶比例积分-微分控制器)差分进化$參数挞定；自适应中圈分类号：TP 273文献标志码：ADOl：10.396S 力 issn. 1OO15O6X 2013. 05. 28Self-adjusting design on parameters of the fractionalorder PID controllerHUANG Li-lian* ZHOU Xiao-liang, XIANG Jian-hong(.College of In formation and Communication Engineering , Harbin EngineeringUniversity« Harbin 150001 « China)Abstract: The fractional order proportional-integral-derivative(PID) controller is the expansion of the classical integral order PID controller in complex domain Two variable parameters A and 卩 are brought to expand the tuning range* but the controller is made more complicated For the characteristics of the fractional order PID, a modified differential evolution alRorithm with parameter self-adjusting is presented to tune the control ler. To choose the objective function, the weighted addition of error and control signal as the disadvantage of overshoot control with integrated time and absolute error criterion are introduced Theoretical analysis and simulation are carried on with integer order plant and fractional order plant separately The simulation results i卜 lustrate the effectiveness and accuracy of the proposed methodKeywords: fractional order proportional-integral-derivative (PID) controller； differential evolution； para- meter tuning； self-adjustingVol. 35 No. 5May 2013Vol. 35 No. 5May 2013收積日期：2012-05-04；修回日期：201210-25.墓金项目：国家自熬科学号金(61203004)；中央髙校基本科研业务费专项资金(HEUCFT1203卄黒龙江省自於科学基金(F2O122O)资助课題0引言近年来，随着科技的进步，计算机技术的飞速发展，以 及实际控制系统对精度的耍求越来越岛，分数阶系统在控 制领域被高度审现在控制器设计方面取得了较大进展. 文献叮提岀了一类PFO控制器，并验证了该类控制器对 于分数阶被控对象有效，文献_2提出了荃于预期交叉频率 和相位裕度的频域分析方法。文献3提出了一种基于复 平面上极点分布俏况的设计方法；文献4-6在PFI的 数字实现方面均取得了很大的成就。在实际工程中，分数 阶控制糸统已应用在超前校正潇和冊后补偿器具有时 延和丢包特性的网络控制系统，高超速E行器抗扰姿态 控制器等。在PF"控制器中，微分和积分的阶次通常 不是整数，比传统的比例-积分微分(proportionai-intrgral- derivative, PID)控制器多了两个可变参数在提高参数精 确性的同时，乜使得结构变得更加复杂因此，针对分数阶 控制系统的参数整定方法已成为当前研究的热点。差分进化算法(differential evolution, DE)斥一种基于 生物遗传进化规律的连续空间内全局优化策略与卉 通的遗传算法(genetic algorithms, GA)相比其有明显的优 势采用浮点矢世编码方式和算术运算降低了运算过程的 复杂度并提高了可靠性。DE经过不到20年的发展及改 进，已广泛应用在实际问題中如非线性化学过程优化 多目标优化冋题及圆阵犬线的稀步优化等。本文很 据DE算法可应用于多参数约束条件目标函数寻优将 PPD的5个参数作为变就进行编码在Simulink环境下 第5期黄丽莲等：分数阶P1D控制器参数的自适应设计 1065 对控制系统建模，根据预期的系统性能指标确定目标阪数, 从而得到控制器的最优参数。1分数阶控制系统的数学基础1.1分数阶徹积分的定义分数阶微积分的概念城早出现在三百多年以前几乎 与牛顿-莱布尼茨传统微积分同时出现但是直到近几I年 才从理论研究扩展到实际应用。分数阶微积分以研究分数 阶微积分算子为基本出发点发展到现在形成了几种不同 形式的定义，如常用的Grunwald-Letnikov(简称GI-)定 义 9 Riemann-Liouville(简称 R-L)定义和 Caputo 定义等 通常定义的微积分算子可以表示为d")d(f a)(1)式中4为实数表示微积分的阶次M为微积分变最疋为微 积分下限。则GL定义可表示为D”=lim/i，乞(一1) r fd jh)(2)式中/为计算步长；O表示工的整数部分,r是关于rj)的二项式展开.由于极限式在实际应用中受到限制，为了 计算方便只考虑(时刻附近的区间D-La的计算得到 短记忆算法描述的GL定义为<i D：/L S Cja jh)(3)Co = 1,C, = (1-号(4)式中，L为记忆长度，且t-L>ai N(C = min 'yj.通过递推公式(4)即町得到其所有项的系数。1.2分数阶微积分算子的实现及prix控制器分数阶系统是一个复杂系统，从理论上讲分数阶系统 是无限维的不能直接应用整数阶系统的分析方法对其研 究可以用一个有隈次的微分方程来描述分数阶系统，对 其进行有理化近似.是研究分数阶系统的直要方法之一。对于分数阶微积分算子其离散化是数字实现的关 键步骤。且对于控制系统来说得到的近似离散时间传递 函数应该保持稳定fl满足域小相移。Tustin提岀的连续 分数展开(continuous fractional expansion, CFE)方法可以 满足这样的性质，通过CFE方法近似分数阶算子可以表 示为停/ 式中为采样时间;P»和Q是关于的互质多项式近似阶次分别为P和<7。除了 ILstin的CFE方法外，还有Eu卜 er 算子的幕级数展开(power series expansion PSE)及 Al- Alaoui算子等直接近似化方法。间接近似化是把分数阶系 统转化为连续的整数阶系统目前效果较好的是Oustaloup方 法，其缺点是在近似频率两瑞拟合不佳.文献14针对该 方法的缺点，在原方法基础上引入了两个系数，来提高近似 频段两瑞的拟合帝度，构造的改进Oustaloup法微积分算 子模型为” d( 1 a)s2 + bgs + da 丄丄 1 + $/物式中=分别为引入的调整系数通过仿真得到了满意的近似效果.实际被控对象一般都是分数阶非线性系统，使用整数 阶系统对其建模分析往往会造成较大的误差。为了提岛控 制精度，在传统的PID控制器基础上，将微分和积分阶次扩 展到实数域即可得到PFD，其传递西数可麦示为G($) = Kp + Ky' + K”，入中 R(7)从式(7)可以看出，传统PID控制器即为入="=1时的 一种特殊悄况通过引入的两个变量使得控制器的参数灵活，控制祷度提高，但同时也带来了新的问题即针 对传统PID控制器的设计方法不能直接应用到PFI>参数 整定上。必须要针对PPD的特点，垂新设计整定参数的 方法。本文提岀了基于一种改进的差分进化算法的PFI> 参数整定方法其主要思想是将控制器的5个参数(K, K,Kd“,R作为个体，根据系统单位阶跃响应指标设计冃 标函数通过DE算法的变异、交叉及选择等过程，得到满 足口标函数的最优个体，从而得到控制器的参数。2参数自适应DE算法2.1基本差分进化算法原理着分进化算法由K. Price和R. Storn于1995年提出， 并迅速成为一和成功的基于向世群的随机优化算法。DE 算法与其他遗传算法相似，都是用NP个D维参数向咸来 初始化搜索空间原始DE算法的种群初始化为=(匕=(町斗)(8)式中i = 0»l> tNPl；g = 0tl >= >-tD 1;NP代表种群规模;g为迭代次数；D代表维数，即待优化 参数的个数。种群中的个体通过式(9)进行初始化。工川"=randOaXbj. - diU) + bia(9)式中血和几表示参数向就"的范fflirandOJ)返回一 个服从均匀分布的随机数。DE算决通过变异方式来产生新个体记作巴.具体的 变异操作需要3个基向最以及缩放因TF.X* = X+ F(乞*-X")(10)每产生一个新个体时和厂2均需要在种群内随机选 择，且心工口 一在结束变异过程后DE进行交叉操作，通过交叉得到的试验向蚩交叉使得种群的多样性堆 强交叉的概率为CR交叉过程表示为% > randz0.1) W CR 其他(11)通过交叉操作，使试验向帚的参数通过随机概聿分布 与孔和叫<来交换参数，在完成上述步骤后DE进行最后 一步选样操作。选择的过程是通过判断适应值来确定将试验个体和目 标个体中哪-个保留在种群中进入下一代，即八 /)W/*«*,)(12)2其他如果新生成的试脸向杀得到更小的适应值则会代替 目标向址进入下一代种群经过选择操作，种群中的个体会 使适应值越来越小或者保持不变，而不会使适应值发散. 2.2 参数自适应DE本文根据分数阶控制器参数的特点和实际冋题以及 DE算法的早熟收敛冋题，提出了一种参数自适应(pwame心 self-adjusting. PSA)-DE算法。前面讨论DE算法的变异过 程中缩放因子F控制进化的速率文献10讨论了其取值 范隅应在(0.1 +九当F>时亦町取到垠优解但相比F<1悄 况更加费时且不稳定.文献15通过研究发现当FV0.4时, 编放因子的变化对种群的搜索无效从而确定了 F的下限。为了定蜀分析群体的状态，引入群体适应度方差:“的 定义.设种群规模为NP第g代第2个个体的适应度用门表 示，日前的平均适应度可用表示，则群体的适应度方弟 可表示为(13)式中J是归一化因子，目的是控制F的大小，且/可由 式(14)限制。f . max II max 丨 £ 一 /I > 11其他(14)通过该定义可知，若存在实数d>0衷示群体收敛椿度， *<“时，说明群体中的个体都聚集在一定的范I冒内搜索到 局部或者全局垠优解；F>a时，种群处于随机搜索阶段.DE算法采用“贪婪"准则可以堆加收敛速率但同样 会产生其他遗传算法不町避免的收敘早熟问题“为了防止 搜索进入早熟收敘本文采用了阴机扰动以防止种群陷入 局部最优状态" F 4- rand ( 1 F)< 15>则变舁过程为叽=Fl +F(k, * (16)式中足第£代捲优个体在确定其是全局最优还是 局部最优时要引入个体适应度精度£鼻0只有当最优个体 适应度且FVA时才进行上述的变舁过程变舁 后继续搜索以发现新的最优个体直到满足人“Vs且护V 为止如果理论最优解未知则以£连续多少次不变作 为设定值DE算法在经过以上改进后，即町实现参数自适 应搜索到全局城优解3控制器设计及参数整定算法在控制器设计时，一般是根据期望的福值裕虽、相位裕 晴、上升时间和超调駅等耍求来设计分数阶控制器使其满 足系统的性能分数阶控制系统如图1所示。图1控劃器设卄系统框图被控对象6(S)和控制器G($)应满足= arg Gr (ja>f )Gp () + x A - 1-I G(jsM(jQ 丨(17)(18)且畋满足满足 arg G(j«0G,(j3")=-X通过推导可以得到关于控制器参数(K八入屮) 的方程，但是由于未知变就共冇7个，而无法唯一确定控制 器的参数。在传统控制器参数设计时通當使用绝对谋差积 分(integral of absolute error* IAE)准则、平方溟差积分(in tegral of squared error, ISE)准则或时间和绝对误差乘积 (integrated time and absolute error, ITAE)准则因为这些 性能指标便于在荻域进行分析。本文在ITAE准则基础上 加以修改将谋差、控制信号与ITAE加权作为DE算法的 目标函数进行搜索可用式(19)表示.J Wjp | e(0 | d/ + wi I e(/) l+wa I u(t) I (19) 式中吟和吗为加权系数用来平衡目标阪数中溟蹇 累积、谋差和控制信号的形响。根据系统框图在Simulink 环境下搭建的仿真模型如图2所示.图2 Simulink环境卜搭建的控制系统模型用改进DE算法进行控制器设计及参数療定的具体步 骤如下：第5期黄丽莲等：分数阶P1D控制器参数的自适应设计 1067 1.00.8%20406080r/s(a)G开环系统响应步鼻1根据分数阶控制器的传递函数式(7)构造参 数向凤，即x = K.K.K”"(20)估计各参数的取值范围，确定参数向議的上下限总和0.60.4步 2 在给定的参数范围内初始化种群并确定 PSADE的各参数:氏、NP和CR等.0.21.61.00.80.60.40.2步3根据式(10)式(12)进行变异、交叉和选择 过程.步4根据式(19)设计的适应度因数计算每个个体 的适应值，计算目前群体的适应度精度和收敛精度./s:G开环响应；:ZH控刨器；：控M«C ;：控(b)G川任常规方法控制5#下单位阶跃响应步 5判断步骤4中的适应值和精度是否满足要 求若不满足要求根据式(15)对F进行随机扰动，并用 式(16)替换步骤3中的变异方式；否则进行下一步.步鼻6判断迭代次数是否达到最大若达到最大, 算法结束，否则x = g+l转到步骤3继续执行。4仿真研究首先选取一个二阶被控对象传递函数为Gfl(S> = 4.32sJ+ 19.180 ls+1<21)50该系统的单位阶跃响应如图3(a)所示，设计控制器参 数要求系统超调StMpWlO%.上升时间XW0.5 s.稳态误 差利用本文提出的PSA-DE算法选择参数为 NP=15>Fm4B=0.9.Fmm=0.4>CR = 0.5,经过 100 次迭代 可分别得到的自适应参数DE算法整数阶PID控制器(记 为Cf(s)和分数阶PID控制器(记为Cf(5»为G($= 175. 959 l + 腳 1 +25.911 3$(22)5CF(s) = 201.625 5 - 寧 5 + 26. 902 2$"" (23) 根据文献17提出的第一 Ziegler-Nichols准则设计的两个 分数阶控制器分别为G(C和G3G") = 0.088 0 + §禺器 + 2 588 1$° “"(24)Cz(s) = 6.992 8 4-12；4 4 +4, 106 6$。"'(25)150100150100J-IJ-1Hp、«9对模型进行降阶近似成一阶加时滞系统并用传统Ziegler- Nichols 参数整定方法提出的整数阶PID控制器为Czs($)C»() = 120 +型+ 12$(26)102102 10° 频 */Hz:G开环系统；：DE分数阶；:DF.««阶。(d)G,在自适应參数控制器下的Bode图0 8控制器Tr/sMp/%Ts/sE$/%本文整散阶0. 3733. 3U0. 9770. 35本文分数阶0. 327& 501.4711.16G3. 30335.815.870.58G1.98218.66. 8890. 72Czn0. 33039.62. 8260. 03« I 4,在不同控统掏标对比-200图3在不同控制器下的响应与Bode图经过仿真得到Gm上述几个控制器控制下的系统阶跃响应，以 & Bode曲线如图3(b)图3(d)所示系统的指标如表1所示.第5期黄丽莲等：分数阶P1D控制器参数的自适应设计 1069 从仿真结果可以看出基于本文所提方法设计的整数 阶P1D控制器和分数阶PID控制器均能满足系统要求的各 项指标相比于传统Ziegler-Nichols方法以及文献17中 所提方法设计的控制器本所提方法控制的系统有更小的 超调5L更短的调整时间和更快的系统响应，从而达到了粘 确控制的目的。考虑一个分数阶被控对象模传递函数为"3 = ° 8严+； 5严 + 1(27)该系统的单位阶跃响应曲线如图4(a)所示.文献1 针对该系统设计了分数阶PO控制器(记为Gw(s),传递 顒数为Cm/C = 20. 5 + 3. 734 3?-15(28):FOPD控制券；：控制器CF1。(b) G*在常規方法控刨為下单位阶跃响应102 10° 102M*/Hz:G开环系鋭；一：DE分数阶控制器。(d)G科在自适应參数控制務下的Bode图0P、«>csff图4 Gw在不同控制器下的响应与Bode图文献18提岀的方法设计的分数阶PID控制器CF1(5) 的传递甬数为Cn(5)= 13&181 7 +歸誓 °+ 12.382 0/1 (29) 文献18还指出对于分数阶受控对象，整数阶P】D控 制器不能理想地控制该模型。对于系统G”应用本文所提 方法参数选取为NP= 15. Fj=0. 9F*=0 4,CR = 05经过200次迭代得到的分数阶PID控制器为CF(s) = 24. 193 4 + "；.瞪 ° + 20 215 7$。叫(30)G”在不同控制器下系统指标对比如表2所示。«2 G以在不同控制褂下系统指标对比控制器Tr/sMp/%Ts/sEss/%本文分数阶0. 3024.90. 9830. 55Cn0.11234.00. 9880. 70Cfpd0. 29129.91.7476. 02被控对象G.2在本文所提方法设计的控制器作用下的 单位阶跃响应曲线如图4(c)所示，通过对比文献18中便 用1TAE准则搜索的控制器以及Podlubny设计的P"控 制器如图4(b)所示基于本文所提方法设计控制器具有良 好的控制效果各项系统指标均满足设计要求。(c) G)在自适应發数控制赭下的响应本文提岀了一种参数自适应的改进差分进化算法对 分数阶pud控制器参数进行智能调整该方法町以在搜 索过程根据群爪适应度来自适应改变变异规则，以防止搜 索过程陷入局部最优化将该方法应用到分数阶pud控 制器参数的整定中，通过对整数阶被控对象和分数阶被控 对象的仿真表明本文所提方法设计的控制器相比于传统 设计方法具有趙调同小、上升时间快、稳定性好的优点且 参数设计灵活势定范围大，具冇广阔的工程应用前景参考文献：Cl Podlubny I. Fractional-order systems and PIXI> controllersJ.5结论IEEE Trans on Automatic Control 1999*44( 1) ：208 - 214.2 Vinagre B M. Podlubny I. Hernandez Act ai. Some approximations of fractional order operators used in control theory and ap- plicationsfj. 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