高三数学文一轮备考 第7章第2节空间几何体的表面积与体积

+2019年数学高考教学资料+高考真题备选题库第7章 立体几何第2节 空间几何体的表面积与体积考点 柱、锥、台、球的表面积与体积1（2013辽宁，5分）已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2C. D3解析：本题主要考查多面体、球等基本概念以及如何根据组合体中的位置关系进行准确计算，意在考查考生的空间想象能力、运算求解能力以及转化思想如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .答案：C2（2013天津，5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为， 则正方体的棱长为_解析：本题主要考查球的体积、正方体与其外接球的关系，意在考查考生的空间想象能力设正方体的棱长为x，其外接球的半径为R，则由球的体积为，得R3，解得R.由2Rx，得x.答案：3（2013新课标全国，5分）已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_解析：本题主要考查球及其组合体的基本知识如图，设截面小圆的半径为r，球的半径为R，因为AHHB12，所以OHR.由勾股定理，有R2r2OH2，又由题意得r2，则r1，故R212，即R2.由球的表面积公式，得S4R2.答案：4（2013江苏，5分）如图，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F­ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC的体积为V2，则V1V2_.解析：本题考查多面体的体积，意在考查学生的化归能力及运算能力设三棱柱A1B1C1­ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1×S·hShV2，即V1V2124.答案：1245（2013新课标全国,12分）如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°.(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABC­A1B1C1的体积解：本题主要考查线面垂直问题，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160°，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OCOA1.又A1C，则A1C2OC2OA，故OA1OC.因为OCABO，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABC­A1B1C1的高又ABC的面积SABC，故三棱柱ABC­A1B1C1的体积VSABC×OA13.6(2013安徽,12分)如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60°，已知PBPD2，PA.(1)证明：PCBD；(2)若E为PA的中点，求三棱锥P­BCE的体积解：本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力(1)证明：连接AC，交BD于O点，连接PO.因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，BODO.由PBPD知，POBD.再由POACO知，BD面APC，又PC平面PAC，因此BDPC.(2)因为E是PA的中点，所以VP­BCEVC­PEBVC­PABVB­APC.由PBPDABAD2知，ABDPBD.因为BAD60°，所以POAO，AC2，BO1.又PA，PO2AO2PA2，即POAC，故SAPCPO·AC3.由(1)知，BO平面APC，因此VP­BCEVB­APC··BO·SAPC.7(2013福建,12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60°. (1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P­ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M为PA的中点，求证：DM平面PBC；(3)求三棱锥D­PBC的体积解：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想法一：(1)在梯形ABCD中，过点C作CEAB，垂足为E.由已知得，四边形ADCE为矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理得BE3，从而AB6.又由PD平面ABCD得，PDAD，从而在RtPDA中，由AD4，PAD60°，得PD4.正视图如图所示：(2)证明：取PB中点N，连接MN，CN.在PAB中，M是PA中点，MNAB，MNAB3.又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.(3)VD­PBCVP­DBCSDBC·PD，又SDBC6，PD4，所以VD­PBC8.法二：(1)同法一(2)证明：取AB的中点E，连接ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边形，DEBC.DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC.DEMEE，平面DME平面PBC.DM平面DME，DM平面PBC.(3)同法一8(2013湖北,13分)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2d2，C1C2d3，且d1<d2<d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1­A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中(1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在ABC中，记BCa，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1­A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估S中·h来估算已知V(d1d2d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明解：本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力(1)证明：依题意A1A2平面ABC，B1B2平面ABC，C1C2平面ABC，所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2d1，B1B2d2，C1C2d3，且d1<d2<d3.因此四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形由AA2平面MEFN，AA2平面AA2B2B，且平面AA2B2B平面MEFNME，可得AA2ME，即A1A2DE.同理可证A1A2FG，所以DEFG.又M，N分别为AB，AC的中点，则D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线因此DE(A1A2B1B2)(d1d2)，FG(A1A2C1C2)(d1d3)，而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形(2)V估<V.证明如下：由A1A2平面ABC，MN平面ABC，可得A1A2MN.而EMA1A2，所以EMMN，同理可得FNMN.由MN是ABC的中位线，可得MNBCa，即为梯形DEFG的高，因此S中S梯形DEFG·(2d1d2d3)，即V估S中·h(2d1d2d3)又Sah，所以V(d1d2d3)S(d1d2d3)于是VV估(d1d2d3)(2d1d2d3)(d2d1)(d3d1)由d1<d2<d3，得d2d1>0，d3d1>0，故V估<V.9(2012新课标全国，5分)平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A.B4C4 D6解析：设球的半径为R，由球的截面性质得R，所以球的体积VR34.答案：B10.（2012山东，4分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_解析：三棱锥ADED1的体积等于三棱锥EDD1A的体积，即VADED1VEDD1A××1×1×1.答案：11（2012辽宁，5分）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形若PA2，则OAB的面积为_解析：把球O的内接四棱锥还原为长方体，则球O的直径为长方体的体对角线，则(2R)2(2)2(2)2(2)2，可得R212.OAB中，设AB边上的高为h，则h2R2()29，则h3，所以SOAB×2×33.答案：312（2011新课标全国，5分）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_解析：设球心为O1，半径为r1，圆锥底面圆圆心为O2，半径为r2，则有×4rr，即r2r1，所以O1O2，设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h1、h2，则.答案：13.（2012新课标全国，12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90°，ACBCAA1，D是棱AA1的中点(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比解：(1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45°，所以CDC190°，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得V1××1×1.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.高考数学复习精品高考数学复习精品