2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第三章 第七节正弦定理和余弦定理 文

第七节正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理一、三角形中的各种关系设ABC的三边为a，b，c，对应的三个角为A，B，C.1三内角的关系：_.2边与边关系：_.3边与角关系： (1)正弦定理：_2R.(R为ABC外接圆半径)(2)余弦定理：_.它们的变式有：cos A_，cos B_，cos C_，abc_，_.(3)常用三角形面积公式：S_.二、关于三角形内角的常用三角恒等式由ABC知，A(BC)可得出sin A_，cos A_.而，有sin_，cos_.三、三角形度量问题求边、角、面积、周长及有关圆半径等.条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理其中“边边角”(abA)类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：A90A901 / 6ababsin Aabsin Aabab一解两解一解无解一解无解四、判断三角形的形状特征，必须深入地研究边、角间的关系1几个常用基本结论：ab或AB等腰三角形；a2b2c2或A90直角三角形；a2b2c2或A90钝角三角形；若a为最大边且a2b2c2或A为最大角且A90锐角三角形；若sin Asin B等腰三角形；若sin 2Asin 2B等腰三角形或直角三角形2.基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即通过考虑如下两条途径：统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等基础自测1(2013湖南卷)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b. 若2asin Bb，则角A等于()A.B.C. D.解析：由2asin Bb得2sin Asin Bsin B ，所以sin A，因为ABC是锐角三角形，所以A，故选A.答案：A2(2013汕头二模)在ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知c2，C，ABC的面积SABC，则ABC的周长为()A6 B5C4 D42解析：在ABC中，ABC的面积SABCabsin Cab，ab4.再由余弦定理 c24a2b22abcos Ca2b24，a2b28，ab4，故ABC的周长为 abc426，故选A.答案：A3(2012广东六校联考)已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，且B是 A与C的等差中项，则sin A_.解析：依题意B180(AC)1802B，得B60，由正弦定理得，得sin A.答案：4(2012衡阳模拟)在锐角三角形ABC中，BC1，B2A，则等于_，AC的取值范围为_解析：设AB2.由正弦定理得，12.由锐角三角形ABC得0290045.又01803903060，故3045cos .AC2cos (，)答案：2(，)一、1.ABC 2.a b c，b c a，c a b，ab c，bc a，ca b3(1)(2)c2 a2b22abcos C，b2 a2c22accos B，a2 b2c22bccos Asin Asin Bsin C(3)ahaabsin Cacsin Bbcsin A二、sin(BC)cos(BC)cossin1. (2013天津卷)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC()A.B.C. D.解析：在ABC中，由余弦定理AC2BA2BC22BABCcosABC()23223 cos 5.AC，由正弦定理得sinBAC，故选C.答案：C2(2012福建卷)在ABC中，已知BAC60，ABC45，BC，则AC_.解析：在ABC中，利用正弦定理得AC.答案：1(2012浙江名校新高考联盟二联) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为()A. B. C.或 D.或解析：(a2c2b2)tan Bac，cos B.整理得：sin B，即B或.故选C.答案：C2(2013韶关二模)ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csin Aacos C0.(1)求C的值；(2)若cos A，c5，求sin B和b的值解析：(1)将csin Aacos C0利用正弦定理化简得：2Rsin Csin A2Rsin Acos C0，即2sin Csin A2sin Acos C0，sin A0，sin Ccos C0，即tan C，C(0，)，C；(2)cos A，A，sin A，则sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C，sin B，c5，sin Csin ，则由正弦定理，得：b34. 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！