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高考数学精品复习资料 2019.5 第第 0101 节节 函数及其表示函数及其表示 【考纲解读】【考纲解读】 考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测 1. 函数的基本概念 1了解函数、映射的概念，会求简单的函数的定义域和值域。 2 理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法。 20 xx浙江文 11; 20 xx浙江文 7,15；理 6,15; 20 xx浙江文 12；理 10; 20 xx浙江文 12; 1.分段函数的应用 2.函数的概念 3.备考重点： (1) 理解函数的概念、函数的表示方法； (2) 以分段函数为背景考查函数的相关性质. 2. 分段函数以及应用 3了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题。 20 xx浙江文理 15; 20 xx浙江文 12, 理 10; 20 xx浙江理 18; 【知识清单】【知识清单】 1.1. 函数与映射的概念函数与映射的概念 函数 映射 两个集合 A，B 设A，B是两个 非空数集 设A，B是两个 非空集合 对应关系 f：AB 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x， 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：AB为从集合A到集合B的一个函数 称f：AB为从集合A到集合B的一个映射 记法 函数yf(x)，xA 映射：f：AB 对点练习：对点练习： 设集合=, ,Aa b c，= 0,1B，试问：从 A 到 B 的映射共有几个？ 【答案】 2.2.函数的定义域、值域函数的定义域、值域 (1)在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 对点练习：对点练习： 若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是( ) 【答案】B 【解析】 A 中函数定义域不是2，2，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是0，2. 3.3.函函数的表示法数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 对点练习：对点练习： 若函数满足关系式，则的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】A 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 因 为 函 数满 足 关 系 式， 所 以，用代换，可得，联立方程组可得，故选 A 4.4.分段函数分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 对点练习：对点练习： 【湖南郴州监测】已知211,0( )2(1) ,0 xxf xxx，则使( )1f a 成立的值是_. 【答案】42 或 【考点深度剖析】【考点深度剖析】 函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查，有时以小题的面目出现，有时渗透于解答题之中.分段函数表示一个函数，不是几个函数，从近几年高考命题看，考查力度有加大趋势，与之相关的题目，往往有一定的难度，关键是与基本初等函数结合，要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质 【重点难点突破】【重点难点突破】 考点考点 1 1 映射与函数的概念映射与函数的概念 【1-1】给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；( )32f xxx是函数；函数2 (N)yx x的图象是一条直线；2( )xf xx与 g xx是同一个函数其中正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】A 【解析】(1)由函数的定义知正确中满足( )32f xxx的不存在，所以不正确中2 (N)yx x的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以不正确中2( )xf xx与 g xx的定义域不同，也不正确故选A. 【1-2】设集合，则下列对应中不能构成到的映射的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析： 当时， 集合中任意元素， 在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中没有元素与之对应，所以对应不是到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射；当时，集合中任意元素，在中都有唯一的元素与之对应，所以对应到的映射，故选 B 【1-3】下列两个对应中是集合 到集合 的函数的有_ （写出符合要求的选项序号） （1）设 ，对应法则 ； （2）设 ，对应法则 ； （3）设 ， 对应法则 除以 所得的余数； （4） ，对应法则 【答案】 （1） （3） 【领悟技法】【领悟技法】 1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A中元素的任意性，集合B中元素的唯一性” 2. 判断一个对应f：AB是否为函数，一看是否为映射；二看A，B是否为非空数集若是函数，则A是定义域，而值域是B的子集 3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同 【触类旁通触类旁通】 【变式一】下列函数中，与函数31yx的定义域相同的函数为( ) A1sinyx Bln xyx Cyxex Dysin xx 【答案】D 【解析】函数31yx的定义域是0()0) ，而1sinyx的定义域为x|xk，kZ Z，ln xyx的定义域为(0，)，yxex的定义域为 R R，ysin xx的定义域为(，0)(0，)故选 D. 【变式二】在下列图形中，表示y是x的函数关系的是_ 【答案】 【解析】由函数定义可知，自变量x对应唯一的y值，所以错误，正确 【变式三】已知函数( )23,f xxxA的值域为 1,1,3，则定义域A为 . 【答案】1,2,3 考点考点 2 2 求函数的解析式求函数的解析式 【2-1】已知f(x)是一次函数，且满足 3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_. 【答案】( )27f xx 【解析】设f(x)axb(a0)， 则 3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2b ax5ab， 即ax5ab2x17 不论x为何值都成立， a2，b5a17，解得a2，b7，f(x)2x7. 【2-2】已知2(1)21fxxx，求( )f x 【答案】2( )232f xxx 【解析】(换元法)设1tx ，则1xt ， 22( )2(1)(1) 1232f ttttt ， 2( )232f xxx. 【2-3】定义在( 1,1)内的函数( )f x满足2 ( )()lg(1)f xfxx，求( )f x 【答案】21( )lg(1)lg(1)33f xxx，x( 1,1) 【领悟技法】【领悟技法】 1.已知函数类型，用待定系数法求解析式 2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示 3.已知( )f x求 ( )f g x，或已知 ( )f g x求( )f x，用代入法、换元法或配凑法 4.若( )f x与1( )fx或()fx满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解 5.应用题求解析式可用待定系数法求解 6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错 【触类旁通触类旁通】 【变式一】某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10的余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为( ) Ayx10 Byx310 Cyx410 Dyx510 【答案】B 【变式二】已知fx1xx21x2，则f(x)_. 【答案】 22(22)f xxx ， ， 【解析】 （配凑法） (1)fx1xx21x2x1x22， 又x1x(，22，)， 22(22)f xxx ， ， 考点考点 3 3 分段分段函数及其应用函数及其应用 【3-1】 【20 xx 东营模拟】设函数f(x) x21，x1，2x，x1，则f(f(3)等于( ) A.15 B3 C.23 D139 【答案】D 【解析】由题意知f(3)231，f232321139，f(f(3)f23139. 【3-2】已知函数lg ,0( )3,0fx xxxx，若 10f af，则实数a的值为( ) A3 B3 或 1 C1 D1 或 3 【答案】B 【解析】 1 1 0flg， 0f a ，当a0 时，lg a0，a1. 当a0 时，a30，a3.所以a3 或 1. 【3-3】 【20 xx 浙江高考理第 15 题】设函数 0,0,22xxxxxxf若 2aff，则实数a的取值范围是_ 【答案】2a 解得，0a 或22a，故2a 【领悟技法】【领悟技法】 1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值 2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则 【触类旁通触类旁通】 【变式一】 【20 xx 江西师范附属 3 月模拟】已知函数 22log3,2,21,2xxxf xx，若21fa，则 f a （ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】当22a即0a 时, 2221 1a ,解得1a ， 则 21log312f af ； 当22a即0a 时, 2log321a，解得12a ，舍去. 2f a . 【变式二】 【20 xx 广州调研】定义在 R R 上的函数f(x)满足f(x) log2x，x0fx，x0，则f(3)的值为( ) A4 B2 Clog213 D4 【答案】D 【解析】 422(321016)024.ffffloglog 【易错试题常警惕】【易错试题常警惕】 易 错 典 例： 已 知函 数xxxf2)(212(x 且xZ） ， 则 f x的 值域是 ( ) A0,3 B1,3 C0,1,3 D1,0,3 易错分析：本题易忽视定义域的重要作用，误选B. 正 确 解 析 ： 由 已 知 得 函 数 22fxxx的 定 义 域 为2 ,1 , 0 , 1, 则20f ,11f , 00f, 13f,所以函数的值域为1,0,3.故正确答案为D. 温馨提醒：函数三要素是指定义域、值域、对应法则.当函数的定义域、对应法则确定后，其值域也随之确定. 【数学素养提升之思想方法篇数学素养提升之思想方法篇】 分段函数求值妙招分段函数求值妙招分类讨论思想分类讨论思想 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略 分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点： (1)明确分段函数的分段区间 (2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系 (3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内 【典例】已知实数0a，函数1,21,2)(xaxxaxxf，若)1 ()1 (afaf，则a的值为_ 【答案】34 符合题意.故34a .
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