高考数学浙江专用总复习教师用书：第2章 第4讲　幂函数与二次函数 Word版含解析

高考数学精品复习资料 2019.5 第第 4 讲讲 幂函数与二次函数幂函数与二次函数 最新考纲 1.了解幂函数的概念；掌握幂函数 yx，yx2，yx3，yx12，y1x的图象和性质；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知 识 梳 理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 函数 特征 性质 yx yx2 yx3 yx12 yx1 定义域 R R R 0，) x|xR， 且 x0 值域 R 0，) R 0， ) y|yR， 且 y0 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)ax2bxc(a0). 顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为 f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a0 时，幂函数 yxn在(0，)上是增函数.( ) (3)二次函数 yax2bxc(xR)不可能是偶函数.( ) (4)二次函数 yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.( ) 解析 (1)由于幂函数的解析式为 f(x)x，故 y2x13不是幂函数，(1)错. (3)由于当 b0 时，yax2bxcax2c 为偶函数，故(3)错. (4)对称轴 xb2a，当b2a小于 a 或大于 b 时，最值不是4acb24a，故(4)错. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(20 xx 全国卷)已知 a243，b323，c2513，则( ) A.bac B.abc C.bca D.caab. 答案 A 3.已知 f(x)x2pxq 满足 f(1)f(2)0，则 f(1)的值是( ) A.5 B.5 C.6 D.6 解析 由 f(1)f(2)0 知方程 x2pxq0 的两根分别为 1，2，则 p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6. 答案 C 4.(20 xx 杭州测试)若函数 f(x)是幂函数，则 f(1)_，若满足 f(4)8f(2)，则 f13_. 解析 由题意可设 f(x)x，则 f(1)1，由 f(4)8f(2)得 482，解得 3，所以 f(x)x3，故 f13133127. 答案 1 127 5.若幂函数 y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数 m 的值为_. 解析 由m23m31，m2m20，解得 m1 或 2. 经检验 m1 或 2 都适合. 答案 1 或 2 6.若函数 f(x)x22(a1)x2 在区间(，3上是减函数，则实数 a 的取值范围是_. 解析 二次函数 f(x)图象的对称轴是 x1a，由题意知 1a3，a2. 答案 (，2 考点一 幂函数的图象和性质 【例 1】 (1)(20 xx 济南诊断测试)已知幂函数 f(x)k x的图象过点12，22，则 k 等于( ) A.12 B.1 C.32 D.2 (2)若(2m1)12(m2m1)12，则实数 m 的取值范围是( ) A.， 512 B.512， C.(1，2) D.512，2 解析 (1)由幂函数的定义知 k1.又 f1222， 所以1222，解得 12，从而 k32. (2)因为函数 yx12的定义域为0，)， 且在定义域内为增函数， 所以不等式等价于2m10，m2m10，2m1m2m1. 解得m12，m 512或m512，1m2， 即512m0 时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当 0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【训练 1】 (1)幂函数 yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 yf(x)的图象是( ) (2)已知幂函数 f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于 y 轴对称， 且在(0， )上是减函数，则 n 的值为( ) A.3 B.1 C.2 D.1 或 2 解析 (1)设 f(x)x(R)，则 42， 12，因此 f(x)x12，根据图象的特征，C 正确. (2)幂函数 f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上是减函数， n22n21，n23n0， 其图象如图所示， 又x4，6，f(|x|)在区间4，1)和0，1)上为减函数，在区间1，0)和1，6上为增函数. 规律方法 解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用， 尤其是给定区间上的二次函数最值问题， 先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍. 【训练 2】 (1)设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是( ) (2)(20 xx 武汉模拟)若函数 f(x)(xa)(bx2a)(常数 a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式 f(x)_. 解析 (1)由 A，C，D 知，f(0)c0，所以 ab0，知 A，C 错误，D 满足要求；由 B 知 f(0)c0， 所以 ab0，所以 xb2axk 在区间3，1上恒成立，试求 k 的取值范围. 解 (1)由题意知 b2a1，f（1）ab10，解得a1，b2. 所以 f(x)x22x1， 由 f(x)(x1)2知，函数 f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1. (2)由题意知，x22x1xk 在区间3，1上恒成立，即 kx2x1 在区间3，1上恒成立， 令 g(x)x2x1，x3，1， 由 g(x)x12234知 g(x)在区间3，1上是减函数，则 g(x)ming(1)1，所以 k1， 故 k 的取值范围是(，1). 规律方法 (1)对于函数 yax2bxc，若是二次函数，就隐含着 a0，当题目未说明是二次函数时，就要分 a0 和 a0 两种情况讨论. (2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是 af(x)af(x)max，af(x)af(x)min. 【训练 3】 (20 xx 九江模拟)已知 f(x)x22(a2)x4， 如果对 x3， 1， f(x)0 恒成立，则实数 a 的取值范围为_. 解析 因为 f(x)x22(a2)x4， 对称轴 x(a2)， 对 x3，1，f(x)0 恒成立， 所以讨论对称轴与区间3，1的位置关系得： （a2）3，f（3）0，或3（a2）1，0，或（a2）1，f（1）0， 解得 a或 1a4 或12a1， 所以 a 的取值范围为12，4 . 答案 12，4 命题角度二 二次函数的零点问题 【例 32】 (20 xx 全国卷)已知函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(2x)，若函数 y|x22x3|与 yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)， ， (xm，ym)，则mi1xi( ) A.0 B.m C.2m D.4m 解析 由f(x)f(2x)知函数f(x)的图象关于直线x1对称.又y|x22x3|(x1)24|的图象也关于直线 x1 对称，所以这两函数的交点也关于直线 x1 对称. 不妨设 x1x20 时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；f(1)，则( ) A.a0，4ab0 B.a0，2ab0 D.af(1)，所以函数图象应开口向上，即 a0，且其对称轴为 x2，即b2a2，所以 4ab0. 答案 A 3.在同一坐标系内，函数 yxa(a0)和 yax1a的图象可能是( ) 解析 若 a0，yxa的图象知排除 A，B 选项，但 yax1a的图象均不适合，综上选B. 答案 B 4.若函数 f(x)x2axa 在区间0，2上的最大值为 1，则实数 a 等于( ) A.1 B.1 C.2 D.2 解析 函数 f(x)x2axa 的图象为开口向上的抛物线， 函数的最大值在区间的端点取得， f(0)a，f(2)43a， a43a，a1或a43a，43a1，解得 a1. 答案 B 5.若关于 x 的不等式 x24x2a0 在区间(1，4)内有解，则实数 a 的取值范围是( ) A.(，2) B.(2，) C.(6，) D.(，6) 解析 不等式 x24x2a0 在区间(1，4)内有解等价于 a(x24x2)max， 令 f(x)x24x2，x(1，4)， 所以 f(x)f(4)2，所以 a1225，得223123253，即 PRQ. 答案 PRQ 7.若 f(x)x22ax 与 g(x)ax1在区间1，2上都是减函数，则 a 的取值范围是_. 解析 由 f(x)x22ax 在1，2上是减函数可得1，2a，)，a1. y1x1在(1，)上为减函数， 由 g(x)ax1在1，2上是减函数可得 a0， 故 0f(a1)的实数 a 的取值范围. 解 幂函数 f(x)的图象经过点(2， 2)， 22(m2m)1，即 2122(m2m)1. m2m2.解得 m1 或 m2. 又mN*，m1.f(x)x12， 则函数的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数. 由 f(2a)f(a1)得2a0，a10，2aa1， 解得 1a1，即 a12时， f(x)maxf(1)2a1， 2a11，即 a1 满足题意. 综上可知，a13或1. 能力提升题组 (建议用时：25 分钟) 11.(20 xx 浙江卷)已知函数 f(x)x2bx， 则“b0”是“f(f(x)的最小值与 f(x)的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 f(x)x2bxxb22b24，当 xb2时，f(x)minb24. 又 f(f(x)(f(x)2bf(x)f（x）b22b24，当 f(x)b2时，f(f(x)minb24，当b2b24时，f(f(x)可以取到最小值b24，即 b22b0，解得 b0 或 b2，故“b0，若 a，bR，且 ab0，则 f(a)f(b)的值( ) A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.等于 0 D.无法判断 解析 依题意，幂函数 f(x)在(0，)上是增函数， m2m11，4m9m510， 解得 m2，则 f(x)x2 015. 函数 f(x)x2 015在 R 上是奇函数，且为增函数. 由 ab0，得 ab， f(a)f(b)，则 f(a)f(b)0. 答案 A 13.已知函数f(x)2x，x2，（x1）3，x2，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是_. 解析 作出函数 yf(x)的图象如图.则当 0k0，bR，cR). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1， F(x)f（x），x0，f（x），x0，（x1）2，x0. F(2)F(2)(21)2(21)28. (2)由 a1，c0，得 f(x)x2bx， 从而|f(x)|1 在区间(0， 1上恒成立等价于1x2bx1 在区间(0， 1上恒成立， 即 b1xx 且 b1xx 在(0，1上恒成立. 又1xx 的最小值为 0，1xx 的最大值为2. 2b0. 故 b 的取值范围是2，0. 15.(20 xx 嘉兴模拟)已知 mR，函数 f(x)x2(32m)x2m. (1)若 0m12，求|f(x)|在1，1上的最大值 g(m)； (2)对任意的 m(0，1，若 f(x)在0，m上的最大值为 h(m)，求 h(m)的最大值. 解 (1)f(x)x32m224m28m174，则对称轴为 x32m2， 由 0m12，得 02m1，则 132m232， 故函数 f(x)在1，1上为增函数， 则当 x1 时，函数 f(x)取得最大值，f(1)4m； 当 x1 时，函数 f(x)取得最小值 f(1)3m2. 又0m12，03m32，2|f(1)|， 即|f(x)|在1，1上的最大值 g(m)f(1)4m. (2)由(1)知函数的对称轴为 x32m2，且函数开口向下， 由 0m1，则 02m2，所以1232m232， 若 m32m2， 即 032m2，即34m1 时，函数 f(x)在0，m上不单调，此时当 x32m2时，函数 f(x)取得最大值 h(m)m22m174， 即 h(m)m22m174，34m1，3m24m2，0m34， 当 0m34时，h(m)3m24m2 的对称轴为 m42（3）23，即当 m23时，函数 h(m)取得最大值 h2332324232103. 当34m1 时， h(m)m22m174的对称轴为 m1， 此时函数 h(m)在34，1 上为减函数，则函数 h(m)h343422341745316103. 所以 h(m)的最大值为103.