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221函数的单调性第1课时函数的单调性1理解函数单调性，能用定义来证明某一函数在确定区间上的单调性2了解一次函数、二次函数和反比例函数的单调性的判断方法1增函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA如果对于区间I内任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数，I称为yf(x)的单调增区间【做一做1】函数y(k21)x3是_函数(填“增”或“减”)答案：增2减函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA如果对于区间I内任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数，I称为yf(x)的单调减区间【做一做2】函数yx24x5在(3，)上是_函数(填“增”或“减”)答案：减3单调区间如果函数yf(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，就说函数yf(x)在区间I上具有单调性单调增区间和单调减区间统称为单调区间(1)对于单独的一点，由于其函数值是惟一的，因而无增减变化，所以不存在单调性问题，因此，在考虑函数单调区间时，若端点处有意义，包括不包括端点均可(2)有的函数在整个定义域内具有单调性，有的函数在定义域的某个子集上具有单调性，有的函数没有单调区间【做一做31】函数y的单调减区间是_答案：(，0)和(0，)【做一做32】函数yx22x3的单调增区间是_答案：(1，)要正确理解单调性的定义，应该抓住哪几个重要字眼？剖析：(1)第一关键“定义域内”研究函数的很多性质，我们都应有这样一个习惯：定义域优先原则函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集(2)第二关键“某个区间”增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的单调性我们不能说一个函数在x5时是递增的或递减的，因为这时没有一种可比性，没突出变化所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数比如二次函数yx2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数因而我们不能单一地说yx2是增函数或是减函数，必须加上区间进行区别当然，有些函数在其整个定义域内单调性一致，如yx，我们会说yx在定义域内是增函数此时，“在定义域内”常被忽略，这就是说法上的一种错误了(3)“任意”和“都有”别忽略在定义中，“任意”两个字很重要，它是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”的意思是：只要x1x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)对“任意”二字不能忽视，我们可以构造一个反例：考查函数yx2，在区间2,2上，如果取两个特定的值x12，x21，显然x1x2，而f(x1)4，f(x2)1，有f(x1)f(x2)，若由此判定yx2在2,2上是减函数，那就错了同样地，理解“都有”，我们也可以举例说明：yx2在2,2上，当x12，x21时，有f(x1)f(x2)；当x11，x22时，有f(x1)f(x2)从上例我们可以看到对于x1x2，f(x1)并没始终小于(或者大于)f(x2)因此就不能说yx2在2,2上是增函数或减函数题型一 函数单调性的证明【例1】已知函数f(x)x，(1)画出函数的图象，并求其单调区间；(2)用定义证明函数在(0,1)上是减函数分析：运用描点法作图应避免描点的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所画图的存在范围、大致特征、变化趋势等先作一个大概的研究单调区间一般是函数定义域的子集，同一个函数在定义域内可以有几个不同的单调增(或减)区间，函数的两个单调区间之间可以用“，”或“和”字连接，而不能用符号“”连接“定义作差法”是证明函数单调性的一般方法，而有时通过定义作差法也可以直接找出单调区间(1)解：列表如下：x321123yx22描点，并连线，可得图象如下图：由图象可知，增区间：(，1，1，)，减区间：1,0)，(0,1(2)证明：设x1，x2是区间(0,1)内的任意的两个值，且x1x20x1x21则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x2)，0x1x21，x1x20,0x1x21110f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)f(x)x在区间(0,1)上是减函数反思：“对勾”函数f(x)x(a0)是高中数学具有代表性的一个函数，应掌握其图象及特点，并懂得其函数的性质：定义域：x|xR，x0；值域：(，22，)；图象：如下图所示；奇偶性：为定义域上的奇函数；(下课时学习)单调性：(，)上是增函数，0)，(0，上是减函数；渐近线：x0(即y轴)和yx题型二 二次函数的单调性讨论【例2】讨论函数f(x)x22ax3在(2,2)内的单调性分析：判断二次函数的单调性，主要判断对称轴是在区间内、区间左边或是区间右边解：因为f(x)x22ax3(xa)23a2，对称轴为xa，所以若a2，则f(x)x22ax3在(2,2)上是增函数；若2a2，则f(x)x22ax3在(2，a)上是减函数，在a,2)上是增函数；若a2，则f(x)x22ax3在(2,2)上是减函数反思：此题容易忽略对称轴所在的位置，没有分类讨论而产生漏解题型三 利用单调性求解不等式【例3】已知定义在3,3上的函数f(x)是增函数，求不等式f(2x1)f(x1)的解集分析：本题不知道函数解析式，只有从定义出发；若x1x2，且f(x1)f(x2)，则f(x)单调递增反之，若f(x)单调递增，且f(x1)f(x2)，则x1x2解：由题意得32x1x13，解得1x2，即原不等式的解集为1,2)反思：在求解本题时，必须考虑函数f(x)的定义域，若仅从2x1x1来求解是错误的1若函数y在(0，)上单调递增，则k的取值范围是_解析：由题意得2k10，k答案：2如图是定义在闭区间5,5上的函数yf(x)的图象，根据图象，yf(x)的单调递增区间为_，单调递减区间为_答案：2,1)和3,55，2)和1,3)3函数f(x)是区间(0，)上的减函数，则f(a2a1)_(填“”或“”)解析：要比较f(a2a1)与的大小，由于f(x)在区间(0，)上是减函数，只需比较a2a1与的大小因为a2a1，所以f(a2a1)答案：作出函数y|x24x3|的图象，并写出它的单调区间解：y|x24x3|函数y|x24x3|的图象如下图所示原函数的对称轴为x2，单调增区间为(1,2)和(3，)，单调减区间为(，1)和(2,3)5已知函数yax和y在(0，)上都是减函数，试判断yax2bx在(0，)上的单调性，并予以证明解：由条件得a0，b0，从而函数yax2bx在(0，)上单调递减证明如下：设x1，x2为区间(0，)内的任意两个值，且x1x2，则y1y2(ax21bx1)(ax22bx2)a(x1x2)(x1x2)b(x1x2)(x1x2)a(x1x2)b，x1x20，x1x20，a(x1x2)b0y1y20，即y1y2从而函数yax2bx在(0，)上单调递减6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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