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2.1.3 函数的简单性质5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.右图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数？解:函数y=f(x)的单调区间有-5，-2，-2，1，1，3，3，5.其中y=f(x)在区间-5,-2,1,3上是减函数，在函数-2，1，3，5上是增函数.2.物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大，试用函数的单调性证明之.解:根据单调性的定义，设V1、V2是定义域（0，）上的任意两个实数，且V1V2，则p（V1）-p（V2）=k .由V1、V2（0，），得V1V20；由V1V2，得V2-V10.又k0，于是p（V1）-p（V2）0，即p（V1）p（V2）.函数p=，V（0，）是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.3.已知函数f(x)，判断f(x)的奇偶性.思路解析:判断函数的奇偶性，即需要判断f(-x)与f(x)的关系.解:f(x)的定义域为R，又f(-x)=f(x)，f(x)为偶函数.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若函数f(x)x22(a-1)x2在区间(-，4)上是减函数，则实数a的取值范围是( )A.a-3 B.a-3 C.a5 D.a3思路解析:因为函数f(x)x22(a-1)x2有两个单调区间，它在(-，-(a-1)上是减函数，又因为f(x)在区间(-，4)上是减函数，因此必有4-(a-1)，解得a-3.答案:A2.设f(x)是定义在A上的减函数，且f(x)0，则下列函数中为增函数的个数是( )y3-f(x) y1+ yf(x)2 yA.1 B.2 C.3 D.4思路解析：f(x)是定义在A上的减函数，且f(x)0,设x1、x2A，且x1x2，则f(x1)f(x2)0.3-f(x1)3-f(x2)，即y=3-f(x)在A上为增函数.同理，可证1+1+, f2(x1)f2(x2)，1-1-.y=1在A上为增函数. y=f2(x)在A上是减函数.y=1-在A上为增函数.答案：C3.若f(x)是偶函数，当x0，+时，f(x)=x-1，则f(x-1)0的解集是_.思路解析:偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.画图可知f(x)0的解集为x-1x1，f(x-1)0的解集为x0x2.答案:x0x24.证明函数f(x)=2x+1在区间（-，+）上是增函数.思路解析:根据函数单调性进行证明即可.证明:设x1、x2是区间（-，+）内任意两个实数，且x1x2,f(x1)-f(x2)=2x1+1-2x2-1=2(x1-x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)在（-，+）上是增函数.5.已知f(x)=()x,(1)证明f(x)0；(2)设F(x)=f(x+t)-f(x-t)，判断F(x)的奇偶性，并证明你的结论.(1)证明:f(x)的定义域是xxR且x0，又f(x)-f(-x)=()x-()(-x)=(+1)x=0，f(x)为偶函数.当x0时，显然f(x)0；当x0时，f(x)=f(-x)0.当xR且x0时，f(x)0.(2)解:由x+t0且x-t0,可知F(x)的定义域为xxt.F(-x)=f(-x+t)-f(-x-t)=f(x-t)-f(x+t)=-F(x)，F(x)为奇函数.快乐时光童言童语 一年级的老师教小朋友认识家禽动物. 老师：“有一种动物两只脚，每天早上太阳公公出来时，它都会叫你起床，而且叫到你起床为止，是哪一种动物？” 小朋友：“妈妈！”30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.函数f(x)=2x2-mx+3,当x-2,+时是增函数,当x(-,-2)时是减函数,则f(1)等于( )A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数思路解析:由题意可知x=-2是f(x)=2x2-mx+3的对称轴,即-=-2.m=-8.f(x)=2x2+8x+3.f(1)=13.答案:B2.若y=f(x)在x0，+)上的表达式为y=x(1-x)，且f(x)为奇函数，则x(-，0时f(x)等于( )A.-x(1-x) B.x(1+x) C.-x(1+x) D.x(x-1)思路解析:x(-，0，-x0，f(-x)=(-x)(1+x)，-f(x)=-x(1+x). f(x)=x(1+x).答案:B3.函数f(x)在区间(-4，7)上是增函数，则yf(x-3)的递增区间是( )A.(-2，3) B.(-1，10) C.(-1，7) D.(-4，10)思路解析:f(x)在(-4，7)上是增函数，由-4x-37，得-1x10.且ux-3，在(-1，10)上也为增函数，f(x-3)在(-1，10)上为增函数.答案:B4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为a-1，2a，则a=_，b=_.思路解析:定义域关于原点对称，故a-1=-2a，a=.又对于f(x)有f(-x)=f(x)恒成立，b=0.答案: 05.已知f(x)=ax7-bx+2且f(-5)=17，则f(5)=_.思路解析:整体思想:f(-5)=a(-5)7-b(-5)+2=17 (a57-5b)=-15，f(5)=a57-b5+2=-15+2=-13.答案:-136.已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且单调递减,若a满足f(1-a) +f(1-a2)0,求实数a的取值范围.解:定义域为-1,1,解得0a. f(x)是奇函数,且a满足f(1-a) -f(1-a2)0，f(1-a) a2-1,即-2a1. 由得0a0，f(x)=是R上的偶函数,（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,+)上为增函数.（1）解：依题意，对一切xR，有f(-x)=f(x)，即+aex=.(a-)(ex-)=0对一切xR成立.则a- =0.a=1.a0，a=1.（2）证明：设0x10,x20,x2-x10，得x1+x20，-10，1-0,f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2).f(x)在(0,+)上为增函数.8.已知函数f(x)=(a、b、cZ)是奇函数，又f(1)=2，f(2)3，求a、b、c的值.解:由f(-x)=-f(x),得-bx+c=-(bx+c).c=0.又f(1)=2，得a+1=2b，而f(2)3，得3，解得-1a2.又aZ，a=0或a=1.若a=0，则b=Z，应舍去；若a=1，则b=1Z.a=1，b=1，c=0.9.已知f（x）=+a为奇函数,（1）求a的值；（2）求函数的单调区间.解:（1）f（-x）=+a=+a=-1+a-=-1+2a-f（x），由f（-x）=-f（x），得-1+2a=0.a=.（2）对于任意x10，x20，且x1x2,f（x1）-f（x2）=-=.当x1x2, 1, 0;当0x1,1, 1.f（x1）-f（x2）0.函数的单调递减区间为（-，0），（0，+）.10.已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x1时f(x)0,f(2)=1,（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,+)上是增函数；（3）解不等式f(2x2-1)x10，则f(x2)-f(x1)=f(x1)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().x2x10,1.f()0,即f(x2)-f(x1)0.f(x2)f(x1).f(x)在(0,+)上是增函数.（3）解:f(2)=1，f(4)=f(2)+f(2)=2.f(x)是偶函数,不等式f(2x2-1)2可化为f(|2x2-1|)f(4).又函数在(0,+)上是增函数，|2x2-1|4.解得-x，即不等式的解集为(-,).6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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