高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法单元整合素材 新人教A版选修45

第二讲 证明不等式的基本方法单元整合知识网络专题探究专题一比较法比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法设ab，求证：a23b22b(ab)提示：用作差比较法证明作差比较法的步骤是：作差；变形；判断差与0的大小关系；下结论，其中最关键的步骤是.证明：(a23b2)2b(ab)a23b22ab2b2a22abb2(ab)2.因为ab，所以ab0.从而(ab)20，于是(a23b2)2b(ab)0.所以a23b22b(ab)若a，b，c，则()Aabc BcbaCcab Dbac提示：作商比较法的步骤是：作商；变形；判断商与1的大小关系；下结论其中是关键步骤，同时要注意分子、分母的正负解析：log891，且a0，b0，ba.又log25321，且a0，c0，ac.cab.答案：C专题二综合法综合法证明不等式的依据：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论证明时要注意：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握综合法证明不等式的思维方面是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立已知a，b，c为ABC的三条边，求证：a2b2c22(abbcca)提示：应用余弦定理解决证明：设a，b两边的夹角为，则由余弦定理，得：cos 因为0，cos 1，1，即a2b2c22ab.同理可证：b2c2a22bc，c2a2b22ac，将上面三个同向不等式相加，即得：a2b2c22(abbcca)专题三分析法分析法证明不等式的依据：不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆求”(但绝不是逆推)，即由待证的不等式出发，逐步逆求使其成立的充分条件(执果索因)，最后得到充分条件是已知(或已证)的不等式当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般说来，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用设a0，b0，求证：a5b5a3b2a2b3.提示：此题可以用分析法、综合法和比较法来证明，这里我们用分析法证明证明：要证a5b5a3b2a2b3成立，即证(a5a3b2)(b5a2b3)0成立，即证a3(a2b2)b3(b2a2)0成立，即证(a3b3)(a2b2)0成立而a0，b0，当ab0或ba0时，a3b3与a2b2的符号都相同，所以(a3b3)(a2b2)0成立所以原不等式成立专题四反证法运用反证法证明不等式，主要有以下两个步骤：作出与所证不等式相反的假设；从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题，也常用反证法用反证法证明钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半解：已知：如图，在ABC中，CAB90，D是BC的中点求证：ADBC.证明：假设ADBC.(1)若ADBC，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”，知CAB90，与题设矛盾所以ADBC.(2)若ADBC，因为BDDCBC，所以在ABD中，ADBD，从而BBAD.同理CCAD.所以BCBADCAD，即BCCAB.因为BC180CAB，所以180CABCAB，则CAB90，这与题设矛盾由(1)(2)知ADBC.专题五放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式的一边适当地放大(或缩小)以方便化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证的不等式成立，这种证明的方法称为放缩法它是证明不等式的特殊方法已知a，b，c为三角形的三边，求证：，也可以构成一个三角形证明：设f(x)，x(0，),0x1x2，则f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上为单调增函数a，b，c为三角形三边，abc，即，同理可证：，以，为边可构成一个三角形6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375