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2.2.3 函数的最大（小值）课堂导学三点剖析一、求出函数的最值【例1】 已知函数f(x)=,x1，+）.当a=时，判断函数的单调性，并求其最小值.解析：当a=时,f(x)=x+2, 设x2x11， 则f(x2)-f(x1)=(x2+2)-(x1+2)=(x2-x1)+ -=.x2x11，x2-x10,2x1x2-10,2x1x20.f(x2)-f(x1)0，即f(x2)f(x1). 故f(x)在1,+)上为增函数.f(x)在1，+）上的最小值为f(1)=.温馨提示 函数的单调性是确定函数在某个区间（特别是闭区间）上是否有最值的重要依据.二、利用最值知识解决实际问题【例2】 动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料长是30 m，那么宽x为多少m时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少m2？解析：熊猫居室的宽为x m，则长为30-3x m， 由题意可得熊猫居室的面积S（x)为S(x)=x(30-3x)=3(10x-x2)=-3（x-5)2-25.0x10.当x=5时，S（x)max=75(m2)，即宽x为5 m时，才能使所建造的熊猫居室的面积最大，最大面积为75 m2. 温馨提示 不求自变量x的范围（0x10)，直接由S(x)=-3（x-5)2-25得当x=5时，S（x)max=75(m2)实质上是默认xR，这是不对的.对于实际问题，写出解析式，一定要写出自变量的取值范围.三、二次函数图象的对称轴【例3】 求f(x)=x2-2ax-1在区间0,2上的最大值和最小值.思路分析：由于解析式中含有字母参数，函数在区间0，2上的最值与对称轴的位置有关，而对称轴的位置又取决于字母参数a的取值，因此应对字母参数a进行分析讨论.解析：f(x)=(x-a)2-1-a2，对称轴为x=a.当a0,由图（1）可知，f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.当0a1时，由图（2）可知，f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.当12时，由图（4）可知，f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1. 温馨提示（1）由于对称轴是x=a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论.（2）不是应该分a2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？因为抛物线的对称轴在区间0，2所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0),也有可能是f(2).(3)习惯上，最大值用符号f(x)max表示，最小值用符号f(x)min表示.（4）解答本题，画图是必不可缺少的，最好画出四种情况下的图形，从而有助于解题.各个击破类题演练 1若函数f(x)=(x-1)2+a的定义域和值域都是1,b(b1)，求a、b的值.解析：函数f(x)在1,b上单调递增，ymin=a,ymax=(b-1)2+a, 由题意，得 解得(舍去)或 所以，所求a的值为1，b的值为3.变式提升 1已知f(x)=x2-ax+(a0)在区间0,1上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值.解析：f(x)=(x-)2+-，又x0，1，且a0，g(a)=g(a)= 当0a0时，g(a)，即g(a)的最大值为.类题演练 2某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？解析：设每天应从报社买x份，易知250x400.设每月赚y元，得y=0.5x20+0.525010+(x-250)0.0810-0.35x30=0.3x+1 050,x250，400. 所以当x=400时，ymax=120+1 050=1 170(元). 可知每天应从报社买400份报纸，获得利润最大，每月可赚1 170元.变式提升 2某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益是多少元？ 解析：（1）当每辆车的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为=12， 所以这时租出了100-12=88（辆车）.（2）设每辆车的月租金定为x元，则月收益f(x)=(100-)(x-150)-50.f(x)=-x2+162x-21 000=-(x-4 050)2+307 050. 所以当x=4 050时，f(x)最大，最大值为307 050. 即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的收益最大，最大收益为 307 050元.类题演练 3已知：二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.解析：利用二次函数一般式. 设f(x)=ax2+bx+c(a0)， 由题意得解之得所求二次函数为y=-4x2+4x+7.变式提升 3已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2.在区间0，2上有最小值3，求a的值.解析：f(x)=4(x-)2-2a+2. 当0，即a0时；函数f(x)在0,2上是增函数，f(x)min=f(0)=a2-2a+2. 由a2-2a+2=3，得a=1,a0,a=1-.当02，即0a4时，f(x)min=f()=-2a+2. 由-2a+2=3,得a=-(0,4)，舍去，当2，即a4时，函数f(x)在0,2上是减函数，f(x)min=f(2)=a2-10a+18. 由a2-10a+18=3,得a=5，a4，a=5+.综上所述，a=1-或a=5+.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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