数项级数收敛性判别法

数项级数收敛性判别法摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，在参考文献的基础上新增了一些命题和应用，从而得到一般的解题思路关键词：数项级数；收敛性；判别法；归纳总结；解题思路0 引言数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要内容本文对数项级数敛散性的判别法做了一个较全面的讨论，主要讨论了正项级数、交错级数和绝对收敛级数其中正项级数收敛性判别法主要有比较原则、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法、积分判别法和对数判别法等而构造高精度正项级数收敛性判别法，实质是找到一个收敛速度足够慢的正项级数但值得注意的是这个精确化的过程是没有尽头的，因为杜布洼雷知恩曾证明，任何收敛的正项级数，都有比它收敛得更快的级数存在还有人证明：任何发散的正项级数也有比它发散得更慢的级数存在这说明没有收敛的最快的级数，也没用发散的最慢的级数，所以要想建立一种对一切正项级数都有效的比较标准是不可能的本文就这一问题进行了深入研究，提出了不断提高精度的判别方法一般项级数中主要讨论了交错级数和绝对收敛级数，本文归纳总结了它们常见的性质及应用从而丰富了数项级数收敛性的判别方法1数项级数相关概念1.1数项级数及定义定义1给定一个数列，对它的各项依次用号连接起来的表达式（1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中称为级数（1）的第项或通项数项级数（1）也常写作：或简单写作数项级数（1）的前项的和为，即 或，称为级数的项部分和定义若数项级数（1）的部分和数列收敛于(即)，则称数项级数（1）收敛,称为数项级数(1)的和,记作或；若是发散数列，则称数项级数（1）发散例1设收敛，证明：.证记级数 的前项和则从而，即1.2数项级数敛散性判别的充要条件定理（级数收敛的柯西准则） 级数（）收敛的充要条件：，当时，对有：根据定理，我们立刻可以写出级数（1）发散的充要条件：，和有： （）由定理立即可以得出如下推论，它是级数收敛的一个必要而非充分条件推论若级数（1）收敛，则注：在实际应用中，我们常常先考虑推论的逆否命题从而来判断该级数是否发散例2设正项级数发散，其前项和记为，试证级数也是发散的证.因为，故对，当充分大时有，从而，所以级数发散命题设数项级数的部分和数列为，则1）若或，则； 2）设， ，则 a)若（）收敛于,则；b)若收敛于，则例3 讨论级数的敛散性解由于，设为收敛，故由命题知原级数也收敛 2正项级数2.1正项级数及定义设有数项级数，若数项级数各项的符号都相同，称它为同号级数其中，若各项均为正数，则称它为正项级数2.2正项级数敛散性的一般判别原则定理1正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界注：定理1解决了一类级数的收敛问题,不必研究，只需粗略地估计当时是否保持有界就可以了，它是判断正项级数敛散性的最基本方法，几乎所有判别法都是由它导出，但是在具体应用时不大方便定理2设两个正项级数与，有，是正常数1）若级数收敛，则级数也收敛；2）若级数发散，则级数也发散推论设两个正项级数与，且 1）若级数收敛，且，则级数也收敛；2） 若级数发散，且，则级数也发散例4设收敛，证明：收敛（）证因为 ，易知：收敛（积分判别法），又收敛，所以收敛由比较原则知收敛总结1）比较原则重在比较，是利用两个正项级数的通项结构来比较必须掌握等比级数，调和级数，p-级数的敛散性，因为比较原则的比较对象常常就是上述三种级数；2）要证明某一个级数收敛，需要找一个通项比大的收敛的整形级数，即，也就是需要将所求的级数通项级数项放大；3）要证明某一个级数发散，需要找一个通项比小的发散的正项级数，即，也就是需要将所求的级数通项缩小；4）判断正项级数敛散性的一般步骤：() 检查通项：若，可判断级数发散否则进入()() 用比较原则若 或极限不存在，则入()() 用比较原则或比较原则的极限形式，若无法找到适用的比较级数，则进入()() 检查正项级数的部分和数列是否有上界或判别是否存在，若有上界则收敛,若无上界则发散；若存在极限则收敛,反之发散 用比较原则判断正项级数的敛散性，需要另外找到一个适当的正项级数作为比较级数，在实际生活中往往不是一件轻而易举的事情于是数学家们设想在比较原则的基础上寻找到直接用待判级数的通项构造判别式，不必另找比较级数，只需研究这个判别式就可判定级数的敛散性研究的结果获得了由比较原则派生出来的种种正项级数敛散性的判别法比式判别法与根式判别法，它们都是以比较原则为基础，与几何级数比较得到的，现介绍如下：2.3比式判别法与根式判别法2.3.1比式判别法(达朗贝尔判别法) 定理3(比式判别法) 设正项级数,存在常数 1）若，有 ，则级数收敛； 2）若，有 ，则级数发散推论 若为正项级数，且，则1）当时，级数收敛；2）当时，级数发散注 由于正项级数的通项的前后两项的比值一般不会直接得出一个常数，所以在判别正项级数的敛散性时常用比式判别法的推论例5 证明级数收敛证因为 ，由比式判别法知收敛，再由比较原则知收敛，即收敛总结 1）当正项级数的一般项具有积、商、幂的形式，且中含有、及形如的因子时，用比式判别法比较简便2）一般地，当是n的有理式时，用比式判别法得不出结果例如级数,由于，故比式判别法失效而，且级数收敛，故由比较原则知，级数也收敛2.3.2根式判别法(柯西判别法) 定理4(根式判别法) 设正项级数，存在常数 1）若,有 ，则级数收敛； 2）若存在无限个n，有 ，则级数发散推论 有正项级数，若，则1）当时，级数收敛；2）当时，级数发散注 由于正项级数的通项开n次方根一般不能直接得出一个常数，所以常用根式判别法的推论判别级数的敛散性总结 1）当正项级数的一般项为n次方形式，用根式判别法比较方便从理论上来说，凡是能用比式判别法判断其敛散性的级数，必定也能用根式判别法来判断其敛散性，但反之不成立例如：级数，因为所以用比式判别法无法判定级数的敛散性，而可以用根式判别法，故原级数收敛由此可见,根式判别法比比式判别法适用的面要广些，但通常比式判别法用起来方便些）一般情况下，在判别正项级数的敛散性时，若所求级数通项中出现对数、三角函数的有理式等形式时，考虑用比较原则及其推论，既省力又简单；若出现等形式时，考虑用比式判别法；若出现的次幂时，考虑用根式判别法判别其敛散性要好一些.2.3.3 比式判别法和根式判别法失效的情况在比式判别法和根式判别法中只讨论了的情况，并没有考虑的情况，也没有考虑不存在又是怎样的情况，这说明这两种判别法存在着一定的不足1对于比式判别法存在两点不足：(1)当时,判别法失效，既有收敛的，又有发散的级数例如-级数；(2)比式判别法可能由于根本不存在而失效例如级数：2对于根式判别法存在两点不足：（1）当时，判别法失效，既有收敛的，又有发散的级数例如p-级数；（2）根式判别法可能由于根本不存在而失效例如级数：由于,则有不存在，从而根式判别法失效，但级数是发散的.比式判别法与根式判别法其实质是把所讨论的级数和收敛的几何级数来比较，它的项比几何级数的项大，而和发散的几何级数来比，它的项要比几何级数的项要小也就是说，只有那些级数的通项收敛于零的速度比某一几何级数收敛速度快的级数这两种方法才能鉴定出它的收敛性如果级数的通项收敛速度较慢，它们就无能为力了这就说明要想检验级数的敛散性，几何级数这把尺子的精确度不够数学家拉贝用级数代替几何级数，仿照比值判别法建立了一个拉贝判别法，它比比式判别法要精确，现介绍如下：2.4 拉贝判别法定理5(拉贝判别法) 设正项级数，存在常数1) 若，有，则级数收敛；2) 若，有，则级数发散推论 设正项级数，且极限存在，若1) 当时，级数收敛；2) 当时，级数发散例6 讨论级数当时的敛散性分析 无论哪一值，对级数的比式极限都有所以用比式判别法无法判别该级数的敛散性.现在用拉贝判别法来讨论解 当时，由于，所以根据拉贝判别法知，原级数是发散的当时，由于，所以原级数是发散的当时,由于，所以原级数收敛总结 以上可知，某些用比式判别法不能判别的级数可用拉贝判别法判别，但是用拉贝判别法也同样要受到比较因子这把尺子精确度的限制值得注意的是这个精确化的过程是没有尽头的，因为杜布洼雷知恩曾证明，任何收敛的正项级数，都有比它收敛得更快的级数存在还有人证明：任何发散的正项级数也有比它发散得更慢的级数存在这说明没有收敛的最快的级数，也没用发散的最慢的级数，所以要想建立一种对一切正项级数都有效的比较标准是不可能的2.5 积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性定理6(积分判别法) 设为上非负减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散 总结 利用积分判别法判别正项级数的敛散性的方法是：把中的换成连续变量，若是上广义单调减少的正值连续函数，则有相同的敛散性，判别出广义积分的敛散性就可知道所给级数的敛散性当的敛散性容易判别时，用积分判别法比较方便比如形如等类级数的敛散性均可用积分判别法断定例7 判断级数敛散性解 令，显然为非负单调递减函数 ，所以发散，由积分判别法知级数发散2.6对数判别法 定理7 设正项级数，（1） 若存在及自然数，使当时有：，则收敛；（2）若存在自然数，使当时有：,则发散证 （1）由条件知：当时有，由于收敛，所以也收敛（2） 由条件知：当时有，由于发散，所以也发散例8判断级数的敛散性解记则因，故由归结原理知：所以原级数收敛2.7 型和 型正项级数判别法我们已经讨论了用比较原则、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法、积分判别法和对数判别法判断正项级数的敛散性，如果正项级数是形如的形式，那么用根式判别法就能判别出来；如果形如的形式，则用比式判别法容易解决假如是形如的形式或者比这个更复杂，那么用上述两种解法就不一定能解出来这就要求我们寻找新的方法，这种形式也暗示着我们能否将两种方法有机结合起来，形成一种新的判别方法呢：基于这个考虑，经过深入细致的研究并做了大量的实验，利用逻辑推理得出以下结论：定理8 设有正项级数，且, （或），则（1） 若,则级数收敛；（2） 若，则级数发散证明（1）若，则存在，使得根据假设，存在，使得，由极限定义知,存在，当时，有，当时，有，所以当时，有由于改变级数前面的有限多项不影响其敛散性，故可认为对一切自然数都有：,所以由于收敛，由正项级数的比较判别法知，级数收敛(2)若,同理可证级数发散那么，人们自然会问：形如的级数，是否也能将柯西判别法和达朗贝尔判别法结合起来呢？我们同样可得出下列结论：定理9 设正项级数，若，则（1） 当时,级数收敛；（2） 当时,级数发散证明 设，存在，易证对于，由极限定义可知，即：根据正项级数的比较判别法可知，级数收敛，所以级数收敛对于第二种情况,可以采取同样的方法证明有了这个判定方法，原来那些不易求的问题就变得迎刃而解 例9 讨论级数的敛散性分析 我们先可以用比式判别法和根式判别法去试一试，发现做起来并不容易，将分解为 解 令，则 ，因为，由定理8可知，级数收敛总结对于新方法的推导,我们从中得到的启示是:要重视数学中的逻辑推理证明，在数学中通过大量观察、综合归纳得出的结论，最后必须经过严格的逻辑证明，才能得到最终确认3交错级数3.1交错级数及定义定义 考虑如下的级数 （其中） （3）我们称这样的级数为交错级数3.2交错级数收敛性的一般判别原则 交错级数是数学分析重要内容之一，对于交错级数敛散性的判别在许多数学分析教材中给出了莱布尼玆判别法定理（莱布尼玆判别法）对于交错级数（3）若满足两个条件：（1）数列单调递减；（2），则交错级数（1）收敛注 莱布尼玆判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件；如果数列不满足单调递减性时不能判定级数（3）式发散下面我们将以定理的形式介绍另一种在已知交错级数不绝对收敛的情况下如何判定交错级数敛散性的方法为了证明定理先看引理引理1 设交错级数，若：（） 当时此级数的通项趋于；（） 通过重新组合已给级数各项，但不改变级数各项原有顺序所得的某一新的级数也收敛；（） 在和式中相加项的数目是有限的则级数收敛证明设中相加项的数目不超过某一固定的自然数，即，任给，考察由于（当时），于是存在自然数，使得当时有，再由收敛性知存在，使得当及为任意自然数时有，取，当时对任意自然数，考虑，注意到每一个必属于某一个，记的项的集合为，即知：当时，若，,则必有在中，显然，再看以后的各项便有，其中，显然，是中一部分之和，是中一部分之和，于是(记)，从而，由柯西收敛准则知级数收敛定理2 若交错级数（3）满足（a）；（b）发散则）若收敛，则级数（1）也收敛.）若发散，则级数（1）也发散证明 若收敛，即和式相加项数有限，由引理知级数收敛，若发散，利用反证法，假设收敛，由收敛级数的性质知也收敛，这与已知条件矛盾,故定理成立推论交错级数依次项添加括号构成的级数记作（*）若满足条件：(a）级数（*）收敛于；(b）则交错级数必收敛于；若级数（*）发散或，则交错级数发散例10 判别级数的敛散性解此级数为交错级数且一般项趋于，该项的绝对值级数为，显然该级数是发散的考察为发散级数，由定理2知原级数为发散级数3.3 拉贝判别法下面以定理的形式介绍一种新的判别方法，该方法不仅能判定交错级数的敛散性，而且还能判别它是绝对收敛还是条件收敛，该定理的判别模式是极限的形式，运用起来极为方便引理2 若且，则证明在参考文献中有介绍，这里就不作证明定理3（拉贝判别法）对于级数（3）若则当时，级数（3）绝对收敛；当时，级数（3）条件收敛；当时，级数（3）发散；当时，级数（3）可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛；当时，级数（3）收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛证明 若及，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，取使得，则存在自然数，使得当时有或者，因此当，时有，且单调递减由引理2知，取，于是时有，因此当时，级数绝对收敛；当时，级数条件收敛；当时，级数（1）发散；当时，级数收敛，可进一步用其他方法判断是绝对收敛还是条件收敛；当时，级数可能发散也可能条件收敛，但不会绝对收敛例如收敛，发散例11 判别级数的敛散性解 因为，故级数条件收敛例12 判别级数 的敛散性解 ，由定理可得：当即时原级数条件收敛；当即时原级数绝对收敛；当即时原级数收敛，此时原级数为为条件收敛；当即时原级数发散；当即时原级数为发散综上可得原级数当时发散，当时条件收敛，当时绝对收敛4绝对收敛级数4.1绝对收敛级数及定义 若级数 (4)各项绝对值所组成的级数 (5)收敛，则称原级数（4）为绝对收敛；若级数（4）收敛，但级数（5）不收敛，则称级数（4）为条件收敛4.2绝对收敛级数收敛性的一般判别原则 定理 绝对收敛的级数一定收敛5阿贝尔判别法和狄利克雷判别法5.1阿贝尔判别法定理1 设级数，若为单调有界数列，且级数收敛，则级数收敛5.2狄利克雷判别法 定理2 设级数，若单调递减，且，又级数的部分和数列有界，则级数收敛 例13 证明：若数列 具有性质： ,，则级数 对任何x都收敛. 证明：因为= 当x时,故有： 所以级数 的部分和数列当x时有界，由狄利克雷判别法得级数收敛.6总结数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决数项级数的求和问题必须先解决数项级数收敛性判断。数项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。本文归纳总结数项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的数项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断。总结了数项级数敛散性的判别法和解题思路后，我们就能更好地掌握如何先则数项级数敛散性的判别法，做到避繁就简，思路清晰，起到事半功倍的效果。参 考 文 献1 华东师范大学数学系.数学分析（下册）M.北京:高等教育出版社,2006:17-19.2 赵树原,胡显佑,陆启良.微积分学习与考试指导M.中国人民大学出版社, 1999.3 吉米多维其.数学分析(下册)M.费定晖,周学圣,译.济南:山东科学技术出版 社,2005:81-83.4 华中师范大学数学系.数学分析(下册)M.武汉:华中师范大学出版 社,2001:243-245.5 范新华.关于交错级数敛散性判别法的一些探讨J.常州工学院学 报,2007,20(5):57-59.6 肖清风.交错级数敛散性的探究J.黄山学院报,2004,6(3):3-7.7 周玉霞.关于交错级数敛散性判别法的补充J.高等数学研究,2007,10(3):40-42.8 骆汝九.交错级数敛散性的一个判别定理J.盐城工学院学报,2000,13(1):73-75.9 江莹茵.交错级数收敛准则的探讨J.甘肃联合大学学报(自然科学 报),2005,19(2):6-7.10 郑玉敏.交错级数敛散性判别法J.大学数学,2009,4(2):192-194.11 刘晓玲,张艳霞.交错级数敛散性的一个判别法J.高等数学研 究,2007,10(3):51.12 张建军,宋业新.关于交错级数敛散性判别的探究J.高等数学研 究,2009,12(3):38-40.13 杨志忠.关于一类交错级数敛散性的一种判别方法J.青海师专学报，2009,6（5）：42-44Several series convergence discriminant methodSUN ZhongkeAbstract:The judging methods of the convergence of several series are summarized in this article.In addition,some new judging methods,new propositions and applications are added on the basis of teaching materials, in the way,a general trains of thoughts is given. . Keywords:several series; The quality of convergence; Judging methods; Induce and summarize; Train of thoughts第21页（共21页）