江苏省南师附中高三高考模拟卷（十）（最后一卷）数学试题及答案

20122012 届届南师附中南师附中高三模拟考试试卷高三模拟考试试卷( (十十) ) 数数 学学 ( (满分满分 160160 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟) ) 201220125 5 参考公式：参考公式： 锥体的体积公式为锥体的体积公式为 V V1 13 3ShSh， 其中， 其中 S S 是锥体的底面积，是锥体的底面积， h h 是锥体的是锥体的高高 一、一、 填空题：本大题共填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分分 1. 1. 设 集 合设 集 合 U U R R ， 集 合， 集 合 M M x|xx|x2 2 x x 00 ， 则， 则 U UM M _ 2. 2. 高三高三(1)(1)班共有班共有 4848 人，学号依次为人，学号依次为 1 1，2 2，3 3，4848，现用，现用系统抽样的方法抽取一个容量为系统抽样的方法抽取一个容量为 4 4 的样本，已知学号的样本，已知学号 5 5，2929，4141 在样在样本中，那么还有一个同学的学本中，那么还有一个同学的学号应为号应为_ ( (第第 4 4 题题) ) 3. 3. 已 知已 知 i i 为 虚 数 单 位 ，为 虚 数 单 位 ， a ai ii i 2 2 ， 则 正 实 数， 则 正 实 数 a a _ 4. 4. 执行右图所示的算法流程图，若输出的结果为执行右图所示的算法流程图，若输出的结果为1 12 2，则输入的，则输入的 x x为为_ 5. 5. 在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOyxOy 中，角的始边与中，角的始边与 x x 轴正半轴重合，轴正半轴重合，终边在直线终边在直线 y y 3 3x x 上，且上，且 x x0 0，则，则 sinsin_ 6. 6. 从集合从集合 1 1，2 2，3 3，4 4，55中随机选取一个数记为中随机选取一个数记为 a a，从集合，从集合22，3 3，44中随机选取一个数记为中随机选取一个数记为 b b，则，则 b ba a 的概率是的概率是_ 7. 7. 已知向量已知向量a a(x(xz z，1)1)，b b(2(2，y yz)z)，且，且a ab b. .若若 x x，y y满足不等式组满足不等式组 x x2y2y2 20 0，x x2y2y2 20 0，x x2 2，则则 z z 的取值范围是的取值范围是_ 8. 8. “a a1 1”是是“函数函数 f(x)f(x)2 2x xa a2 2x xa a在其定义域上为奇函数在其定义域上为奇函数”的的_条件条件( (填填“充分不必要充分不必要” “必要不充分必要不充分” “” “充要充要”或或“既既不充分也不必要不充分也不必要”) ) ( (第第 9 9 题题) ) 9. 9. 已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120120，底面圆的半径为，底面圆的半径为 1 1，则该圆锥的体积为，则该圆锥的体积为_ 10. 10. 已知已知 F F 是双曲线是双曲线 C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(a1(a0 0，b b0)0)的左焦点，的左焦点，B B1 1B B2 2是双曲线的虚轴，是双曲线的虚轴，M M 是是 OBOB1 1的中点，过的中点，过 F F、M M 的直线交双曲线的直线交双曲线 C C 于于 A A，且且FMFM2 2MAMA，则双曲线，则双曲线 C C 离心率是离心率是_ 11. 11. 已知数列已知数列aan n 是公差不为是公差不为 0 0 的等差数列，的等差数列，bbn n 是等比数列，是等比数列，其中其中 a a1 13 3，b b1 11 1，a a2 2b b2 2，3a3a5 5b b3 3，若存在常数，若存在常数 u u，v v 对任意正整数对任意正整数n n 都有都有 a an n3log3logu ub bn nv v，则，则 u uv v_ 12. 12. 已知函数已知函数 f(x)f(x)logloga a(x(x3 3ax)(aax)(a0 0 且且 a a1)1)， 如果函数， 如果函数 f(x)f(x)在区间在区间 1 12 2，0 0 内单调递增，那么内单调递增，那么 a a 的取值范围是的取值范围是_ ( (第第 1313 题题) ) 13. 13. 如图，线段如图，线段 EFEF 的长度为的长度为 1 1，端点，端点 E E、F F 在边长不小于在边长不小于 1 1 的正的正方形方形 ABCDABCD 的四边上滑动当的四边上滑动当 E E、F F 沿着正方形的四边滑动一周时，沿着正方形的四边滑动一周时，EFEF的中点的中点 M M 所形成的轨道为所形成的轨道为 G.G.若若 G G 的周长为的周长为 l l，其围成的面积为，其围成的面积为 S S，则，则l lS S 的最大值为的最大值为_ 14. 14. 记记 F(aF(a，) )a a2 22asin2asin2 2a a2 22acos2acos2 2，对于任意实数，对于任意实数 a a、，、，F(aF(a，) )的最大值与最小值的和是的最大值与最小值的和是_ 二、二、 解答题：本大题共解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分解答时应写出必要的分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 15. (15. (本小题满分本小题满分 1414 分分) ) 已知函数已知函数 f f(x)(x)Asin(xAsin(x)(A)(A0 0，0 0) )，x xR R 的图象的图象有一个最高点有一个最高点 3 3，1 1 . . (1) (1) 求求 f(x)f(x)的解析式；的解析式； (2) (2) 若为锐角，且若为锐角，且 f(f() )1 13 3，求，求 f(f() )的值的值 16.(16.(本小题满分本小题满分 1414 分分) ) 如图， 正方形如图， 正方形 ABCDABCD 和三角形和三角形 ACEACE 所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直 EFEFBDBD，ABAB 2 2EF.EF.求证：求证： (1) BF(1) BF平面平面 ACEACE； (2) BF(2) BFBD.BD. 17. (17. (本小题满分本小题满分 1414 分分) ) 如图，现有一个以如图，现有一个以AOBAOB 为圆心角、湖岸为圆心角、湖岸 OAOA 与与 OBOB 为半径的扇形为半径的扇形湖面湖面 AOB.AOB.现欲在弧现欲在弧 ABAB 上取不同于上取不同于 A A、B B 的点的点 C C，用渔网沿着弧，用渔网沿着弧 AC(AC(弧弧ACAC 在扇形在扇形 AOBAOB 的弧的弧 ABAB 上上) )、半径、半径 OCOC 和线段和线段 CD(CD(其中其中 CDCDOA)OA)，在该，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域扇形湖面内隔出两个养殖区域养殖区域养殖区域和养殖区域和养殖区域. .若若 OAOA1 km1 km，AOBAOB3 3，AOCAOC. . (1) (1) 用表示用表示 CDCD 的长度；的长度； (2) (2) 求所需渔网长度求所需渔网长度( (即图中弧即图中弧 ACAC、 半径、 半径 OCOC 和线段和线段 CDCD 长度之和长度之和) )的取值范围的取值范围 18. (18. (本小题满分本小题满分 1616 分分) ) 已知抛物线已知抛物线 D D 的顶点是椭圆的顶点是椭圆 C C：x x2 21616y y2 215151 1 的中心，焦点与该椭的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合圆的右焦点重合 (1) (1) 求抛物线求抛物线 D D 的方程；的方程； (2) (2) 过椭圆过椭圆 C C 右顶点右顶点 A A 的直线的直线 l l 交抛物线交抛物线 D D 于于 M M、N N 两点两点 若直线若直线 l l 的斜率为的斜率为 1 1，求，求 MNMN 的长；的长； 是否存在垂直于是否存在垂直于x x轴的直线轴的直线m m被以被以MAMA为直径的圆为直径的圆E E所截得的所截得的弦长为定值？如果存在，求出弦长为定值？如果存在，求出 m m 的方程；如果不存在，说明理由的方程；如果不存在，说明理由 19. (19. (本小题满分本小题满分 1616 分分) ) 已知函数已知函数 f(x)f(x)mxmx2 2x xlnx.lnx. (1) (1) 当当 m m1 1 时，求时，求 f(x)f(x)的最大值；的最大值； (2) (2) 若在函数若在函数 f(x)f(x)的定义域内存在区间的定义域内存在区间 D D， 使得该函数在区， 使得该函数在区间间 D D上为减函数，求上为减函数，求 m m 的取值范围；的取值范围； (3) (3) 当当 m m0 0 时，若曲线时，若曲线 C C：y yf(x)f(x)在点在点 x x1 1 处的切线处的切线 l l 与与 C C有且只有一个公共点，求有且只有一个公共点，求 m m 的值的值 20. (20. (本小题满分本小题满分 1616 分分) ) 如果无穷数列如果无穷数列aan n 满足下列条件：满足下列条件： a an na an n2 22 2a an n1 1； 存在实存在实数数 M M，使得，使得 a an nM M，其中，其中 n nN N* *，那么我们称数列，那么我们称数列aan n 为数列为数列 (1) (1) 设数列设数列bbn n 的通项为的通项为 b bn n5n5n2 2n n，且是数列，求，且是数列，求 M M 的取值的取值范围；范围； (2) (2) 设设ccn n 是各项为正数的等比数列，是各项为正数的等比数列，S Sn n是其前是其前 n n 项和，项和，c c3 31 14 4，S S3 37 74 4，证明：数列，证明：数列SSn n 是数列；是数列； (3) (3) 设数列设数列ddn n 是各项均为正整数的数列，求证：是各项均为正整数的数列，求证：d dn nd dn n1 1. . 20122012 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷( (十十) ) 数学附加题数学附加题( (满分满分 4040 分，考试时间分，考试时间 3030 分钟分钟) ) 21. 21. 【选做题】【选做题】 在在 A A、B B、C C、D D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 2 题，每小题题，每小题1010 分，共分，共 2020 分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤要的文字说明、证明过程或演算步骤 A. (A. (选修选修 4141：几何证明选讲：几何证明选讲) ) 从从O O 外一点外一点 P P 向圆引两条切线向圆引两条切线 PAPA、PBPB 和割线和割线 PCD.PCD.从从 A A 点作弦点作弦AEAE 平行于平行于 CDCD，连结，连结 BEBE 交交 CDCD 于于 F.F.求证：求证：BEBE 平平分分 CD.CD. B. (B. (选修选修 4242：矩阵与变换：矩阵与变换) ) 已知二阶矩阵已知二阶矩阵A A a a 3 3c c 1 1，矩阵，矩阵A A属于特征值属于特征值1 11 1 的一个特的一个特征向量为征向量为1 1 1 11 1. . (1) (1) 求矩阵求矩阵A A的另一个特征值及其对应的一个特征向量；的另一个特征值及其对应的一个特征向量； (2) (2) 若向量若向量m m 1 14 4，求，求A A4 4m m. . C. (C. (选修选修 4444：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程) ) 在极在极坐标系中，点坐标系中，点 A A 2 2 2 2，4 4，圆，圆 O O1 1：4cos4cos4sin4sin. . (1) (1) 将圆将圆 O O1 1的极坐标方程化为直角坐标方程；的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) (2) 判断点判断点 A A 与圆与圆 O O1 1的位置关系的位置关系 D. (D. (选修选修 4545：不等式选讲：不等式选讲) ) 已知已知 a a，b b，x x，y y 均为正数，且均为正数，且1 1a a1 1b b，x xy.y.求证：求证：x xx xa ay yy yb b. . 【必做题】【必做题】 第第 2222、2323 题，每小题题，每小题 1010 分，共分，共 2020 分解答时应写分解答时应写出出必要的文字说明、证明过程或演算步骤必要的文字说明、证明过程或演算步骤 22. 22. 文娱队的每位队员唱歌、 跳舞至少会一项 已知会唱歌的有文娱队的每位队员唱歌、 跳舞至少会一项 已知会唱歌的有2 2 人，会跳舞的有人，会跳舞的有 5 5 人，现从文娱队中选人，现从文娱队中选 2 2 人，设人，设 X X 为选出的人中既为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且会唱歌又会跳舞的人数，且 P(XP(X0)0)7 71010. . (1) (1) 求文娱队的总人数；求文娱队的总人数； (2) (2) 计算计算 E(X)E(X) 23.23.已知已知 f fn n(x)(x)(1(1 x x) )n n，n nN N* *. . (1) (1) 若若 g(x)g(x)f f4 4(x)(x)2f2f5 5(x)(x)3f3f6 6(x)(x)， 求， 求 g(x)g(x)中含中含 x x2 2项的系数；项的系数； (2) (2) 若若 p pn n是是 f fn n(x)(x)展开式中所有无理项的系数和，数列展开式中所有无理项的系数和，数列aan n 是各是各项都大于项都大于 1 1 的数组成的数列，试用数学归纳法证明：的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p pn n(a(a1 1a a2 2a an n1)1)(1(1a a1 1)(1)(1a a2 2) )(1(1a an n) ) 20122012 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷( (十十)()(南师附中南师附中) ) 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 1. (01. (0，1)1) 2. 172. 17 3. 3. 3 3 4. 4. 2 2 5. 5. 3 32 2 6. 6. 2 25 5 7. 7. 1 13 3z z2 2 8. 8. 充分不必要充分不必要 9. 9. 2 2 2 23 3 10. 10. 5 52 2 11. 611. 6 12. 12. 3 34 4，1 1 13. 13. 5 54 4 14. 414. 4 15. 15. 解：解：(1) (1) 由题意，由题意，A A1 1，sinsin 3 3 1 1，又，又 0 0，所以所以6 6， 所以所以 f(x)f(x)sinsin x x6 6.(6.(6 分分) ) (2) (2) 由题意，由题意， sinsin 6 61 13 31 12 2， 又， 又 0 0，2 2， 所以， 所以6 6 0 0，6 6， 所以所以 coscos 6 62 2 2 23 3，(10(10 分分) ) 所以所以 f(f() )sinsin 6 6sinsin 3 3 6 6sinsin3 3coscos 6 6coscos3 3sinsin 6 6 3 32 22 2 2 23 31 12 21 13 32 2 6 61 16 6.(14.(14 分分) ) 16. 16. 证明：证明：(1) AC(1) AC 与与 BDBD 交于交于 O O 点，连结点，连结 EO.EO. 正方形正方形 ABCDABCD 中，中， 2 2BOBOABAB，又因为，又因为 ABAB 2 2EFEF， BOBOEFEF，又因为，又因为 EFEFBDBD， EFBOEFBO 是平行四边形是平行四边形 BFBFEOEO，又，又 BFBFACEACE，EOEOACEACE， BFBF平面平面 ACE.(7ACE.(7 分分) ) (2) (2) 正方形正方形 ABCDABCD 中，中，ACACBDBD，又因为正方形，又因为正方形 ABCDABCD 和三角形和三角形 ACEACE所在的平面互相垂直，所在的平面互相垂直， BDBDABCDABCD，平面，平面 ABCDABCD平面平面 ACEACEACAC， BDBD平面平面 ACEACE， EOEOACEACE BDBDEOEO， EOEOBFBF， BFBFBD.(14BD.(14 分分) ) 17. 17. 解：解：(1) (1) 由由 CDCDOAOA，AOBAOB3 3，AOCAOC，得，得OCDOCD， ODCODC2 23 3，CODCOD3 3. . 在在OCDOCD 中，由正弦定理，中，由正弦定理， 得得 CDCD2 23 3sinsin 3 3 ， 0 0，3 3(6(6 分分) ) (2) (2) 设渔网的长度为设渔网的长度为 f(f() )由由(1)(1)可知，可知， f(f() )1 12 23 3sinsin 3 3 .(8.(8 分分) ) 所以所以 f f( () )1 12 23 3coscos 3 3 ，因为因为 0 0，3 3，所以所以3 3 0 0，3 3， 令令 f f( () )0 0，得得 coscos 3 3 3 32 2，所以所以3 36 6，所以所以6 6. . 0 0，6 6 6 6 6 6，3 3 f f( () ) 0 0 f(f() ) 极大极大值值 所以所以 f(f() ) 2 2，6 62 2 3 36 6. . 故所需渔网长度的取值范围是故所需渔网长度的取值范围是 2 2，6 62 2 3 36 6.(14.(14 分分) ) 18. 18. 解：解：(1) (1) 由题意，可设抛物线方程为由题意，可设抛物线方程为 y y2 22px(p2px(p0)0)由由 a a2 2b b2 24 43 31 1，得，得 c c1.1. 抛物线的焦点为抛物线的焦点为(1(1，0)0)， p p2.2. 抛物线抛物线 D D 的方程为的方程为 y y2 24x.(44x.(4 分分) ) (2) (2) 设设 A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) ) 直线直线 l l 的方程为：的方程为：y yx x4 4，联立，联立 y yx x4 4，y y2 24x4x，整理得整理得 x x2 212x12x16160.0. M(6M(62 25 5，2 22 25 5) )，N(6N(62 25 5，2 22 25 5) )， MNMN（x x1 1x x2 2）2 2（y y1 1y y2 2）2 24 4 1010.(9.(9 分分) ) 设存在直线设存在直线 m m：x xa a 满足题意，则圆心满足题意，则圆心 M M x x1 14 42 2，y y1 12 2，过，过 M M 作作直线直线 x xa a 的垂线，垂足为的垂线，垂足为 E E，设直线，设直线 m m 与圆与圆 M M 的一个交点为的一个交点为 G.G.可得可得|EG|EG|2 2|MG|MG|2 2|ME|ME|2 2，(11(11 分分) ) 即即|EG|EG|2 2|MA|MA|2 2|ME|ME|2 2（x x1 14 4）2 2y y2 21 14 4 x x1 14 42 2a a2 2 1 14 4y y2 21 1（x x1 14 4）2 2（x x1 14 4）2 24 4a(xa(x1 14)4)a a2 2 x x1 14x4x1 1a(xa(x1 14)4)a a2 2(a(a3)x3)x1 14a4aa a2 2.(14.(14 分分) ) 当当 a a3 3 时，时，|EG|EG|2 23 3，此时直线，此时直线 m m 被以被以 APAP 为直径的圆为直径的圆 M M 所截得所截得的弦长恒为定值的弦长恒为定值 2 2 3 3. . 因此存在直线因此存在直线 m m：x x3 3 满足题意满足题意(16(16 分分) ) 19. 19. 解：解：(1) (1) 当当 m m1 1 时，时，f(x)f(x)x x2 2x xlnxlnx， 所以所以 f f(x)(x)2x2x1 11 1x x（2x2x1 1）（）（x x1 1）x x， 所以当所以当 0 0 x x1 12 2，f f(x)(x)0 0，当，当 x x1 12 2，f f(x)(x)0 0， 因此当因此当 x x1 12 2时，时，f(x)f(x)maxmaxf f 1 12 23 34 4ln2.(3ln2.(3 分分) ) (2) f(2) f(x)(x)2mx2mx1 11 1x x2mx2mx2 2x x1 1x x，即，即 2mx2mx2 2x x1 10 0 在在(0(0，) )上有解上有解 m m0 0 显然成立；显然成立； m m0 0 时，由于对称轴时，由于对称轴 x x1 14m4m0 0，故，故1 18m8m0 0m m1 18 8， 综上，综上，m m1 18 8.(8.(8 分分) ) (3) (3) 因为因为 f(1)f(1)m m1 1，f f(1)(1)2m2m， 所以切线方程为所以切线方程为 y ym m1 12m(x2m(x1)1)，即，即 y y2mx2mxm m1 1， 从而方程从而方程 mxmx2 2x xlnxlnx2mx2mxm m1 1 在在(0(0，) )上只有一解上只有一解 令令 g(x)g(x)mxmx2 2x xlnxlnx2mx2mxm m1 1，则，则 g g (x)(x) 2mx2mx 1 1 2m2m 1 1x x2mx2mx2 2（2m2m1 1）x x1 1x x（2mx2mx1 1）（）（x x1 1）x x，(10(10 分分) ) 所以所以 1 1 m m1 12 2，g g(x)(x)0 0， 所以所以 y yg(x)g(x)在在 x x(0(0，) )单调递增，且单调递增，且 g(1)g(1)0 0， 所以所以 mxmx2 2x xlnxlnx2mx2mxm m1 1 只有一解只有一解(12(12 分分) ) 2 2 0 0m m1 12 2，x x(0(0，1)1)，g g(x)(x)0 0；x x 1 1，1 12m2m，g g(x)(x)0 0；x x 1 12m2m， ，g g(x)(x)0 0 由由 g(1)g(1)0 0 及函数单调性可知及函数单调性可知 g g 1 12m2m0 0， 因为因为 g(x)g(x)mxmx x x 2 21 1m mm mlnxlnx1 1，取，取 x x2 21 1m m，则，则 g g 2 21 1m m0.0. 因此在因此在 1 12m2m， 方程方程 mxmx2 2x xlnxlnx2mx2mxm m1 1 必有一解从而必有一解从而不符题意不符题意(14(14 分分) ) 3 3 m m1 12 2，x x 0 0，1 12m2m，g g(x)(x)0 0；x x 1 12m2m，1 1 ，g g(x)(x)0 0；x x(1(1，) )，g g(x)(x)0 0 同理在同理在 0 0，1 12m2m方程方程 mxmx2 2x xlnxlnx2mx2mxm m1 1 必有一解，不符题必有一解，不符题意，意， 综上所述综上所述 m m1 12 2.(16.(16 分分) ) 20. (1) 20. (1) 解：解： b bn n1 1b bn n5 52 2n n， n n3 3，b bn n1 1b bn n0 0，故数，故数列列bbn n 单调递减；单调递减；(3(3 分分) ) 当当 n n1 1，2 2 时，时，b bn n1 1b bn n0 0，即，即 b b1 1b b2 2b b3 3， 则数列则数列bbn n 中的最大项是中的最大项是 b b3 37 7，所以，所以 M M7.(47.(4 分分) ) (2) (2) 证明：证明： ccn n 是各项正数的等比数列，是各项正数的等比数列，S Sn n是其前是其前 n n 项和，项和，c c3 31 14 4，S S3 37 74 4， 设其公比为设其公比为 q q0 0， c c3 3q q2 2c c3 3q qc c3 37 74 4.(6.(6 分分) ) 整理，得整理，得 6q6q2 2q q1 10 0，解得，解得 q q1 12 2，q q1 13 3( (舍去舍去) ) c c1 11 1，c cn n1 12 2n n1 1，S Sn n2 21 12 2n nS Sn n2 2，S S2.(82.(8 分分) ) 对任意的对任意的 n nN N* *， 有， 有S Sn nS Sn n2 22 22 21 12 2n n1 12 2n n2 22 21 12 2n nS Sn n2 2， 且， 且 S Sn n2 2， 故故SSn n 是数列是数列(10(10 分分) ) (3) (3) 证明：假设存在正整数证明：假设存在正整数 k k 使得使得 d dk kd dk k1 1成立，有数列成立，有数列ddn n 的的各项均为正整数，各项均为正整数， 可得可得 d dk kd dk k1 11 1，即，即 d dk k1 1d dk k1.1.因为因为d dk kd dk k2 22 2d dk k1 1， 所以所以 d dk k2 22d2dk k1 1d dk k2(d2(dk k1)1)d dk kd dk k2.2. 由由 d dk k2 22d2dk k1 1d dk k及及 d dk kd dk k1 1得得 d dk k2 22d2dk k1 1d dk k1 1d dk k1 1，故，故 d dk k2 2d dk k1 11.1. 因为因为d dk k1 1d dk k3 32 2d dk k2 2，所以，所以 d dk k3 32d2dk k2 2d dk k1 12(d2(dk k1 11)1)d dk k1 1d dk k1 12 2d dk k3 3， 由此类推，可得由此类推，可得 d dk km md dk km(mm(mN N* *) )(14(14 分分) ) 又存在又存在 M M，使，使 d dk kM M， m mM M，使，使 d dk km m0 0，这与数列，这与数列ddn n 的各的各项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意项均为正数矛盾，所以假设不成立，即对任意 n nN N* *，都有，都有 d dk kd dk k1 1成立成立(16(16 分分) ) 20122012 届高三模拟考试试卷届高三模拟考试试卷( (十十)()(南师附中南师附中) ) 数学附加题参考答案及评分标准数学附加题参考答案及评分标准 21. A. 21. A. 选修选修 4141：几何证明：几何证明选讲选讲 证明：连结证明：连结 OFOF、OPOP、OB.OB. AEAECDCD， PFBPFBAEB.AEB. PAPA，PBPB 是切线，是切线， POBPOBAEB.AEB. PFBPFBPOBPOB， O O，F F，B B，P P 四点共圆四点共圆(5(5 分分) ) 又又 OBPOBP9090， OFPOFP9090，由垂径定理可知，由垂径定理可知 CFCFDF.(10DF.(10 分分) ) B. B. 选修选修 4242：矩阵与变换：矩阵与变换 解：解：(1) (1) 由题意，由题意， a a 3 3c c 1 1 1 11 11 1 1 11 1， a a3 3c c1 1 1 1 1 1， a a2 2，c c2.2. 特征方程特征方程 2 2 3 32 2 1 1( (2)(2)(1)1)6 60 0， 解得， 解得1 1，4.4. 属于特征值属于特征值2 24 4 的一个特征向量的一个特征向量为为2 2 3 32 2.(5.(5 分分) ) (2) (2) m m 1 14 42 2 1 11 1 3 32 2. . A A4 4m m2A2A4 4 1 11 1A A4 4 3 32 22(2(1)1)4 4 1 11 14 44 4 3 32 2 2 22 24 44 4 3 32 2 766766514514.(10.(10 分分) ) C. C. 选修选修 4444：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：解：(1) (1) 圆圆 O O1 1：4cos4cos4sin4sin 2 24 4coscos4 4sinsinx x2 2y y2 24x4x4y.(54y.(5 分分) ) (2) A(2) A 2 2 2 2，4 4A(2A(2，2)2) AOAO1 1（2 22 2）2 2（2 22 2）2 24 42 22 2R R，点在圆外，点在圆外(10(10分分) ) D. D. 选修选修 4545：不等式选讲：不等式选讲 证 明 ：证 明 ： x xx xa ay yy yb bx x（y yb b）y y（x xa a）（x xa a）（）（y yb b）bxbxayay（x xa a）（）（y yb b）， 又又 b ba a0 0，x xy y0 0， (x(xa)(ya)(yb)b)0 0，bxbxayay，即，即 bxbxayay0 0， x xx xa ay yy yb b0 0，即，即x xx xa ay yy yb b.(10.(10 分分) ) 22. 22. 解：解：(1) (1) 设总人数为设总人数为 n n 个，则个，则 P(XP(X0)0)1 1P(XP(X0)0)1 1C C2 22n2n7 7C C2 2n n7 71010. . 2n2n7 72 2， n n4.5.4.5. 2 2n n7 7，n nN N* *n n5 5，6 6，逐个代入，得，逐个代入，得 n n5.(55.(5 分分) ) (2) P(X(2) P(X0)0)1 1P(XP(X0)0)1 17 710103 31010， P(XP(X2)2)C C2 22 2C C2 25 51 11010， P(XP(X1)1)1 11 110103 310106 610103 35 5， E(X)E(X)0 03 310102 21 110101 13 35 54 45 5.(10.(10 分分) ) 23. (1) 23. (1) 解：解：g(x)g(x)中含中含 x x2 2项的系数为项的系数为 C C4 44 42C2C4 45 53C3C4 46 61 11010454556.(356.(3 分分) ) (2) (2) 证明：由题意，证明：由题意，p pn n2 2n n1 1.(5.(5 分分) ) 当当 n n1 1 时，时，p p1 1(a(a1 11)1)a a1 11 1，成立；，成立； 假设当假设当 n nk k 时，时，p pk k(a(a1 1a a2 2a ak k1)1)(1(1a a1 1)(1)(1a a2 2) )(1(1a ak k) )成立，成立， 当当 n nk k1 1 时，时， (1(1a a1 1)(1)(1a a2 2) )(1(1a ak k)(1)(1a ak k1 1) )2 2k k1 1(a(a1 1a a2 2a ak k1)(11)(1a ak k1 1) ) 2 2k k1 1(a(a1 1a a2 2a ak ka ak k1 1a a1 1a a2 2a ak ka ak k1 11)1)(*)(*) a ak k1 1， a a1 1a a2 2a ak k(a(ak k1 11)1)a ak k1 11 1， 即即 a a1 1a a2 2a ak ka ak k1 11 1a a1 1a a2 2a ak ka ak k1 1， 代入代入(*)(*)式得式得(1(1a a1 1)(1)(1a a2 2) )(1(1a ak k)(1)(1a ak k1 1) )2 2k k(a(a1 1a a2 2a ak ka ak k1 11)1)成立成立 综合综合可知可知，p pn n(a(a1 1a a2 2a an n1)1)(1(1a a1 1)(1)(1a a2 2) )(1(1a an n) )对任对任意意 n nN N* *成立成立(10(10 分分) )