内蒙古包头市高一数学下学期期中试卷含解析

2016-2017学年内蒙古包头市高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题只有1个正确答案，每小题5分，共50分）1有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A棱台B棱锥C棱柱D都不对2垂直于同一条直线的两条直线一定（）A平行B相交C异面D以上都有可能3下列说法正确的是（）A三点确定一个平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点4已知向量，且，则实数k的值为（）A2B2C8D85如图RtOAB是一平面图形的直观图，斜边OB=2，则这个平面图形的面积是（）AB1CD6在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）AA1C1ADBD1C1ABCAC1与DC成45°角DA1C1与B1C成60°角7如图，ABC是直角三角形，ABC=90°，PA平面ABC，此图中直角三角形的个数为（）A1B2C3D48设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若l，lm，则mB若lm，m，则lC若l，m，则lmD若l，m，则lm9已知点A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向量为（）ABCD10已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）ABCD11如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱A A1和C C1上，AP=C1Q，则多面体A1B1C1PBQ的体积为（）ABCD12圆锥的底面半径为r，高是h，在这个圆锥内部有一个内接正方体，则此正方体的棱长等于（）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13球的表面积扩大为原来的4倍，它的体积扩大为原来的 倍14向量（3，4）在向量（1，2）上的投影为 15已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（）（），则= 16若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是 三、解答题（17题10分，18到22题每题12分，共70分）17已知向量（）若与的夹角为，求；（）若，求与的夹角18如图，一个组合体的三视图如图：（单位cm）（1）说出该几何体的结构特征；（2）求该组合体的体积（保留）；（3）求该组合体的全面积（保留）19如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，侧棱PA底面ABCD，E是PA的中点（）求证：PC平面BDE；（）证明：BDCE20正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为a，连接A'C'，A'D，A'B，BD，BC'，C'D，得到一个三棱锥A'BC'D求：（1）求异面直线A'D与C'D所成的角；（2）三棱锥A'BC'D的体积21在边长为2的正三角形ABC中， =2=3，设=（）用表示；（）求的值22如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=12，BC=10，AA1=8，过点A1、D1的平面与棱AB和CD分别交于点E、F，四边形A1EFD1为正方形（1）在图中请画出这个正方形（注意虚实线，不必写作法），并求AE的长；（2）问平面右侧部分是什么几何体，并求其体积2016-2017学年内蒙古包头市包钢四中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有1个正确答案，每小题5分，共50分）1有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（）A棱台B棱锥C棱柱D都不对【考点】L8：由三视图还原实物图【分析】根据主视图、左视图、俯视图的形状，将它们相交得到几何体的形状【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为正方形，下面看是正方形，并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，故这个三视图是四棱台 故选A2垂直于同一条直线的两条直线一定（）A平行B相交C异面D以上都有可能【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断【解答】解：分两种情况：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面故选D3下列说法正确的是（）A三点确定一个平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】由公理3知：不共线的三个点确定一个平面，即可判断A；四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，即可判断B；在同一平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，即可判断C；由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面，即可判断D【解答】解：A由公理3知：不共线的三个点确定一个平面，故A错；B四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B错；C在同一平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，故C对；D由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面，故D错故选C4已知向量，且，则实数k的值为（）A2B2C8D8【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，2k4=0，解得k=2故选：A5如图RtOAB是一平面图形的直观图，斜边OB=2，则这个平面图形的面积是（）AB1CD【考点】LB：平面图形的直观图【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果【解答】解：RtO'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，直角三角形的直角边长是，直角三角形的面积是，原平面图形的面积是1×2=2故选D6在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（）AA1C1ADBD1C1ABCAC1与DC成45°角DA1C1与B1C成60°角【考点】LM：异面直线及其所成的角；L2：棱柱的结构特征【分析】由题意画出正方体的图形，结合选项进行分析即可【解答】解：由题意画出如下图形：A因为ADA1D1，所以C1A1D1即为异面直线A1C1与AD所成的角，而C1A1D1=45°，所以A错；B因为D1C1CD，利平行公理4可以知道：ABCDC1D1，所以B错；C因为DCAB所以C1AB即为这两异面直线所成的角，而，所以C错；D因为A1C1AC，所以B1CA即为异面直线A1C1与B1C所成的角，在正三角形B1CA中，B1CA=60°，所以D正确故选：D7如图，ABC是直角三角形，ABC=90°，PA平面ABC，此图中直角三角形的个数为（）A1B2C3D4【考点】LX：直线与平面垂直的性质【分析】推导出ABBC，PABC，从而BC平面PAB，由此能求出图中直角三角形的个数【解答】解：ABC是直角三角形，ABC=90°，PA平面ABC，ABBC，PABC，ABPA=A，BC平面PAB，图中直角三角形有ABC（ABC是直角 ），PAC（PAC是直角），PAB（PAB是直角），PBC（PBC是直角），图中直角三角形有4个故选：D8设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若l，lm，则mB若lm，m，则lC若l，m，则lmD若l，m，则lm【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系【分析】若l，lm，根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面，得到m【解答】解：若l，lm，根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面，所以m所以选项A正确；若lm，m，则l或l与斜交或l与平行，所以选项B不正确；若l，m，则lm或l与m是异面直线，所以选项C错误；若l，m，则lm或l与m异面或lm相交，所以选项D错误；故选A9已知点A（1，3），B（4，1），则与向量同方向的单位向量为（）ABCD【考点】96：平行向量与共线向量；95：单位向量【分析】由条件求得=（3，4），|=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果【解答】解：已知点A（1，3），B（4，1），=（4，1）（1，3）=（3，4），|=5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A10已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）ABCD【考点】96：平行向量与共线向量【分析】由两个非零向量，满足，可得，展开即可【解答】解：两个非零向量，满足，展开得到故选B11如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱A A1和C C1上，AP=C1Q，则多面体A1B1C1PBQ的体积为（）ABCD【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据体积公式可知VBABC=VBACQP=VBPQCA=，故而可得出结论【解答】解：连结AB，BC，则VBABC=，VBACCA=VVBABC=，AP=C1Q，S梯形ACQP=S矩形ACCA，VBACQP=VBACCA=，多面体A1B1C1PBQ的体积为V=故选B12圆锥的底面半径为r，高是h，在这个圆锥内部有一个内接正方体，则此正方体的棱长等于（）ABCD【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设棱长为a，利用三角形相似列比例式解出a【解答】解：设正方体棱长为a，则由三角形相似得，解得a=故选C二、填空题（每小题5分，共20分）13球的表面积扩大为原来的4倍，它的体积扩大为原来的8 倍【考点】LG：球的体积和表面积【分析】我们设出原来球的半径为R，则可以计算出原来球的表面和体积，再根据球的表面积扩大了4倍，我们可以求出扩大后球的半径，进而求出扩大后球的体积，进而得到答案【解答】解：设原来球的半径为R则原来球的表面积S1=4R2，体积V1=若球的表面积扩大为原来的4倍，则S2=16R2则球的半径为2R体积V2=V2：V1=8：1故球的体积扩大了8倍故答案为：814向量（3，4）在向量（1，2）上的投影为【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据题意，设向量=（3，4），向量=（1，2），由向量的坐标计算公式可得与|的值，进而由数量积的性质可得向量在向量上的投影，计算可得答案【解答】解：根据题意，设向量=（3，4），向量=（1，2），则=3×1+4×（2）=5，|=，则向量在向量上的投影=；故答案为：15已知向量=（+1，1），=（+2，2），若（）（），则=3【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由向量的坐标加减法运算求出（），（）的坐标，然后由向量垂直的坐标运算列式求出的值【解答】解：由向量=（+1，1），=（+2，2），得，由（）（），得（2+3）×（1）+3×（1）=0，解得：=3故答案为：316若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是8【考点】G8：扇形面积公式【分析】根据圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，利用扇形的面积公式，可得圆锥的表面积【解答】解：圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，这个圆锥的表面积是=8故答案为：8三、解答题（17题10分，18到22题每题12分，共70分）17已知向量（）若与的夹角为，求；（）若，求与的夹角【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】（I）先计算，再计算（）2，开方即可得出答案；（II）将展开即可得出，代入夹角公式求出答案【解答】解：（）与的夹角为；=1×2×cos=1；（）2=+4+4=1+4+16=21，|=（）（2）（3+）=6=2=3，=1，cos=，又0cos与的夹角为18如图，一个组合体的三视图如图：（单位cm）（1）说出该几何体的结构特征；（2）求该组合体的体积（保留）；（3）求该组合体的全面积（保留）【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】（1）由三视图得到几何体是球与棱柱的组合体；（2）根据图中数据计算体积；（3）分别计算球和长方体的表面积，得到全面积【解答】解：（1）上面是半径为6cm的球，下面是长16cm，宽12cm，高20cm的长方体（2）V=288+3840 （cm3） （3）S=4×42+2×16×12+2×16×20+2×12×20=144+1504（cm2） 答：该组合体的体积为288+3840cm3表面积为144+1504 cm219如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，侧棱PA底面ABCD，E是PA的中点（）求证：PC平面BDE；（）证明：BDCE【考点】LS：直线与平面平行的判定【分析】（）连结AC交BD于O，连结OE，推导出PCOE，由此能证明PC平面BDE（）推导出BDAC，PABD，从而BD平面PAC，由此能证明BDCE【解答】（本小题满分13分）证明：（）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点又因为E是PA的中点，所以PCOE，因为PC平面BDE，OE平面BDE，所以PC平面BDE（）因为四边形ABCD是正方形，所以BDAC因为PA底面ABCD，且BD平面ABCD，所以PABD又因为ACPA=A，所以BD平面PAC，又CE平面PAC，所以BDCE20正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为a，连接A'C'，A'D，A'B，BD，BC'，C'D，得到一个三棱锥A'BC'D求：（1）求异面直线A'D与C'D所成的角；（2）三棱锥A'BC'D的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A'D与C'D所成的角（2）求出平面BC'D的法向量，从而求出点A到平面BC'D的距离，由此能求出三棱锥A'BC'D的体积【解答】解：（1）正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为a，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（a，0，a），D（0，0，0），C（0，a，a），B（a，a，0），D（0，0，a），=（a，0，a），=（0，a，0），设异面直线A'D与C'D所成的角为，则cos=0，=90°，异面直线A'D与C'D所成的角为90°（2）=（a，a，0），=（0，a，a），=（a，0，a），设平面BC'D的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），点A到平面BC'D的距离d=，=，三棱锥A'BC'D的体积V=×d=a321在边长为2的正三角形ABC中， =2=3，设=（）用表示；（）求的值【考点】9R：平面向量数量积的运算；9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】（）由题意，D为BC中点，利用中点公式求出，；（）利用（）的结论，进行向量的乘法运算即可【解答】解：（）由条件知，（）由题意得=22如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=12，BC=10，AA1=8，过点A1、D1的平面与棱AB和CD分别交于点E、F，四边形A1EFD1为正方形（1）在图中请画出这个正方形（注意虚实线，不必写作法），并求AE的长；（2）问平面右侧部分是什么几何体，并求其体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出正方形A1EFD1，由勾股定理能求出AE的长（2）几何体是以A1EBB1和为底面的直四棱柱，由棱柱体积公式能求出结果【解答】解：（1）交线围成的正方形A1EFD1如图所示（不分实虚线的酌情给分）A1D1=A1E=10，A1A=8，在RtA1AE中，由勾股定理知AE=6（2）几何体是以A1EBB1和为底面的直四棱柱，（棱柱或四棱柱均不扣分）由棱柱体积公式得（由体积之差法也不扣分）我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。