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第十二章 实数第1讲 实数的概念【知识要点】1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数,也就是不能用两整数比表示的数.无理数可分为正无理数和负无理数.只有符号不同的两个无理数是互为相反数.2. 实数：有理数和无理数统称为实数.3. 实数分类：【学习目标】理解无理数、实数的概念【典型例题】【例1】 下列表述是否正确,并说明理由：（1）一个实数,不是正数,就是负数.（2）有限小数都是有理数,无限小数都是无理数.（3）一个有理数不是整数,就是负数.（4）一个无理数,不是正数就是负数.（5）一个实数不是有理数,就是无理数.【分析】利用实数、有理数、无理数的概念.【解答】因为零是实数,但它既不是正数也不是负数,在（1）的实数分类中并没有把零包括在内,所以（1）不正确.无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数是有理数,所以（2）不正确.因为零是有理数,它既不是正数也不是负数,在（3）的有理数分类中没有把零包括在内,所以（3）不正确.无理数可分为正无理数和负无理数,所以（4）正确.实数是有理数与无理数的统称,所以（5）正确.【注】零在实数中仍是正、负数的分界点,不可忽视.【例2】选择题：（1） 在实数范围内,有一个数不是正实数,这个数一定是（A） 负实数 （B）负有理数 （C）非正实数 （D）非负实数（2） 实数(两个11之间依次多一个0)中,无理数的个数有 （ ）（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个【解答】（1）按实数可以分为正实数,零,负实数,非正实数,即零或负实数,选（C）.（2）判断无理数应根据无理数的概念“无限不循环小数是无理数”来断定,应选（B）.【例3】分别将下列各数填入相应的横线上： （每两个3之间1的个数依次多1）有理数是无理数是【分析】有理数是能表示为形式的数,无理数是无限不循环小数,分别用这两条标准去检验上面的数得出正确结果.【解答】有理数是：无理数是：（每两个3之间1的个数依次多1）.【基础训练】1. 实数可以分为和两类.2 有理数可以分为和;但按符号来分还可以分为、和.3叫无理数.4,无理数有个,它们是5写出在2和3之间的一个无理数.第2讲 数的开方（1）平方根和开平方【知识要点】1.平方根如果一个数的平方根等于,那么这个数叫做的平方根,也可叙述为：“如果,那么就叫做的平方根.”2.开平方求一个数的平方根的运算叫做开平方,叫做被开方数.3.平方根的性质 一个正数有两个平方根,它们互为相反数.正数的两个平方根可以用“”表示,其中表示的正平方根（又叫算术平方根）,读作“根号”; 表示的负平方根,读作“负根号”.零的平方根记作,. 因为任何一个正数、负数或零的平方都不是负数,所以负数没有平方根.4.开平方与平方的关系开平方与平方互为逆运算,根据平方根的意义,“如果,那么叫做的平方根”, 记作,我们得到：（1）一个正数的平方根的平方等于这个数,即：当时,（2）一个正数的平方的正平方根等于这个数,即：当时,一个负数的平方的正平方根等于这个数的相反数,即：当时,【学习目标】1.理解平方根与开平方的概念;2.理解开平方与平方互为逆运算的关系;3.掌握平方根的性质,分清平方根与算术平方根的区别,并知道它们之间的联系.【典型例题】例1 判断下列说法是否正确：（1）1的平方根是1. （2）-16的平方根是. （3）的平方根是9.（4）. （5）-7是49的平方根 （6）的平方根是【解答】（1）不正确.因为1是正数,1的平方根有两个,是.（2）不正确.因为-16是负数,负数没有平方根.（3）不正确.应该是的平方是9.（4）不正确.表示81的正的平方根.它是一个正数,=9,而.（5）正确.因为根据平方根的概念,-7是49的平方根,但反过来说,49的平方根是-7就错了.(6)不正确.,的平方根即为4的平方根,所以的平方根应是.【点评】解答这道题目是对巩固和掌握平方根的概念和性质不可忽视的基本训练.【例2】求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）【分析】求的值就是求144的正的平方根（即144的算术平方根）;求的值就是求的负的平方根（即的算术根的相反数）;求的值就是求0.01的平方根;求的值就是求的算术平方根的相反数.搞清各式的符号语言的意义,是得到正确解的关键.【解答】（1） （2） （3） （4）【例3】求下列各数的平方根：（1）0.64 （2） （3）0 （4）【解答】（1）的平方根是即：（2）（3）（4）【点评】运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法.用符号语言表示一个非负数的平方根,应由不习惯到习惯,这对加深平方根概念和性质的理解有好处.【例4】 已知的平方根是,的平方根是,求的平方根.【分析】由已知得：=,即： , ,解由方程和组成的方程组得和的值,再求的平方根.【解答】由已知得解得的平方根是.【基础训练】1.下列说法正确的是（ ）（A）因为3的平方是9,所以9的平方根是3（B）因为-3的平方是9,所以9的平方根是-3（C）因为的底数为-3,所以没有平方根（D）因为-9是负数,所以-9没有平方根2.下列各数是否有平方根,如果有,有几个？并说明理由.（1）（2）-8 （3）0 （4）3.已知与互为相反数,求的值4.求下列各数的平方根和算术平方根（1）0.0009 （2） （3）5.求值.（1） （2） （3）（4） （5） （6）【提高训练】1.一个数的算术平方根为,比这个数大2的数是 ( )(A) （B） （C） （D）2. ,则的取值范围为 （ ）(A) （B） （C） （D）3.若,则4.已知,求的值.5.已知一个正数的平方根是和,求的值.6.已知为实数,求的最小值和取得最小值时的值.第2讲 数的开方（2）立方根和开立方【知识要点】1.立方根与平方根类似,有：如果一个数的立方等于,那么这个数叫做的立方根,用“”表示,读作“三次根号”,中的叫做被开方数,“3”叫做根指数;也可叙述为“如果,那么就叫做的立方根”,记作.2.开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.3.立方根的性质我们已学过正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数,零的立方等于零,由立方运算可知正数有一个正立方根,负数有一个负立方根,零的立方根是零,也就是说任意一个数都有立方根,而且只有一个立方根.类似于平方与开平方之间的关系,根据立方根的意义,可以得到.（以上是实数）方法与技能：一个数的立方根记作“”,根指数3不能忽略.由于,有,有,可见.一般地,如果0则,如果把非负数的立方根叫做算术立方根,那么负数的立方根可以由它的相反数的算术立方根的相反数来表示,也就是把“”号提到根号外面来.典型剖析【学习目标】1.理解立方根与开立方的概念;2.理解开立方与立方互为逆运算的关系;【典型例题】【例1】 求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）【分析】 由立方根的意义,如果,那么就叫做的立方根,记作,可知的立方根的立方：.【解答】 （1） （2） 也可以这样求：（3）（4）【例2】 判断题（对的打“”,错的打“”）（1）1的立方根是.（2）任何数都有立方根.（3）如果,那么.（4）两个互为相反数的立方根也是互为相反数.（5）一个数的立方根和平方根都是它本身,这个数是0或1.（6）的平方根是.【解答】（1）（）. 1的立方根是1.（2）（）.任何实数都有唯一的立方根,记作.（3）（）.因为是的立方根,则;同理,.由可推出,即.（4）（）. ,两个互为相反数的立方根也互为相反数.(5) () 如果一个数的立方根是它本身,则或.如果一个数的平方根是它本身,则,则,所以或1.（6）（）. ,它的平方根为.【例3】 若0,则_.【解答】 x，x 4且x 114x，x 4;所以4 x 0, c+b-a0, 所以原式0，选C2内角的计算【例1】如图，已知120，225，A35，求BDC的度数。【分析】利用“三角形内角和等于180”计算。【解答】 所以【例2】在不等边三角形，它的最小内角的取值范围是_.【分析】利用内角和定理，并注意到是最小内角。【解答】设三内角为，且，则，且三角形内角.所以.【点评】在讨论取值范围是不要忘了内角大于零度，并且不要遗漏“”.【例3】ABC中，如果那么ABC是（ ）（A） 锐角三角形（B） 直角三角形（C） 钝角三角形（D）等腰三角形【分析】用内角和定理结合提干信息，得到每个内角的取值范围。【解答】同理根据三角形的分类，三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，选（A）。【例4】已知ABC中，, D、E为垂足， BD、CE交于点H，如图，求的度数。【分析】用内角和定理以及“直角三角形两锐角互余”，加上一个量再减去这个量保持原数量不变。【解答】【点评】此题涉及了4个三角形的内角和关系，处理这样看似复杂的题目，只要理清关系就迎刃而解。3内角与外角的联系【例1】ABC中，的外角平分线交于点O，如果，求的度数。【分析】利用内角和定理以及“三角形外角等于其不相邻两内角的和”计算。【解答】.【基础训练】1. 三条线段a，b，c如能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ）（A）1：2：4 （B）1：3：4 （C）3：4：7 （D）2：3：42. 已知三角形的三边分别为1，x，5，且x为整数，求x.3. 对于ABC，下列命题中不正确的是（ ）（A） 如果，那么ABC是直角三角形（B） 如果，那么ABC是锐角三角形（C） 如果，那么ABC是钝角三角形（D） 如果，那么ABC是直角三角形4. 已知ABC的三个内角满足关系式，则此三角形（ ）（A） 一定有一内角为45（B） 一定有一内角为60（C） 一定是直角三角形（D） 一定是钝角三角形5. 如果以4cm长的线段为底组成一个等腰三角形,腰长x应在的范围是( )（A）x4cm （B）x2cm （C）x4cm （D）x2cm6. 在ABC中,A=2B=75,则C等于( )（A）30 （B）6730 （C）105 （D）1357. 若三角形两边长分别为6cm和2cm,第三边长为偶数,则第三边长为( )（A）2cm （B）4cm （C）6cm （D）8cm8. 一个三角形有_条角平分线,_条中线,_条高.9. 三角形两边分别为5cm和6cm,则第三边c的范围为_.10. 若等腰三角形两边长分别为3和4,则它的周长为_.11. 在ABC中,A=B=C,则A=_.12. 在ABC中, ,则B=_.13. 在ABC中,的平分线交于点O,则_.【能力提高】1. 已知a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（ ）（A） 小于零 （B） 等于零 （C） 大于零 （D） 不能确定2. 已知ABC是等腰三角形（1） 如果AB8cm，BC16cm，求AC之长；（2） 如果AB8cm，BC12cm，求AC之长.3. 中，ABAC，AC边上的中线BD，把分成两个三角形，其周长之差为4cm，如果的周长为16cm，求此三角形三边之长。4. 如图,在ABC中,AF、CE、BD都是中线,且交于点H,在图中找出ABH、AHC、BHC的三边AB、AC、BC边上的中线.5. 两根木棒的长分别是7cm和10cm,要选择第三根木棒,将它们钉成一个三角形,第三根木棒的长有什么限制?说明理由.6. 一个零件的形状如图,按规定A应等于90,B与C应分别是32和21,检验工人量得BDC=148,就判断这个零件不合格,试用三角形有关知识说明理由.7. 如图,在ABC中,A:ABC:ACB=3:4:5,BD、CE分别是边AC、AB上的高,并相交于H,求BHC的度数.第二讲 全等三角形【知识要点】1全等三角形的概念：经过平移、翻折、旋转能够重合的两个三角形叫做全等三角形。【注意】互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。2. 两个全等三角形的表示：ABCDEF【注意】把对应顶点的字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。4. 全等三角形的判定（1） 两边夹一角对应相等：S.A.S；（2） 两角夹一边对应相等：A.S.A；（3） 两角一对边对应相等：A.A.S；（4） 三边对应相等：S.S.S；【学习目标】1. 理解全等形的概念；2. 理解全等三角形的性质；3. 熟练使用全等三角形的4条判定法则，并利用全等三角形的性质证明边或者角的关系。【典型例题】1全等三角形的性质【例1】如图，AB=AD, AC=AE, 如果ABEACD全等，BAD90,BE=10,CAE_,CD=_.【分析】利用全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。【解答】ABEACD，则BADCAE90,.2全等三角形的判定【例1】如图，已知 , 求证：【分析】只要证明ABDACE，就可证明。已知,，如果能再找出一对角相等就可判定全等。由已知，则，即【解答】【点评】从已知条件中获取足够信息证明两个三角形全等，进而证明对应边相等、对应角相等，是重点考察的内容。而利用角和边的等量加减等量其和差相等，也是常用技巧。【例2】如图，A在OC上, B在OD上, OA=OB, OC=OD, BC与AD相交于T，求证：OT平分.【分析】只要证明，就是OT平分, 可寻求证明, 为此要证CT=DT，这样又要证，那么可从判定入手。【解答】【点评】证明全等三角形并利用其性质和其他信息证明另一对三角形全等，是一个难点，只要我们耐心就可以解决。【例3】 水管沿公路直线铺设，A、B是公路同侧的两个居民点，为了给这两点供水需在总水管上选一点P，使自P到A、B所铺设水管的总长最短，问P应设在总水管上哪一点？【分析】自点A向总水管所在直线l引垂线，垂足为D，延长AD到A, 使AD=AD，这样l就是AA的中垂线，联结AB交l于P，点P即为所求点。【解答】在l上取异于点P的点P1，则AP1=AP1(中垂线定理）【点评】这个取对称点利用中垂线定理的解法叫做“轴对称变换法”，是解决此类问题的典型解法，需要体会掌握。【基础训练】1. 如图AB=AC, AD=AE, CD与BE交于点F，则ABEACD;BDFCEF;F在A的平分线上.以上结论正确的是（A）只有 （B）只有 （C）只有 （D）2. 下列命题中正确的是（ ）（A）全等三角形的高相等 （B）全等三角形的中线相等（C）全等三角形的角平分线相等 （D）全等三角形对应角的平分线相等3. ABC是不等边三角形, DE=BC,以 D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与ABC全等，这样的三角形最多可以画出（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个4. 两三角形有以下元素对应相等，不能判定全等的是（ ）（A）两角和一边 （B）两边及夹角 （C）三个角 （D）三条边5. 如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）（A）一定全等 （B）一定不全等 （C）不一定全等 （D）面积相等6. 如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）（A）相等 （B）不相等 （C）互余或相等 （D） 互补或相等7. 如图，求证：AB=DE,ABDE.8. 在ABC中，B=60，A和C的平分线相交于点O，求证：AE+CD=AC.【能力提高】1. 在ABC中，ABBCCA, 那么在C60,B60,A=60中正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）2. 如图，已知AB=DE，直线AE、BD相交于C，B与C互补，求证：AC=EC.3. 如图,设ABC在边AC、AB上的高分别为BE、CF，在BE上截取BP=AC，在直线CF上截取CQ=AB，求证：AP=AQ, APAQ.4. ABC为等腰直角三角形，A=90，D为BC的中点，P是线段BD上任意一点，PEAB，PFAC, E、F是垂足，求证：DE=DF，且DEDF.5. 如图和均为等边三角形，求证：DC=BE。6. 如图ABC90ABBC，D为AC上一点分别过A.C作BD的垂线，垂足分别为E.F,求证：EFCFAE.7. 如图，ABC中，E、F分别是AB、AC上的点 AD平分BAC， DEAB，DFAC， ADEF以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即： ， ， （1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题8. 如图，已知为等边三角形
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